函数在经济分析中大的应用

导数在经济分析中的应用一、导数的经济意义—边际二、经济中的最值问题三、函数的相对变化率—函数的弹性边际成本为：经济学家把函数的导数（函数的变化率）称为该函数的边际值边际收入为：边际利润为：一、导数的经济意义—边际（1）收入(益)最大（2）利润最大（3）成本最低（4）总产量或平均产量最高（5）征税收益最大（6）最佳时间选择（7）存货模型二、经济中的最值问题例1解:1）当需求量达到1000件时即当商品价格为625元时，市场需求量可达1000件.(2)总收益函数为r=pq价格p为3.66时，r有最大值这时，产量为：但商品以“百件”计量，不能分割，所以q取整数,取q=4(百件),q=5(百件)q=4时q=5时所以价格为4千元时，销售400件,总收入16000元，达到最大。解例2平均成本函数为：a(3000)为最小值,解例3征税收益问题：厂商生产产品，追求最大利润，而政府对产品要征税，希望征税收益最大设税率为t——即单位产品的税收金额；产量q；收益r；成本c征税总收益税后总成本税后总利润解例4征税收益税后总成本税后总利润由于获最大利润的条件是：所以，税后获最大利润的产量是：征税收益函数为所以，征税收益最大的税率是：最大征税收益是：此时：此时产品的价格为：例：商品甲每单位价格10元，涨价1元，商品乙每单位价格1000元，涨价1元，两种商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却不同，商品甲涨了10%，商品乙涨了0.1%。所以，还需讨论函数的相对改变量与相对改变率——弹性三、函数的相对变化率—函数的弹性一般地，f(x)的弹性函数定义为：需求弹性为：弹性的经济意义：解：说明当p=3时，价格上涨1%，需求减少0.6%说明当p=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%说明当p=5时，价格与需求变动的幅度相同用需求弹性分析总收益的变化：总收益函数(1)若<1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，r>0，r递增，即价格上涨，总收益增加，价格下降，总收益减少。(2)若>1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，r<0，r递减，即价格上涨，总收益减少，价格下降，总收益增加。(2)若=1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时，r=0，r取得最大值。解：说明：当p=6时，价格上涨，总收益将增加求价格增长1%，r增长的百分比，即求r对p的弹性：所以当p=6时，价格上涨1%，总收益约增加0.67%所以当p=12时总收益最大，最大总收益为72例7：某商品进价为a(元/件)，根据以往经验，当销售价为b(元/件)时，销售量为c件(a,b,c均为正常数，且b≥(4/3)a，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，问当销售价定位多少时，可获最大利润？并求最大利润。解设p为降价后的销售价，q为降价后的销售量，l(x)为总利润，则所以，利润最大时的价格是：此时：最大利润是：例8

某工厂生产某型号车床，年产量为a台,分若干批生产,每批生产准备费为b元.设产品均匀投放市场,且上一批用完后立即生产下一批,这种情形按批量的一半收取库存费,设每年每台收取的库存费为c元,试写出一年的库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.解：设批量为x,库存费与生产准备费