交通流参数的泊松分布

第八章交通流理论第一节交通流参数的统计分布一、分析交通流参数分布的作用二、交通参数及其分布三、离散型分布的基础四、交通参数的二项分布五、交通参数的负二项分布六、交通参数的泊松分布本节需要掌握：一、概念：二、规律：泊松分布的应用1_泊松分布六、交通参数的泊松分布在二项分布的计算中，我们讨论到，当n很大时，试验的特定结果发生的概率p很小时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨论二项分布的近似计算定理—泊松分布。此分布是由法国数学家泊松1837年引入的。（一）Poisson的适用条件(Poissondistribution)是一种离散分布，常用于研究单位时间或单位时间(空间)内某罕见事件的发生次数：在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；野外单位空间中的某种昆虫数；一定时间段内，某航空公司接到的订票数；一定时间内，到车站等候公共汽车的人数；一定页数的书刊上出现的错别字个数。泊松资料Born:21June1781inPithiviers,France

Died:25April1840inSceaux(nearParis),FranceSiméonPoisson(二)Poisson分布的定义如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为：则称X服从参数为λ的Poisson分布，记为X~P(λ)。其中X为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e=2.7183，λ是Poisson分布的总体均数。也就是，若某现象发生的概率小，而样本例数多时，则二项分布逼近Poisson分布。poissondistribution二项分布

泊松分布n很大,p

很小在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的，例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的呼唤次数等,都服从泊松分布。呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数[例1]若某非传染性疾病的患病率为18／万，试根据Poisson分布原理求1000人中发生k=0，1，2阳性数概率。

μ=nπ=1000×0.0018=1.8

(三)Poisson分布的图形μ=0.6μ=2μ=6μ=14(四)Poisson分布的性质1.Poisson分布的方差等于均数，即σ2=μ。2.Poisson分布的可加性。对于服从Poisson分布的m个相互独立的随机变量Xl，X2，…,Xm它们之和X1+X2+…+Xm也服从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均数之和。3、当λ≥20，Poisson分布近似正态分布。[例2]某放射性物质每0.1s放射粒子数服从均数为2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3及4个粒子数，请问每0.3s放射粒子数为多少?利用Poisson分布的可加性原理得到，

Xl+X2+X3=2+3+4=9个均值为2.2+2.2+2.2=6.6

每0.3s放射粒子数为9个。二项分布的泊松逼近在二项分布的计算中，当n很大时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨论泊松定理.证明泊松定理：二项分布的泊松逼近：11(六）Poisson分布的应用一)总体均数的估计点估计：直接用单位时间(空间或人群)内随机事件发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估计值。

2.区间估计（1）正态近似法（X>50）当Poisson分布的观察单位为n=1时：当Poisson分布的观察单位为n>l时：

[例]用计数器测得某放射物质半小时内发出的脉冲数为360个，试估计该放射物质每30min平均脉冲数的95％可信区间。即该放射物质每30min平均脉冲数(个)的95％可信区间为(322.8，397.2)。(2)查表法如果X≤50时，样本资料呈Poisson分布，可查阅正态分布表。[例]对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查1mL水样，培养大肠杆菌2个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的95％和99％可信区间。本例，X=2<50，查附表4，95％可信区间为(0.2，7.2)；99％可信区间为(0.1，9.3)。

二)单个总体均数的假设检验1.直接计算概率法根据Poisson分布的概率分布列计算概率或累积概率，并依据小概率事件原理，作出统计推断。[例]某罕见非传染性疾病的患病率一般为15／10万，现在某地区调查1000人，发现阳性者2人，问此地区患病率是否高于一般。解：H0：此地区患病率与一般患病率相等；H1：此地区患病率高于一般患病率；单侧α=0.05本例，n=1000，π0=15／10万，μ0=nπ0=0.15，则在Ho成立前提下，所调查的1000人中发现的阳性数X~P(0.15)，则有

P(x≥2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(0.8607+0.1291)=0.0102故：1000人中阳性数不低于2人属于小概率事件。2.正态近似法当μ≥20，Poisson分布近似正态分布，可利用正态近似原理分析资料。

[例]某种儿童化妆晶含细菌数不超过500个／ml为合格品，现检测此种儿童化妆晶1ml菌数450个，问此种化妆品是否合格。

Ho：此种化妆品不合格，即μ=μ0

H1：此种化妆品合格，即μ<μ0

单侧α=0.05本例以1mL儿童化妆晶为一个Poisson分布观察单位。按单侧α=0.05水平拒绝Ho，接受H1，认为此种化妆品合格。

1、泊松分布基本公式：式中：——在计数间隔

内到达

辆车的概率；

——平均到达率(辆／s)；

——每个计数间隔持续的时间(s)；若令

，则为在计数间隔

内平均到达的车辆数，

又称为泊松分布的参数。三）交通参数的泊松分布2、泊松分布的递推公式：3、泊松分布的均值和方差：设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算所求概率为解[例]有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？[例]在某段公路上，观测到达车辆数，以5min为计数间隔，结果如下表，试求5min内到达车辆数的分布并检验。序号来车数观测频数