大一微积分考前复习4

总复习四注意:4.1总结罗尔中值定理那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).1、熟记罗尔定理、拉格朗日中定理，柯西中值定理的条件和结论设函数f(x)

满足：拉格朗日中值定理(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(至少)存在一点,使得推论1设在区间i上的导函数,则是一个常值函数.(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(1)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;则在开区间内必定(至少)存在一点,使得柯西中值定理(2)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;rolle定理lagrange中值定理cauchy中值定理1.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2.证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.3.应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式

(ii)f(x)在区间(1,1)内可导

(iii)f(1)f(1)e1

因此函数f(x)在区间[1,1]上满足罗尔定理的所有条件的所有条件？如满足就求出定理中的数值

例1、在区间[1,1]上是否满足罗尔定理

解(i)作为初等函数

在其定义区间[1,1]上是连续

0

得0

由洛必达法则2、熟练掌握用罗必达法则求极限的方法。

(1)解

例2、罗必达法则则求下列极限

(2)解因为并且所以e

(3)解因为并且所以e01

3、熟练掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间．

例3、求下列函数yx

42x22

的增减区间

x(,1)(1,0)(0,1)(1,)yy↘↗↘↗函数在区间(,1)和(0,1)内是单调减少的

在区间(1,0)和(1,)内是单调增加的

令y0

得函数的驻点x1

x0

x1

列表得解y4x34x4x(x1)(x1)

4、熟练掌握函数极值和最值的求法。解令y0

得函数的驻点

x5

不可导点为x1

列表得x(

1)15(5

)y不存在00y↘0↗↘0↗

y(1)y(5)0为极小值

为极大值

例4、求下列函数的极值例5、

利用二阶导数

判断函数的极值。

y(x3)2(x2)

解y2(x3)(x2)(x3)2(x3)(3x7)

y6x16

令y0

得函数的驻点x3

x7/3

因为y(7/3)20

所以y(7/3)=4/27是函数的极大值

因为y(3)20

所以y(3)0是函数的极小值

例6、求函数yx42x25在[2,2]上的最大值与最小值

解y4x34x4x(x1)(x1)

令y0

得函数的驻点为x0

x1

x1

计算函数在驻点和区间端点的函数值

y(2)13

y(1)4

y(0)5

y(1)4

y(2)13

经比较得y(1)y(1)4是函数的最小值

y(2)y(2)13是函数的最大值

5、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线例9、

确定函数的凹向及拐点令y0

得x0

解，

x0y000y(拐点)0(拐点)(拐点)函数在区间和内是下凹

在区间和内是上凹的

点和是拐点

解：(1)定义域：(2)对称性：函数非奇非偶，不对称于轴、原点.曲线过点(和(4)单调区间、极值、凹向和拐点：令,得令,得当时，和都不存在.例10、

作函数的图形.(3)截距：令x01－－－0+不存在－－0＋＋＋不存在＋－1不存在列表讨论如下：

(5)渐近线：是曲线的垂直渐近线.是曲线的水平渐近线.(6)适当补点：取，得，取，得(7)根据以上结果作出函数图形.如图所示.0xy1231234例11、选择题

(a)函数yx25x6在[2,3]上是连续的

在(2,3)内是可导

且y(2)y(3)0

1

下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有()(a)yx25x6[2,3]

(b)

[0,2]

(c)yxex[0,1]

(d)

[0,5]

在闭区间[0,2]上不是处处连续的

(b)函数

(c)函数yxex在[0,1]上是连续的

在(0,1)内是可导的

在区间端点的函数值不等

在开区间(0,5)内是连续的(d)函数但在闭区间[0,5]上不连续

答

a

2、

下列求极限问题不能用罗彼塔法则的有()

(c)

(d)答

a

c

(b)(a)

分子的极限不(a)因为不能用罗彼塔法则

存在

所以

(b)因为

所以能用罗彼塔法则

所以能用罗彼塔法则

分子分母的极限都不(c)因为不能用罗彼塔法则

存在

所以

(d)因为3、

函数yx312x1在定义域内()

(a)单调增加

(b)单调减少

(c)图形上凹

(d)图形下凹

答

a

因为y3x2120

所以函数在定义内是单调增加的

而不是单调减少的

因为y6x

当x0时y0

当x0时y0

所以函数在定义域内没有确定的凹向

4、

函数yf(x)在点xx0处取得极大值

则必有()

(a)f(x0)0

(b)f(x0)0

(c)f(x0)0且f(x0)0

(d)f(x0)0或不存在

答

d

(a)函数f(x)在极值点xx0处未必可导

只有当f(x)在极值点xx0处可导时

才有f(x0)0

(b)只有当f(x)在极值点xx0处有二阶导数时

才有

f(x0)0

(c)只有当f(x)在极值点xx0处有二阶导数时

才有

f(x0)0且f(x0)0

(d)函数f(x)在极值点xx0处或者可导(此时f(x0)0)

或者不可导

5

条件f(x0)0是f(x)的图形在点xx0处有拐点的()条件

(a)必要

(b)充分

(c)充分必要

(d)(a)、(b)、(c)都