一元二次不等式解法

一元二次不等式解法

引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：(1).图象与x轴交点的坐标为

,该坐标与方程x2-x-6=0的解有什么关系：

。

(2).当x取

时，y=0？

当x取

时，y>0？当x取

时，y<0?(3).由图象写出：不等式x2-x-6>0的解集为

。不等式x2-x-6<0的解集为

。(-2,0)，(3,0)交点的横坐标即为方程的根x=-2或3x<-2或x>3-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜yx0-23ooooy>0y>0y<0一元二次不等式的解集如下表⊿=b2-4ac⊿>0⊿=0⊿<0

二次函数

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集

ax2+bx+c<0

的解集有两个不等实根x1≠x2有两个相等实根x=x2=-b/2a无实根﹛x|x<x1或x>x2﹜{x|x≠-b/2a}R{x|x1<x<x2}

Φ

ΦXY0x1XY0x1x1YX0例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-4ac=22+4×15>0

方程x2－2x－15＝0的两根为:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。。。解一元二次不等式的方法步骤是：（3）根据图象写出解集

步骤：（1）化成标准形式(a>0)：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（2）求⊿，解方程，画图象；

方法：数形结合二、二次不等式的简单应用解法1：(换元法）设│x│=t,则t≥0原不等式可化为t2－2t－15≥0由例1可知解为t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集为{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。例1、解不等式:

分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不等式中含│x│，由于│x│2

=x2

，则可以通过换元令│x│=t，将不等式转化为t2－2t－15≥0求解。x2－2x－15≥0x2－2│x│－15≥0

解法2：当x＞0时，原不等式可化为x2－2x－15≥0则不等式的解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}当x≤0时，原不等式可化为x2＋2x－15≥0则不等式的解为x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集为{x│x≤－5}由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。例1、解不等式:x2－2│x│－15≥0

例2.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.

解：由条件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2，3又解在两根之间;

分析:二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1则a－b＝－2由此可以理解为ax2＋bx+6＝0的根为－2，3。

例2.已知一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.4a－2b+6＝09a＋3b+6＝0

另解：由条件可知：方程ax2＋bx+6＝0的根－2、3，代入方程可得：则a－b＝－2a＝－1b＝1解方程组得：

例3、已知集合A={x│x2－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求实数a取值范围。解：A∩B=A，则AB∩若a＞1，则A＝｛x│1≤x≤a｝，

若a＜1，则A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范围是1≤a≤3X31aABBAaX13则1＜a≤3那么,A不可能是B的子集；aA分析:观察不难发现：a、1是x2－(a+1)x+a=0的根.

若a＝1，则A＝｛1｝，满足条件;∴a＝1

例4.函数f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定义域为R,求k的取值范围解：∵f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定义域为R,UX0即△=(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ＜0∴0＜k＜1分析：令u=kx2-6kx+k+8,对任意的x，u=kx2-6kx+k+8的值恒大于0函数u=kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方函数f(x)的定义域为R∴k≥0当k=0时，f(x)=lg8满足条件.当k>0时，∴只要△＜0∴