初中数学辅助线总结计划大全详细例题付

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[引出问题]在几何证明或计算问题中，常常需要增加必需的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：

一是经过增加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用相关性质去解题；二是经过增加辅助线，

使分其余条件得以会合，从而利用它们的互相关系解题；三是把新问题转变为已经解决过的旧问题加以解

决。值得注意的是辅助线的增加目的与已知条件和所求结论相关。下边我们分别举例加以说明。

[例题解析]

一、倍角问题

例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。

求证：∠DBC=1∠BAC.A2D解析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。BC证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=1（180°-∠BAC）=90°-1∠BAC。22∵BD⊥AC于D°∴∠BDC=90°°°-1∠BAC)=1∠BAC∴∠DBC=90-∠C=90-(9022即∠DBC=1∠BAC2解析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=?∠BAC”中含有角的倍、半关系，所以，可以做∠A的均分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°A1AB=AC∴∠EAG=∠BAC2DBD⊥AC于D

∴∠DBC+∠C=90°BCE∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）

即∠DBC=1∠BAC。2证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD连接BEA∵BD⊥ACE∴BD是线段CE的垂直均分线D∴BC=BE∴∠BEC=∠CBC°∠C∴∠EBC=2∠DBC=180-2AB=AC

∴∠ABC=∠C

°∴∠BAC=180-2∠C

∴∠EBC=∠BAC

∴∠DBC=1∠BAC2

说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰

三角形的性质求解。同学们没关系试一试。

例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B

22求证：BC=AC+AC?AB

22解析：由BC=AC+AC?AB=AC（AC+AB），启示我们成立两个相似

的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，

成立以AB为腰的等腰三角形。

证明：延伸CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA

A

∵∠BAC是△ABD的一个外角

∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D

∵∠BAC=2∠ABC

∴∠D=∠ABC

又∵∠C=∠C

B

C

∴△ABC∽△BDC∴

ACBC

BCCD

2∴BC=AC?CDAD=AB

22∴BC=AC（AC+AB）=AC+AC?AB二、中点问题例3．已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延伸线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：ABD=CE解析：因为BD、CE的形成与D、E两点相关，D但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以

关系不显然，因为条件F是DE的中点，如何利用这个

中点条件，把不一样样类三角形转变为同类三角形式问题的要点。

由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新

的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD或CE

挪动一下地点，从而使问题得解。

证明：证法一：过点D作DG∥AC,交BC于点G（如上图）

∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE

∵AB=AC∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DGB∴BD=DG

∵F是DE的中点∴DF=EF

在△DFG和△DEFC中，

BC

GF

E

DFG=EFC

DGF=FCE

DF=EF

∴△DFG≌EFC

∴DG=CE∴BD=CE

A

证法二：如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点DHBCFE∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC

∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA

∵AB=AC∴∠B=∠BCA

∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH

∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC

∴BD=CE

说明：本题信息特色是“线段中点”。也可以过E作EM∥BC,交AB延伸线于点G，模拟证法二求解。

例4．如图，已知AB∥CD，AE均分∠BAD，且E是BC的中点求证：AD=AB+CD

AB证法一：延伸AE交DC延伸线于F

AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF

E是BC的中点∴BE=CEE

在△ABE和△CEF中

BAE=F

B=ECF

BE=CE

∴△ABE≌△CEF

AB=CF

AE均分∠ABD

∴∠BAE=∠DAE

∴∠DAE=∠F

AD=DF

DF=DC+CF

CF=AB

AD=AB+DC

证法二：取AD中点F，连接EF

AB∥CD，E是BC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线

F

C

AB

FE

D

CEF∥AB,EF=1（AB+CD）2

∴∠BAE=∠AEF

AE均分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

∴∠AEF=∠FAE

AF=EF

AF=DF

1∴EF=AF=FD=AD2∴1(AB+CD)=1AD22

∴AD=AB+CD

三．角均分线问题

例5．如图（1），OP是∠MON的均分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参照这个全等三角形的方法，解答以下问题。

1）如图（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的均分线，

AD、CE订交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数目关系。

（2）如图（3），在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而（1）中的其余条件不变，请问，你在（1）

中所得的结论能否依旧成立若成立，请证明；若不成立，请说明原由。

ME

OBAPE

FD

F

NAC

(1

(2

B

ED

解析：本题属于学习惯题型。这种题型的特色是描述一种方法，要修业生依据指定的方法解题。指定

方法是角均分问题的“翻折法”得全等形。

解：（1）EF=FD

（2）答：（1）结论EF=FD依旧成立

原由：如图（3），在AC上截取AG=AE,连接FG

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

EAF=FAG

AF=AF

∴△AEF≌△AGF

EF=GF,∠EFA=∠GFA

由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC∠BCA的均分线

可得∠FAG+∠FCA=60°

∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°

∴∠GFC=60°

在△CFG和△CFD中

GFC=DFC

CF=CF

DCE=ACE

∴△CFG≌△CFD

FG=FD

又因为EF=GFEF=FD

说明：学习惯问题是新课程下的新式题，意在观察学生现场学习能力和自学能力。

抛开本题要求从角均分线的角度想，本题也可以利用角均分线的性质“角均分线上的点到角的两边

的距离相等”达到求解的目的。

B解法二：（2）答（1）中的结论EF=FD依旧成立。原由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FHEGMD∵∠ACE=∠BCE∴FH=FGF∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°

在四边形BEFD中

∠BEF+∠BDF=180°

∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEF

在△EFG和△DFM中

AHC

(3

FDC=BEF

EGF=DMF=900

FG=FM

EFG≌△DFM

EF=DF

四、线段的和差问题

例6如图，在△ABC中，AB=AC,点P是边BC上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试一试究线段PD、PE、CM的数目关系，并说明原由。

解析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，经过丈量猜想

PD+PE=CM.解析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再证明CQ=PEA答：PD+PE=CM证法一：在CM上截取MQ=PD，连接PQ.MQEDCM⊥AB于M,PD⊥AB于D

∴∠CMB=∠PDB=90°

CM∥DP

∴四边形PQMD为平行四边形

PQ∥AB

∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B

AB=AC

∴∠B=∠ECP

∴∠QPC=∠ECP

PE⊥AC于E

∴∠PEC=90°在△PQC和△PEC中APQC=PECQPC=ECPPC=PCME∴△PQC≌△PEC∴QC=PED∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PEBPC∴PD+PE=CM解析2：延伸DF到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,N

再证明PN=PE

证法2：延伸DF到N，使DN=CM，连接CN

同证法一得平行四边形DNCM，及△PNC≌△PEC

PN=PE

PD+PE=CM

解析3：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、DE、CM，且SVPABSVPACSVABC，所以可以用面积法求解。A证法三：连接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M

∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PCM

ED∴SVABP1AB?PD2SVACP1AC?PE2SABC1AB?CMV2∵AB=AC且SVPABSVPACSVABC1AB?PD1AB?PE1AB?CM∴222QAB0PDPECM说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。

五、垂线段问题例7在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，且PEAB,PFBC,垂足分别是E、F求证：ABPFCBCDPEPFAEB解析：将比率式ABPF转变为等积式AB?PEBC?PF，联想到11，BCPEAB?PE2BC?PF2即△PAB与△PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。

证明：连接AC与BD交于点O,连接PA、PC

在平行四边形ABCD中，AO=CO

SVAOBSVBOCSVAOPSVCOP同理，SVAOBSVAOPSVBOCSVCOPSVPABSVPBC∵PEAB,PFBC,SVPAB11AB?PE,SVPBCBC?PF2211AB?PEBC?PF22

AB?PEBC?PF

ABPF

BCPE

A

ED

BFC

例8求证：三角形三条边上的中线订交于一点。

解析：这是一个文字表达的命题。要证明文字命题，需要依据

题意画出图形，再依据题意、联合图形写出已知、求证。

已知：△ABC中，AF、BD、CE是其中线。

求证：AF、BD、CG订交于一点。

解析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。

证明：设BD、CE订交于点G，连接AG，并延伸交BC于点F,.QADDCSVABDSVCBD,SVAGDSVCGDSVAGBSVCGB同理，SVCGBSVAGCSVAGBSVAGC作BM⊥AF,于M,CN⊥AF,于N

则SVAGB1AG?BM,SVAGC1AG?CN2211AG?BMAG?CN22BMCN,,在△BMF和△CNF中BFMCFN

BMFCNF

BMCN

∴△BMF≌△CNF

BF'CF'

AF,是BC边上的中线

又∵AF时BC边上的中线

AF与AF,重合即AF经过点D

AF、BD、CE三线订交于点G

所以三角形三边上的中线订交于一点。

六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底，以c=10为一腰，则另一腰长d的取值范围是＿解析：如图，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，过B作BE∥AD,获得平行四边形ABED，从而得AD=BE=10,AB=DE=13AB所以EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d的取值范围是10-3＜d＜10+3DEC答案：7＜d＜13例10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面积。

解析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线地点交错，条件一时用不上。其余，求梯形面积

只要求出上、下底的和即可，不用然求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过A作AF∥BD,交CD延伸线于F

QAB//FC

AB

四形ABDF是平行四形

FDAB,AFBD15

FCABDC

QAEFCAEF。FDECAEC90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15EFAF2AE21521229在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15

ECAC2AE220212216ABDCFCEFEC91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022

AB

解法二：如图，过B作BF⊥DC于F

∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E

AED=AEC=90。。DEFCAEC=BFC=90

AE//BF

QAB//DC

ABFE是平行四形

BFAC12,ABEF在直角三角形ABC中，AE12,AC20ECAC2AE216在直角三角形BDF中，

BF12,BD15DFBD2BF29ABDCDFCE91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022

例11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点，

试说明：MN1(BCAD)2G

解析1：∠B+∠C=90°，考虑延伸两腰，使它们订交于

AD

一点，M

构成直角三角形。

解法1：延伸BA、CD交于点G,连接GM、GNBCNQBC90。BGC90。AMMDGMAMGAMAGM又BNCNGNBNBBGNQADPBCGAMBAGMBGN∵B、A、G共线∴G、M、N共线QGM1AD,GN1BC22MNGNGM1(BCAD)2解析2：考虑M、N分别为AD、BC中点，可以过M分别作AB、DC的平行线，梯形ABCD内部构成直

角三角形，把梯形转变为平行四边形和三角形。

解法2：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F

∵AD∥BC∴四边形ABEM、DCFM都是平行四边形

∴BE=AM,FC=DMADMQAMMDBEFCQBNCNENFNBC由MEPAB,MFPDCMEFB,MFECENF。。QBC90MEFMFE90∴∠EMF=90°,又∵EN=FN

MN1EF1(BCAD)22

[模式归纳]

经过上边各例的解析、解证，发现增加合适的辅助线能使解题思路畅达，解答过程简捷。但辅助线

的增加灵巧多变，忧如比较难以掌握。其实添什么样的辅助线怎么添辅助线与已知条件的特色和所求

问题的形成关系亲近。下边分类归纳几种常用的辅助线的增加方法。

一、倍角问题

研究∠α＝2∠β或∠β=1∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情况：21.∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的均分线，得∠1=1∠α，此后证明∠1=∠β；或把∠β2

翻折，得∠2=2∠β，此后证明∠2=∠α（如图一）

∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法增加辅助线（如图二）

αα1ββ2图二图一

二中点问题

已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这种问题常用三种方法增加辅助线

（1）延伸中线至倍（也许倍长中线），如图一。若图形中没有显然的三角形的中线，也可以构造

中线后，再倍长中线，如图二。2）构造中位线，如图三

3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。

图一图二图三图四

三、角均分线问题

已知条件中含有角均分线信息称为角均分线问题。常用的辅助线有两种：

以角均分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。

由角均分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。

图一图二图三

四、线段的和差问题

已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：

短延伸：若AB=a,则延伸AB到M,使BM=b,此后证明AM=c；

长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,此后证明MB=b。

五、垂线段问题

已知条件或所求问题中含有两条也许两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不显然时，可

以借助于可求图形的面积转变。常用的面积关系有：同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；

同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。

六、梯形问题

梯形可以看作是一个组合图形，构成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。所以，可以

经过增加合适的辅助线，把梯形问题转变为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：

转变

梯形问题三角形也许平行四边形问题切割、拼接

在转变、切割、拼接常常用的辅助线：

平移一腰。即从梯形一个极点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。研究相关腰的问题常常用平移一腰。

过极点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转变为一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究相关底或高的问题常常过极点作高。

平移一条对角线。即从梯形的一个极点作一条对角线的平行线，把梯形转变为平行四边形和三角形（如图三）。研究相关对角线问题常常用平移对角线。这种增加辅助线的方法，

可以将梯形两条对角线及两底的和会合在一个三角形内，使梯形的问题转变为三角形的问

题。此三角形的面积等于梯形的面积。

4.延伸两腰交于一点。把梯形问题转变为两个相似的三角形问题（图四）；

过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转变为两个平行四边形和一个三角形（图五）；

过一腰中点作直线与两底订交。当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一极点和其中点，并延伸交另一底于一点，将梯形问题转变为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三

角形。此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；

作梯形中位线。当已知中有一腰的中点时，常取另一腰的中点，作梯形的中位线，（图七），利用梯形中位线性质解题。

图一图二图三

图四图五图六

图七

[拓展延伸]1.已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，F是CA延伸线上一点，F连接FD交AB于E，若AE=AF求证：BE=CFA证法一：延伸ED到G使DG=DE,连接CG.E在△BDE和△