附录平面图形的几何性质

第五章平面图形的几何性质一静矩、形心二惯性矩、惯性积、极惯性矩三平行移轴定理四转轴定理五形心主轴、形心主矩

为什么要研究平面图形的几何性质？材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。平面图形的几何性质包括:

形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等zyOdAyz图形对于y

轴的静矩图形对于z

轴的静矩回想质心的定义？一、静矩、形心对于均质板而言有AzyOdAyzzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩计算静矩与形心坐标之间的关系

已知静矩可以确定图形的形心坐标

已知图形的形心坐标可以确定静矩组合图形的静矩与形心计算同理：性质:①静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关②截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。③截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:

决定因素:静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围:可以为正、或负、或等于零。单位:mm3

、cm3

、m3例题试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。解：图形对底边的静矩形心位置abhzyOC1C2－图形对y轴的惯性矩－图形对z轴的惯性矩－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩zyOdAyzA定义：二、惯性矩、惯性积、极惯性矩－图形对y轴的惯性半径－图形对z轴的惯性半径zyOdAyz定义：zyOdAyzA惯性矩与极惯性矩之间的关系：性质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。2、任何平面图形对对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。决定因素:截面形状、尺寸、轴的位置。数值范围:惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为正;

惯性积可以为正、为负、为零。单位:

惯性矩、极惯性矩和惯性积均为mm4

、cm4

、m4

惯性半径:mm、cm、m例题矩形截面惯性矩的计算hozybydy同理：例题圆截面惯性矩、极惯性矩计算ddACyz

移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。二、平行轴定理zcycyzOadA在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小应用平行移轴定理应注意的问题两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。例题试求图示三角形：（1）对z轴静矩；

（2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

二、转轴定理zyOz1y1dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1zyOz1y1dAyzy1z1图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。当

改变时，Iyl、

Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。Iy0、Iz0－主惯性矩zyOz0y000dAyzy0z0主惯性矩：

对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D课程练习题

图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为对对称轴y的惯性矩分别为，则（）。C课程练习题图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。xyD课程练习题

任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1

轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1

轴的惯性矩是I1，则对x0

轴的惯性矩为（）。B课程练习题

设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（）。B课程练习题图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（）不是一对主轴。C课程练习题A.形心轴；B.主轴C.主形心轴D.对称轴

在图示开口薄壁截面图形中，当（）时，y-z轴始终保持为一对主轴。