学习-概率论与数理统计

第三节 量的函数及其分布(单个

一、问题的在实际中，人们常常对 量的函数更 例如，已知圆柱截d的分

求截面面积A

πd4

的分布 已知tt0时刻噪声电压V的分

设 量X的分布已知，Y=g(X)(设是连续函数），如何由X的分布求出Y的0t 布？这个问题0t 是重要的求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等

下面我们分离散型和连续型两种情况行讨论 二、离散型 量的函数的分设g(x)是定义在随 量X的一切可能值x 函数，记为问题如何根据已知的随 量Y=g(X)的分布？

例1X的分布律 YX2的分布律解Y的可能值为(1)2,02,12,即0,1,P{Y0}P{X20}P{X0}14 P{Y1}P{X21}P{(X1)(XP{X1}P{X1}111 P{Y4}P{X24}P{X2}14

离散型 量的函数的分布如果X是离散型 量，其函数Yg(XXXY的分布律

则YgX)的分布律f(f(Xg(x1))由此归纳出离散型 量函数的分布的求法gxk中有值相同的应将相pk合并 例解 三、连续型 量的函数的分设X是连续型 量 Yg(X

解 先求Y=2X+8的分布函数FY(FY(y)P{Yy}P{2X8下面给出两种方法来求Y的概率密度函

P{X

y2

fX(x)d分布函数先求 再求

2º由分布函数求概率密度yf(y)F(

[

fX(x)d例3设 量X的概率密度

f(y8)(y8)f(y8)f(x)x/

0x

其它

变限的定如果Fx(x)f求 量Y2X8的概率密度

积分的 (x导公 则F(x)f[(x)](x)f[(x)]( f(y)f(y8) 1(y8

fX(x)0y82其它

0x

定理设随量X的具有概率密度fX(x),其中xgx处处可导且恒有gx)0(或恒gx0则称Yg(X是连续型随量其概率密度为f(y)fX[h(y)]h(y) αyy8 8y

其他

其它

其中αmin(g(),g()),βmax(g(hy)gx的反函数 证若gx)ygx)单调增加，且xhy)在()上单调增加y时，FYyP{Yyy时，FYyP{Yy f(y)dFY(y)

FY(y)P{YP{Y}P{Y0P{Y于是FY(y)P{Y (yP{Xh(h(y d

fX(x)d当y时，FYyP{Y FY(y)

fX(x)d

(y

例4设 量X具有概率密度fX( x求 量YX2的概率密度fY(当yf(y)dFY( d

设X的概率密fX(x)

1x其他 f1(ydy[ fX(x)dfX[h(y)][h(

YX2的概率密度(1)分别记X和Y的分布FXx)FY(y 第1求Y的分布函数FYFY(y)P{Yy}P{X2

(2)代入的概率密度的P{yX

y

yf

y

f(y)

y2

,0 y

f(y)

y

,1y y

y

其他

其他

fY(y

y

所以

y y y y)

y y

y

f(y)

0yfY(y)FY(y)

y y [f y)f y y

其他 y

0y其他例5设 量X~N(,2),试证明X的线性函YaXb(a0)也服从正态

由公式fYy)fX[hy)][h YaXb的概率密度aX的概率密度a

y y (

fY(y)

fX

af(x) e

,x

(ybygxaxy

YaX~N(aμb,(aσ)2得xh(y) a

[h(y

a

a

[2(aσ

y 例 设X~U(0,1),求YeX的密度函数

fY(y)

fX[h(y)][h(

0y其他解X~UX的密度函

1[h(

0h(y)其他f(x)

x

11

0lnyX方法1(公式法

x

其他yex在(,)上可导，单

1,1yxh(y)ln

[h(y)]y

其他 方法2(分布函数法

lny

(x)dx

lny0lnyY0F(y)P{Yy}P{eX Y0P{Xln

yy

fX(x)dx

lny

y

lny1dx

lny0lny1ln 1

fX(x)d

y

lny

01dx

lny当 0时 fX(x)d

lnf(x)d

0lny

y fX(x)d

lny

lny

1yye FY(y)

y 0yln 1y

例7设随 量X分布函数F(x)是严格上服从均匀分布. ye从而fydFY d1 1y

证 F(x)是分布函 0Fx)1,且Fx)单调不减依题意Fx)严格单调增加故yFY(y)P{Yy}P{F(X) 其他 FY(y)P{Yy}P{F(X)

fY(y)[FY(yP{F(X)P{XF1(

y0yyy0yy

0y 其他[01]F[F1(

y0, 0y1,

y0y

y

y 内容小离散型 量的函数的分

连续型 量的函数的分如果X是离散型 量,其函数Yg(XXX

方法

FY(y)P{Yy}P{g(X)f(x)yfX(x (x则YgX)的分布

再对FY(y)求导得Y的密度函数方法f[h(y)][h(y)],yYf(Xg(x1)g()gxk中有值应将相应的pk合并

fY(y)注意条件

其它思考设g(x)是连续函数，若X是离散型随 则Yg(X)也是离散型随 量，它的取值是有限 量，若X是连续型 量，那么Y不一定是连续型 量

例如设X在(0,2)上服从均匀分1 0xfX(x)0,其他 0x又设连续函数ygx) 1x则YgX的分布函FYy可以计算出来由于Y的取值为 所y0时FYyP{Yyy1时FYyP{Yy当0y1时FYyP{YyPgX

y2故Y的分布函数为FY(Y) 0y21,yyy

(x)dx y1dxy

量，又因为FYy)不是阶梯函数，故YgX也不是离散型 量 例2-1测量一类圆形物体的半径X为 量其分布列

所以Y1的分布列 求圆周长Y1和圆面积Y2的分布列Y12πX和Y2πX2都是X的函数，Y1和Y2各自

例2‐2设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似服从N(100,52)工程队规定:若工程在100天内完工可超过115天完工,罚款5万元,求该工程队在完成此

Φ(115100) Φ(3)Φ(0)5P{Y10}P{X100}5工程时，所获奖金的分布列

(0)所以所获奖金Y的分布列解X~N(100,52Y是X的函数可取值10,3,5.5P{Y5}P{115X}151Φ(3)P{Y3}P{100X

例2‐3已知 量Ｘ的密度函数

例4‐1(讲设X~N(0,1),求下列函数的密度函数f(x)

x

xπe试求 量Yg(X)的概率密度，其

YX2 (2)YX 当x

分析yx2在(,)内不单调g(x)

当x

yx在x0处不可导，解因为fx)为偶函数所PX0)PX0) 由此可

故不能直接用定理解(1)FYyP{Yy}PX2P(Y1)P(X0)P(X0)P(Y1)

y所以Y的分布列为P

-

P{

y yX(y)

y yy yy

f(y)dFY( d d y)

y)y y

yy2(y) y y

1 y

yyFYy2(y

y

y y

FY(y)P{Y

y1

y

P{Xy} 20,

y0,y

2(y)

P{yXy},y0,y

y e2, y0.2π0,

y0,

f(y)dFY( d

22(

yy

y即fyY

2

y0.

y 2π

2(

y

12 2

e

y 例 设 量X的概率密度

f(x)dx

f(x)d

xy y

fX(x) x3ex2 x3ex2

xx

再由分布函数求概率密度

x3ex x求 量YX2和Y2X3的概率密度

fY(y)FY(y)

y y)f y y 解先求 量YX2分布

y)3e( y)20 FYyP{Yy}PX2 (y0时P{yX FX y)FX

ye

,yy Y=2X+3时,y2x3x

y32