参极函数导数微分微分形式不变性

参极函数导数微分微分形式不变性XT2.18.分段函数y的导数分析：(1)(2)求导法则单侧导数定义第一节导数及其运算§2.1.1导数的概念§2.1.2导数的基本公式和运算法则§2.1.3复合函数的导数§2.1.4反函数和隐函数的导数§2.1.5高阶导数的概念§2.1.6由参数方程所确定的函数的导数180-237§2.1.5高阶导数的概念一、高阶导数的定义二、求高阶导数(3)(1)(2)求的二阶导数.(5)二、求高阶导数(1)解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.(2)求的二阶导数.解:(3)(5)解解:二、求高阶导数1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.P115LT3……….P116LT42.n阶导数的运算法则:莱布尼兹公式练习.解常用高阶导数公式

利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.3.间接法:练习.解：4．隐函数的高阶导数解：将方程两边对x求导,得

继续方程两边对x求导,得

高阶导数的定义高阶导数求法举例1.直接法2.高阶导数的运算法则3.间接法4．隐函数、§2.1.5高阶导数的概念第一节导数及其运算§2.1.1导数的概念§2.1.2导数的基本公式和运算法则§2.1.3复合函数的导数§2.1.4反函数和隐函数的导数§2.1.5高阶导数的概念§2.1.6由参数方程所确定的函数的导数设参数方程§2.1.6由参数方程所确定的函数的导数设x=(t),y=(t)可导,(t)0,则,1.参数方程求导法则设x=(t),y=(t)可导,(t)0,则

证明：由已知条件，知x存在反函数

t=–1(x),x可导,有y=(t)是x的复合函数,从而,故y=(–1(x))@1.求由参数方程所确定的函数y=y(x)的导数解:

0

2a

@2.求解:解为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率P119LT3解(1)(2)仰角增加率(3)相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率相关变化率之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)§2.1.6由参数方程方程所确定的函数的导数1、参数方程求导法则2、由极坐标方程所确定的函数求导2、极坐标式求导(1)极坐标系oMr(2)曲线的极坐标方程如,半射线：极轴、极点(3)极坐标式求导设曲线:化为直角坐标下参数式为则则,从而为径向沿逆时针方向转到切线位置的夹角.P122LT4由极坐标方程r=1所确定的函数的导数dy/dxP111LT3求方程x2+y2

=1所确定的隐函数的导数解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率故法线方程为即参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.第一节导数及其运算§2.1.1导数的概念§2.1.2导数的基本公式和运算法则§2.1.3复合函数的导数§2.1.4反函数和隐函数的导数§2.1.5高阶导数的概念§2.1.6由参数方程所确定的函数的导数XT2.121.（2,6）XT2.1

19.（1，3）求隐函数的二阶导数

20.（2）求n阶导数，书后答案有错。

21.（2,6）参数方程求导f(x)点x0f(x)点x0连续点x0导数第二章微分学第一节导数及其运算第二节微分一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:一般函数y=f(x)是否也有

y=f(x+x)-f(x)=Ax+o(x)?

A是什么?如何求?二、微分的定义二、微分的定义函数的微分：(微分的实质)由定义知:

A是什么?如何求?三、可微的条件定理证：(1)必要性(2)充分性二、微分的定义P132LT3解四、微分的几何意义二、微分的定义一、问题的提出三、可微的条件第二节微分四、微分的几何意义MNT）

P

五、微分的求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式1.基本初等函数的微分公式1.基本初等函数的微分公式@1解：2.函数u(x)和v(x)和、差、积、商的微分法则1.基本初等函数的微分公式例2解:五、微分的求法四、微分的几何意义二、微分的定义一、问题的提出三、可微的条件六、微分形式的不变性第二节微分六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性函数对自变量的微分=对中间变量的微分.@2解@1解@3解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.@3在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.一、问题的提出第二节微分二、微分的定义四、微分的几何意义三、A定理五、微分的求法1.微分公式2.微分四则运算法则3.复合函数的微分六、一阶微分具有形式不变性七、高阶微分及求法1．

高阶微分的定义不同的自变量x，产生了同一个增量

dx

后,函数值的变化情况?函数的一阶微分是:其中和是两个独立的变量，即视dx作常数,这样f(x)的微分dy就是x的函数.定义若可微时，称它的微分为y

的二阶微分，记为.当可微时，一般地，当y

的n-1

阶微分可微时，为y

的三阶微分，记为称它的微分1．高阶微分的定义二阶和三阶以上的微分统称为高阶微分.它的微分为y

的