第四章根轨迹分析法

第四章根轨迹分析法目的

掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析第四章根轨迹分析法稳定性即闭环极点闭环特征方程的根动态性能稳态误差系统的性能开环放大系数开环积分环节个数第四章根轨迹分析法困难!困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生变化时系统闭环特征方程的根如何变化!

参数改变，系统性能如何改变！第四章根轨迹分析法

伊万思（W.R.Evans）提出了一种图解方法，即在复平面上由系统的 开环 极点、零点确定闭环 极点

称为根轨迹法。第四章根轨迹分析法§4.1根轨迹的基本概念

1.引例讨论Kg变化时闭环极点的变化。开环传函闭环传函闭环极点第四章根轨迹分析法闭环极点在S平面上的变化系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹第四章根轨迹分析法例4-1系统结构图如图所示，分析l随开环放大系数K变化的趋势。

解.

K:开环放大系数

:根轨迹增益第四章根轨迹分析法问题：绘制根轨迹是用描点法吗？高阶系统闭环特征方程的根的表达式如何求?思路：利用开环传函绘制闭环特征方程的根的变化。第四章根轨迹分析法2.根轨迹方程闭环特征方程第四章根轨迹分析法若开环传函则根轨迹的条件方程为幅值条件方程相角条件方程第四章根轨迹分析法

注意：相角条件是确定根轨迹的充分而必要条件可从幅值条件方程求解得出Kg

。第四章根轨迹分析法例4-2图4-4所示为一个开环传递函数为的系统的极点位置。试判断s1（-1，j1）、s2（-0.5，-j1）两点是否在其根轨迹上。-p1-p20σjωs1s2-0.5-1图4-4相角条件的试探4.幅值条件和相角条件的应用1）用相角条件求根轨迹第四章根轨迹分析法解：系统无开环零点有两个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1。作出向量（s1＋p1）＝s1和（s1＋p2）＝（s1＋1)

规定以逆时针方向为正值。于是，由s1点导出的向量相角分别为所以s1不在根轨迹上。第四章根轨迹分析法同理，过两极点向s2连线，得向量（s2＋p1）＝s2＋1=-0.5-j（s2＋p2）＝s2＋1=0.5-j计算可知满足相角条件，所以，s2在根轨迹上。由满足相角条件的点就可连成根轨迹。这种逐点试探的方法，称为绘制根轨迹的试探法。第四章根轨迹分析法由幅值条件得2）用幅值条件确定Kg值第四章根轨迹分析法例4-3求例4-2中根轨迹上s2点对应的Kg值。

s2（-0.5，-j1）。解：第四章根轨迹分析法缺点：要把在s平面上整个根轨迹找出，是不现实的优点：实际绘制根轨迹时，往往是，根据轨迹的一些特征描绘出近似曲线，再利用试探法在根轨迹的重要部分进行探测、修正。这样就能既方便，又较准确地求出整个根轨迹图试探法优缺点分析第四章根轨迹分析法§4.2根轨迹绘制的基本法则

1.根轨迹的连续性

根轨迹是连续变化的曲线2.根轨迹的对称性

根轨迹对称于实轴3.根轨迹的分支数n阶系统，n条根轨迹第四章根轨迹分析法4.根轨迹的起点和终点Kg=0时的闭环极点为根轨迹的起点n条根轨迹起始于系统的n个开环极点第四章根轨迹分析法根轨迹的终点Kg∞

时的闭环极点为根轨迹的终点n条根轨迹终止于系统的

n

个开环零点m<n时，m条根轨迹终止于系统的

m

个开环零点,其余n-m条趋于无穷远处第四章根轨迹分析法例

已知开环传递函数试确定根轨迹的起点与终点。

解：第四章根轨迹分析法5.实轴上的根轨迹

在实轴上选取实验点si

，如果实验点si右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。

右方奇是；偶不是例：系统开环传函为试确定实轴上的根轨迹解：第四章根轨迹分析法取实轴上的点s开环共轭极（零点）对相角条件无影响实轴上的根轨迹仅由实轴上的开环零极点的分布所决定第四章根轨迹分析法6.根轨迹的渐近线若n>m，则时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为，截距为，的一组渐近线趋向于无穷远处第四章根轨迹分析法根轨迹的渐近线与实轴的交点和夹角渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的夹角第四章根轨迹分析法例已知系统开环传递函数，试确定根轨迹的分支数、起点和渐近线解:第四章根轨迹分析法例4-4已知系统的开环传递函数为试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。解：系统有4个开环极点和1个开环零点：-p1＝0，-p2＝-1＋j1，-p3＝-1-j1，-p4＝-4；-z1＝-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处截距：第四章根轨迹分析法夹角：当k＝0，1，2时，θ＝600，1800，30003条渐近线如图4-6的虚线所示。第四章根轨迹分析法例4-5已知系统的开环传递函数为试求根轨迹渐近线的夹角和截矩。解将系统的开环传递函数变换成以零、极点表示的形式，即式中，Kg＝1.25K。第四章根轨迹分析法系统有3个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1，－p3＝－5；有1个开环零点：－z1＝－4。所以有2条根轨迹趋于无穷远处。其渐近线的方位是：当k＝0，1时，θ＝900，2700。第四章根轨迹分析法7.根轨迹的分离点或会合点

根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。分离点会合点这个点对应于特征方程的二重根第四章根轨迹分析法在下图画出了两条根轨迹。a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。

第四章根轨迹分析法分离点、会合点判别：实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点第四章根轨迹分析法基于代数重根法则，如果方程f(x)=0有重根，则f(x)=0的根也是f(x)=0的根。分离点会合点求取：重根法：联立求解上述两个方程，得出分离点公式第四章根轨迹分析法例：已知解：第四章根轨迹分析法补充：分离点方程式解出s＝d是分离点坐标若无零点，右端等于0第四章根轨迹分析法例4-6已知控制系统的开环传递函数为试求根轨迹在实轴上的分离点。解：（一）用重根法求分离点D（s）＝s(s＋1)(s＋2)；N（s）＝1，故D’（s）＝3s2＋6s＋2；N’（s）＝0利用D(s)N’(s)-N(s)D’(s)=03s2+6s+2=0解之，得s1＝－0.423，s2＝－1.577第四章根轨迹分析法本题的实轴根轨迹区间为：（－，－2]和[－1，0]，故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，也就不可能是分离点，故分离点必落在s1处。解：（二）分离点方程为即解之，得s1＝－0.423，s2＝－1.577(舍)第四章根轨迹分析法分离角分离角：分离点处根轨迹的切线与正实轴的夹角第四章根轨迹分析法8.根轨迹的出射角和入射角

0

j

根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。用θa表示根轨迹的入射角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。用b表示第四章根轨迹分析法根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角入射角出射角第四章根轨迹分析法出射角为入射角为第四章根轨迹分析法例4-11：已知开环传递函数零极点分布图，试确定根轨迹的出射角。解：第四章根轨迹分析法9.根轨迹与虚轴的交点利用劳斯判据令s=jω代入闭环特征方程交点处的增益称为临界根轨迹增益，用Kgp表示第四章根轨迹分析法例4-12：已知系统的开环传函，试求其根轨迹与虚轴的交点。解：（1）闭环特征方程第四章根轨迹分析法（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表特征方程第四章根轨迹分析法在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数

根轨迹与虚轴的交点可根据行的辅助方程求得，即

即得根轨迹与虚轴的交点为第四章根轨迹分析法（1）起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2）终点（）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括m个有限零点和（n-m）个无限零点）。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹分支数目为，根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。根轨迹绘制法则归纳如下：第四章根轨迹分析法（5）分离点与会合点。满足方程

（6）根轨迹的渐近线。

渐近线的倾角

渐近线交点

第四章根轨迹分析法（8）根轨迹与虚轴交点。把代入特征方程式，即可解出交点处的临界值和交点坐标。入射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角

θa=±180°(2k+1)+-

b=±180°(2k+1)+-

第四章根轨迹分析法例4-14控制系统的结构如图。系统的开环传递函数为

G(s)H(s)=Kg/s(s+1)(s+2)试绘制系统的根轨迹图。解：求根轨迹的步骤如下：（1）根轨迹对称于实轴。（2）本系统n=3,m=0,因此根轨迹共有三条分支，起点为系统的开环极点0，-1，-2。终点都趋向于无穷远处。

×Kg/s(s+1)(s+2)C(s)R(s)-图4-10第四章根轨迹分析法（3）实轴上的根轨迹分布在0与-1之间，以及-2的左方。如图所示。

图4-11根轨迹及其渐近线第四章根轨迹分析法（4）由于n-m=3，故渐近线有三条。渐近线的倾角θ=±180º(2k+1)/3,令k=0,1,2，得

θ=±60º，180º；渐近线的截距-σa=(0-1-2)/3=-1。（5）由图可出，由于实轴-1和0两个开环极点之间存在根轨