高中数学必做100题

合适的方法表示以下会集：（1）函数的函数的会集；（2）与的象的交点会集.参照答案：（1）⋯⋯（3分），⋯⋯（5分）故所求会集.⋯⋯（6分）2）立，⋯⋯（8分）解得，⋯⋯（10分）故所求会集.⋯⋯（12分）已知会集，，求、、、.参照答案：，⋯⋯（3分），⋯⋯（6分），⋯⋯（9分）.⋯⋯（12分）全集，，.1）求，，，；参照答案：，⋯⋯（1分），⋯⋯（2分），⋯⋯（3分）.⋯⋯（4分）2）求，，，；解：，⋯⋯（5分），⋯⋯（6分），⋯⋯（7分）.⋯⋯（8分）（3）由上边的，你能得出什么？合Venn行分析.解：，⋯⋯（9分）.⋯⋯（10分）Venn略.⋯⋯（12分）会集，.（1）求，；（2）若，求数a的；（3）若，的真子集共有_____个,会集P足条件，写出所有可能的会集P.参照答案：(1))①当，，，故，；⋯⋯（2分）②当，，，故，；⋯⋯（4分）③当且，，，故，.⋯⋯（6分）：由（1）知，若，或4.⋯⋯（8分）(3)若，，，故，此的真子集有7个.⋯⋯（10分）又，足条件的所有会集有、.⋯⋯（12分）已知函数.（1）求的定域与域（用区表示）（2）求在上减.参照答案：（1）要使函数有意，，解得.⋯⋯（2分）所以原函数的定域是.⋯⋯（3分），⋯⋯（5分）所以域.⋯⋯（6分）2）在区上任取，且，⋯⋯（8分），⋯⋯（9分）又，，⋯⋯（10分），⋯⋯（11分）函数在上减.⋯⋯（12分）已知函数，求、、的.解：，⋯⋯（3分），⋯⋯（6分）.⋯⋯（12分）已知函数.（1）明在上是减函数;（2）当，求的最大和最小.参照答案：（1）明：在区上任取，且，有⋯⋯（1分），⋯⋯（3分）∵，，（4分）∴即（5分）∴，所以在上是减函数．（6分）2）由（1）知在区间上单调递减，所以（12分）已知函数此中．1）求函数的定义域；2）判断的奇偶性，并说明原由；3）求使建立的的会集.参照答案：（1）.若要上式有意义，则，即.（3分）所以所求定义域为（4分）（2）设，则.（7分）所以是偶函数.（8分）（3），即，.当时，上述不等式等价于，解得.（10分）当时，原不等式等价于，解得.（12分）综上所述,当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若，求a，b的值.参照答案：（1）定义域为R，，故是奇函数.（6分）（2）由，则.（8分）又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.（10分）由，解得a=1，b=1.（12分）关于函数.（1）探究函数的单调性；（2）能否存在实数a使得为奇函数.参照答案：(1)的定义域为R设,,则=,（3分）,（5分）即,所以无论为什么实数总为增函数.（6分）（2）假设存在实数a使为奇函数,（7分）即,（9分）解得:（12分）（1）已知函数图象是连续的，有以下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－－1－012f－－(x)（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.参照答案：（1）由，，，（3分）获取函数在（－2，－）、（－，0）、（0，）内有零点.（6分）2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，（8分）即，（10分）∴．（12分）某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系以下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/46444240383648个为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？参照答案：由题可知，销售单价增添1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.因为，且，得.（3分）则日均销售利润为，.（8分）易知，当，y有最大值.（11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.（12分）家用冰箱使用的氟化物的开释破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，此中是臭氧的初始量.（1）随时间的增添，臭氧的含量是增添还是减少？（2）多少年此后将会有一半的臭氧消逝？参照答案：（1）∵，，，∴为减函数.（3分）随时间的增添，臭氧的含量是减少.（6分）（2）设x年此后将会有一半的臭氧消逝，则，即，（8分）两边去自然对数，，（10分）解得.（11分）287年此后将会有一半的臭氧消逝.（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、万件、万件，为了此后预计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依照.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可采纳二次函数（此中为常数，且）或指数型函数（此中为常数），已知4月份该产品的产量为万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明原由.参照答案：入采纳二次函数的模型时，∵，由，有，解得，（4分）.（5分）入采纳指数型函数的模型时，∵由有，解得，（9分）∴.（10分）依据4月份的实质产量可知，采纳作模拟函数较好.（12分）15.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左边的图形的面积为.试求函数的分析式,并画出函数的图象.参照答案：（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，，（4分）2）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，（8分）3）当时，.（10分）（12分）某医药研究所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足以以下图的曲线.1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；2）据进一步测定：每毫升血液中含药量许多于微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？参照答案：（1）当0≤t≤1时，y=4t；（2分）当t≥1时，，此时在曲线上，∴，这时.（5分）所以.（6分）（2）∵，（8分）解得，（10分）∴.（11分）∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.（12分）必修2P(1)圆锥底面半径为1cm，高为cm，此中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.参照答案：的点S和正方体底面的一条角CD作的截面，得的截面SEF，正方体角面CDD1C1，如所示.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分正方体棱x，CC1=x，C1D1。作SOEF于O，SO，OE=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5分，∴，即⋯⋯⋯..10分∴，即内接正方体棱cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分如（位：cm），求中暗影部分AB旋一周所形成的几何体的表面和体.参照答案：由意知,所求旋体的表面由三部分成：台下底面、面和一半球面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3分S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.故所求几何体的表面68π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..7分由，⋯⋯⋯9分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.11分所以，旋体的体⋯⋯12分3.直角三角形三分是、、，三旋一周分形成三个几何体.想象并出三个几何体的构，画出它的三，求出它的表面和体.参照答案：以5cm旋例，其直、正与、俯挨次分：其表面是两个扇形的表面，所以其表面；-----------------3分体。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分同理可求合适3cm旋，。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分合适4cm旋，。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分已知空四形ABCD中，E、H分是AB、AD的中点，F、G分是BC、CD上的点，且.求：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直EF、GH、AC交于一点.参照答案：明：（1）在△ABD和△CBD中，E、H分是AB和CD的中点，∴EHBD⋯⋯⋯⋯⋯.3分又∵，∴FGBD.EH∥FG.分所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分2）由（1）可知，EH∥FG，且EHFG，即直EF，GH是梯形的两腰，所以它的延必订交于一点P.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分AC是EF和GH分所在平面ABC和平面ADC的交，而点P是上述两平面的公共点，∴由公义3知PAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分所以，三条直EF、GH、AC交于一点⋯⋯..12分如，∥∥，直与分交,,于点和点，求：.参照答案：明：，交于，⋯⋯⋯⋯3分由得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分由得⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10分所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..12分6.如，在正方体ABCDA1B1C1D1中.（◎-P79B2）求：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点H，点H是△A1C1B的垂心.参照答案：（1），，又面，所以，面，所以。同理可，所以B1D⊥平面A1C1B。⋯⋯6分（2），由，得，所以点的外心。又正三角形，所以是的中心，也是的重心。⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分（06年北京卷）如，在底面平行四形的四棱中，，平面，且，点是的中点.1）求：；（2）求：平面；（3）求二面角的大小.2）参照答案：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB.⋯⋯4分（2）接BD，与AC订交于O，接EO.ABCD是平行四形，∴O是BD的中点又E是PD的中点，∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB∥平面AEC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..8分（3）取AD的中点F，的中点，，所以是所求二面角的平面角，且与相等。易知由可知，所求。⋯⋯⋯⋯⋯12分已知，，，求点D的坐，使直CD⊥AB，且CB∥AD．参照答案：点D的坐（x,y），由已知得，直AB的斜率KＡＢ＝３，⋯⋯⋯⋯⋯2分.直ＣＤ的斜率KＣＤ＝，直ＣＢ的斜率KＣＢ＝－２，直ＡＤ的斜率KＡＤ＝。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分由CD⊥AB，且CB∥AD，得，⋯⋯⋯11分所以点Ｄ的坐是（０，１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..12分9.求点，而且在两上的截距相等的直方程.参照答案：因直ｌ点Ｐ（２，３），且在ｘ，ｙ上的截距相等，所以（１）当直原点，它的方程；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（２）当直不原点，它的方程由已知得，所以，直的方程。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.11分上，直的方程，也许。⋯⋯⋯⋯⋯..12分三角形的三个点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.（1）求

BC上的高所在直的方程；

（2）求

BC上的中所在直的方程；（3）求BC的垂直均分的方程．参照答案：（１）所以ＢＣ上的高所在直的斜率又点，所以直的方程即；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分（２）BC中点坐,所以所在直的方程即。..8分（3）易知即所求。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分在x上求一点，使以点、和点P点的三角形的面10.参照答案：依，，直AB的方程是。⋯⋯⋯.3分在中，AB上的高，，⋯⋯⋯⋯..7分，P到AB的距离所以，⋯⋯⋯⋯⋯.10分解得或。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.11分所以，所求点的坐是，或。⋯⋯.12分12.点有一条直l，它在两条直与之的段恰被点P均分，求直l的方程.参照答案：如，直在直之的部分是AB，且ＡＢ被均分。点Ａ，Ｂ的坐分是，有，⋯⋯⋯4分又Ａ，Ｂ两点分在直上，所以。⋯⋯⋯⋯..8分由上述四个式子得，即Ａ点坐是，⋯⋯⋯.11分所以由两点式的ＡＢ即的方程。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分13.的三个点的坐分是、、；，求它的外接的方程.参照答案：所求的方程，⋯⋯⋯⋯⋯.2分依有。⋯⋯⋯⋯⋯11分所以，所求。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分已知段AB的端点B的坐是(4,3)，端点A在上运，求段AB的中点迹方程.参照答案：的心P(-1,0)，半径2，⋯⋯⋯⋯.4分段AB中点M(x,y).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分取PB中点N,其坐(,)，即N(,)⋯⋯7分∵M、NAB、PB的中点,MN∥PA且MN=PA=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.9分点M的迹以N心，半径1的.所求迹方程：⋯⋯⋯⋯⋯..12分点的直l被所截得的弦，求直l方程.参照答案：由，所以心坐，半径。⋯⋯..3分因直被所截得的弦是，所以弦心距，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5因直点，所以可所求直的方程，即。⋯.7分依得。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10分所以，所求直有两条，它分或。即或。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..12分16.求心在直上，而且与的交点的的方程.参照答案：解法一：两交点Ａ，Ｂ，由方程，所以，⋯⋯⋯⋯5所以ＡＢ的中垂方程。由，所求心Ｃ的坐是。⋯⋯⋯⋯9分，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以，所求的方程即⋯⋯⋯⋯12⋯⋯⋯⋯5分解法二：与交点的的方程，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

分分即.6分其圆心坐标是，.8分因为圆心在上，所以，解得。10分所以，所求的圆的方程为，即.12分必修3P(1)设计一个算法求的值，并画出程序框图.参照答案：对某电子元件进行寿命追踪检查，状况以下.（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）预计元件寿命在100～400h之内的在整体中占的比率；（4）预计电子元件寿命在400h以上的在整体中占的比率.（12分）参照答案：（1）样本频率分布表如右.-------3分2）频率分布直方图以下.---------6分3）元件寿命在100h～400h之内的在整体中占的比率为分4）预计电子元件寿命在400h以上的在整体中占的比率为分甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高以下（单位：cm）：甲：乙：问：（1）哪一种玉米的苗长得高？（2）哪一种玉米的苗长得齐？（12分）参照答案：（1）,.，即乙种玉米的苗长得高.--------------6分（2），.，即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐.--------12分假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修花费y（万元），有以下的统计资料：1）回归直线方程；（2）预计使用年限为10年时，维修花费约是多少？（参照：）（12分）参照答案：（1）所以回归直线方程为----------9分（2），即预计用10年时维修费约为万元.----12分在一次商贸交易会上，商家在柜台展开促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参加抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地拿出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提早到达的概率.（12分）参照答案：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有（种）.中奖的状况分为两种：i）2个球都是红色，包含的基本领件数为；ii）2个球都是白色，包含的基本领件数为.所以，中奖这个事件包含的基本领件数为15+6=21.所以,中奖概率为.----5分（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为；记甲比乙提早到达为事件A，则事件A的可能结果为.以以下图，试验所有结果构成地域Ω为正方形ABCD.而事件A所构成地域是正方形内的暗影部分.依据几何概型公式，获取.所以，甲比乙提早到达的概率为

.------12

分6.（2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出

60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出以下部分频率分布直方图

.

观察图形的信息，回答以下问题：1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；3）预计此次考试的及格率（60分及以上为及格）和均匀分；3）从成绩是80分以上（包含80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.（12分）参照答案：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：.直方图如右所示.--------4分（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为.所以，抽样学生成绩的合格率是%.利用组中值估量抽样学生的均匀分＝＝71.预计此次考试的均匀分是71分.---------8分（3），的人数是15，3.所以从成绩是80分以上（包含80分）的学生中选两人，他们选在同一组的概率为.--------12分（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数以下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是.1）求x的值；2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？3）已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.（12分）参照答案：（1），.-----4分2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：（名）.----------8分3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为（y，z）；由（2）知，且，基本领件空间包含的基本领件有：245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11个.事件

A包含的基本领件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)

、(255,245)

共5个.---------12

分（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，丈量他们的身高（单位：cm），获取身高数据的茎叶图如图.（1）依据茎叶图判断哪个班的均匀身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于为176cm的同学被抽中的概率.（12分）

173cm的同学，求身高参照答案：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间.所以乙班均匀身高高于甲班;-------4分2），甲班的样本方差为＝分（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178,176)（176，173）共10个基本领件，而事件A含有4个基本领件..--------12分必修4P(1)1.已知角a的终边经过P(4,-3).（1）求2sina－cosa的值；（）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.2参照答案：（1）∵，。。。。。。。2分∴，.。。。。。。6分∴2sina－cosa.。。。。。。。8分（2）角a的终边与单位圆的交点P的坐标为，即.。。。。12分已知，计算：（1）；（2）；（3）；（4）.求函数的定义域、周期和单调区间.参照答案：（1）由，解得.∴定义域.。。。。。3分（2）周期函数，周期.。。。。。。6分由，解得∴函数的单调递加区间为.。。。。。12分已知tanα＝，计算：（1）；（2）.参照答案：画函数y＝3sin(2x＋)，x∈R简图，并说明此函数图象如何由变换而来.参照答案：由五点法，列表：描点画图，以下：。。。。。。。。。。6分这类曲线也可由图象变换获取，即：y＝sinx。。。。。。。。。12分某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是.1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；（2）当，时，求刹时电压；3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光.取）参照答案：（1）周期，频率，振幅.。。。。3分2）时，（V）；时，（V）.。。。。6分3）由及，得.。。。。。9分联合正弦图象，取半个周期，有，解得.所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为（s）.。。。。。12分7.平面上三个力、、作用于一点且处于均衡状态，，，与的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小.参照答案：∵三个力均衡，∴F1＋F2＋F3＝0，。。。。。。2分∴|F3|＝F1＋F2|＝＝＝＝，。。。。。。。。。。。。。。6分|+1而－F3与F1的夹角可由余弦定理求得，cos＜－F3，F1＞＝＝，∴－F3与F1的夹角为30°.。。10分则F3与F1的夹角为180°－30°＝150°.。。。。。。12分已知，，1）求与的夹角；2）若，且，试求.参照答案：（1）∵＝61，∴＝，。。。。。。4分.。。。。。。。。。。6分2）设，则，解得或.。。。。。10分所以，或.。。。。。。。12分已知，，求的值.参照答案：已知，，，，求的值.已知,0＜β＜,cos(－α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.参照答案：∵+β－(－α)=+(α+β)，。。。。。。。2分sin(α+β)=－cos［+(α+β)］=－cos［(+β)－(－α)］=－[cos(+β)cos(－α)+sin(+β)sin(－α)]。。。。。4分∵＜α＜＜－α＜＜－α＜0，0＜β＜＜+β＜π.。。。。。。6分sin(－α)===，。。。。8分cos(+β)===.。。。。。10分由(1)得:sin(α+β)=－［×+×()］=.。。。。。12分（1）（07年江苏卷.11）已知，，求的值；（2）已知，，求的值.参照答案：（1）∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝①；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝②.。。。。。。。2分①＋②得cosαcosβ＝，②－①得sinαsinβ＝，。。。。。14分tanα·tanβ＝＝.。。。。。。。6分已知函数.（1）求它的递减区间；（2）求它的最大值和最小值.参照答案：已知函数.（1）求的最小正周期；（）当时，求的最小值以及获得最小值时x的会集.2参照答案：已知函数的最大值为1.（）求常数a的值；（）求使建立的x的取值会集.12参照答案：（2009年广东卷.理16）已知向量与相互垂直，此中．（1）乞降的值；（2）若，求的值.参照答案：（1）∵与相互垂直，则，。。。2分即，代入，解得.。。。。6分又，∴.。。。8分（2）∵，，∴，则.。。。。。。10分∴.。。。。。12分已知，且.（1）求及；（2）求函数的最小值.参照答案：（1），。。。。2分∵，

∴.

.

。。。。。4分∴.。。。。6分2）.必修5P(1)在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及c.参照答案：解一：依据正弦定理，.∵B=45°<90°，且b<a，∴A=60°或

（3分）120°.（6分）当A=60°时，C=75°，；（9分）当A=120°时，C=15°，.（12分）解二：依据余弦定理，.将已知条件代入，整理得，解得.（6分）当时，，从而

A=60°，C=75°；

（10分）当时，同理可求得：

A=120°，C=15°

.

（12

分）在△ABC中，若，判断△ABC的形状.参照答案：，，（4分）化简得：，即.（9分）①若时，，此时是等腰三角形；②若，，此时是直角三角形，所以是等腰三角形或直角三角形.（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.（1）求C；（2）若，求A．参照答案：（）∵a2＋b2＝c2＋ab，∴，1∴cosC＝，∴C＝°.（6分）45（2）由正弦定理可得，∴∴sinBC＝ABCB，∴BC＋CB＝cos2sincos-sincossincossincos2sinAcosB，∴sin(B＋C＝AB，∴sinA＝AB（9分）)2sincos2sincos.sinA≠0，∴cosB＝，∴B＝60°，A＝180°－45°－60°＝75°.（12分）如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（结果保留根式形式）参照答案：在中，，..（5分）在中，，.∴.（12分）如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，翱翔员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度.参照答案：在中，，，.依据正弦定理，，，.（10分）

（3分）.（6分）所以，山顶P的海拔高度为（千米）.（12分）已知数列的第1项是1，第2项是2，此后各项由给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上边的数列，经过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.参照答案：⑴由，得，；（5分）⑵依题意有：，，，，.（12分）已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？假如是，它的首项与公差分别是什么？参照答案：⑴①当时，；（2分）②当时，由得（7分）又满足，所以此数列的通项公式为.（9分）⑵因为，所以此数列是首项为，公差为2的等差数列.（12分）（09年福建卷.文17）等比数列中，已知.1）求数列的通项公式；2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.参照答案：（1）设的公比为，由已知得，解得.（3分）所以.（4分）2）由（1）得，，则，.（6分）设的公差为，则有解得.（9分）从而.（10分）所以数列的前项和.（12分）假如一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？解法一：，，（3分）又成等比数列，所以，（8分）所以.（12分）解法二：设等比数列的首项为，公比为，则：==①，同理②，因为，所以由①得，所以，代入②，得.已知数列的前项和为，.（1）求（2）求证：数列是等比数列.参照答案：（1），解得.（2分）由，解得.（5分）2），则，（8分）整理为，即，所以是等比数列.（12分）已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.（1）求；（2）若不等式的解集是求的解集.参照答案：（1）解得，所以.（3分）解得，所以.∴.（6分）（2）由的解集是，所以，解得（9分）R（12分）∴，解得解集为.某文具店购进一批新式台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提升1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获取400元以上的销售收入，应如何拟定这批台灯的销售价格（不可以低于15元）？参照答案：设每盏台灯售价元，则（6分）即，所以售价在.（12分）电视台应某企业之约播放两套连续剧.此中，连续剧甲每次播放时间为80min，广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周最少播放6min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不可以超出320分钟.问两套连续剧各播多少次，才能获取最高的收视率?参照答案：将所给信息用下表表示.设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z.则目标函数为z=60x+20y，拘束条件为，作出可行域如右图.（5分）作平行直线系，由图可知，当直线过点A时纵截距最大.（6分）解方程组，得点A的坐标为(2，4)，zmax=60x+20y=200(万).（11分）所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获取最高的收视率.已知为正数.（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.参照答案：（1）∵，∴≥.（4分）当且仅当时，上式取等号.所以的最小值为.（6分）2）.（10分）当且仅立刻时等号建立.（12分）15.某工厂要建筑一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，假如池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，如何设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？参照答案：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元.依据题意，得y＝×＋（×3x＋××）（4分）150120223＝240000＋720（x＋）（6分）≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600.（9分）当x＝，即x＝40时，y有最小值297600.（11分）所以，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.（2005年北京春招）经过长久观察获取：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的均匀速度（千米/小时）之间的函数关系为：．（1）在该时段内，当汽车的均匀速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（2）若要求在该时段内车流量超出10千辆/小时，则汽车的均匀速度应在什么范围内？参照答案：（1）依题意得．（4分）当且仅立刻时取等号．故千辆/小时．（6分）2）由条件得．（8分）整理得．（10分）解得．（12分）选修1-1P(1)已知,,若的必需不充分条件，务实数的取值范围.参照答案：∵﹁p

是﹁q必需不充分条件，

∴，即.（3分）解得，即：

.

（6分）解变形为，解得，即.

（9分）由，则，解得

.所以实数的取值范围。选修1-1P(1)1.设函数.

（12分）1）求函数f(x)的单调区间；2）求函数f(x)的极大值和极小值.参照答案：∵f′(x)=－x2+4x－－x－3)(x－1),（2分）3=(1）由f′(x)>0，解得：1<x<3；由f′(x)<0，解得：x<1或x>3，则函数f(x)的单调递加区间为（1,3），单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）.（6分）（）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3.列表以下：（9分）2x(－∞，1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)—0+0—f(x)单调递减－单调递加0单调递减↘↗↘∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－.（12分）点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.参照答案：设是点到直线的距离，依据题意得，点的轨迹就是会集，（4分）由此得。将上式两边平方，并化简，得。即。（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。.（12分）3.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.参照答案：椭圆焦点为，依据题意得双曲线的焦点为，（3分）设双曲线的标准方程为，且有。（6分）又由，得，得，（10分）所求双曲线的方程为。（2分）倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线订交于A、B两点，求线段AB的长.参照答案：设，到准线的距离分别为，由抛物线的定义可知，于是。（3分）由已知得抛物线的焦点为，斜率，所以直线方程为。（6分）将代入方程，得，化简得。由求根公式得，（9分）于是。所以，线段AB的长是8。（12分）当从到变化时，方程表示的曲线的形状如何变换？参照答案：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆。（3分）当时，，方程表示圆心在原点的单位圆。（5分）当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线。（7分）当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线。（9分）当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线。（12分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面米.1）建立以以下图的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木筏能否安全经过此桥？参照答案：（1）设抛物线方程.（2分）由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线方程为.（6分）2）把代入，求得.（9分）而，所以木筏能安全经过此桥.（12分）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：（）线段AB的中点坐标；（）弦AB的长.12参照答案：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b==1.（3分）∴椭圆C的方程为＋y2＝1．（5分）联立方程组，消y得10x2＋36x＋27＝0，因为该二次方程的鉴识式＞0，所以直线与椭圆有两个不一样的交点，（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，故线段AB的中点坐标为（）．（12分）在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短,并求最短距离.参照答案：设与直线平行，且与抛物线相切的直线为.（3分）由，消x得.（5分）∴，解得，即切线为.（7分）由，解得点.（9分）∴最短距离.（12分）点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60o，求△F1MF2的面积.参照答案：由，得a=8，b=6，.（3分）依据椭圆定义，有.（5分）在△F1MF2中，由余弦定理，获取.即，（7分），解得.（10分）△F1MF2的面积为：.（12分）（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。参照答案：（1）设所求椭圆方程为(a>b>0),其半焦距c=6，（2分）（4分）∴,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为．（6分）P、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，（2）点(5,2)5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).（8分）设所求双曲线的标准方程为，由题意知，半焦距c1=6，,b12=c12-a12=36-20=16.所以，所求双曲线的标准方程为．（12分）已知函数（为自然对数的底）.1）求函数的单调递加区间；2）求曲线在点处的切线方程.参照答案：，所以有（3分）（1）令，即函数的单调递加区间是；（6分）2）因为，，（9分）所以曲线在点处的切线方程为，即.（12分）（06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的分析式；（2）求函数的单调区间.参照答案：（1），.（2分）又函数的图象在点处的切线方程为x，（4分）+2y+5=0所求函数分析式为.（6分）2）解得（8分）当或时，当时，在和内是减函数，在内是增函数.（12分）已知a为实数，，（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围.（☆P45例）3参照答案：（1）因为=，所以.（3分）（2）由，得，此时有所以（5分）由，得或,又因为，所以在上的最大值为，最小值为.（8分）（3）的图象为张口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得即，解得.所以的取值范围为.（12分）（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，而后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?参照答案：设容器的高为x，容器的体积为V，（1分）则V=（90-2x）（48-2x）x，（0<x<24）（5分）=4x3-276x2+4320xV′=12x2-552x+4320令V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36.（8分）∵令V′>0得x>36或x<10；令V′<0得10<x<36.函数在上递加，在上递减.当x=10时，V有极大值=19600.又=0，=0，所以当x=10时，V有最大值=19600cm.（12分）（2006年江西卷）已知函数在与时都获得极值，（1）求a、b的值与函数的单调区间.（2）若对时，不等式恒建立，求c的取值范围.参照答案：（1），.（3分）由，得a＝，b＝－2，当x变化时，、的变化状况以下表：函数的递加区间是（－￥，－）和（1，＋￥）；递减区间是（－，1）.（6分）（2）＝x3－x2－x＋c，（8分）2又＝，，，＝c+2.＝c+2为最大值.（10分）要使在恒建立，只要＝c+2，解得c<－1或c>2.（12分）选修1-2P(1)考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程某种产品的广告花费支出（万元）与销售额（万元）之间有以下的对应数据：1）画出散点图；2）求回归直线方程；3）据此预计广告花费为9万元时，销售收入的值．参照公式：回归直线的方程，此中.参照答案：（1）作出散点图以以下图所示：2），，，，.，．所以回归直线方程为；（3）时，预告的值为（万元）．考点：①会依据数据绘制列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性（独立性检验）甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.1）依据以上数据建立一个的列联表；2）试判断能否成绩与班级能否相关？参照公式：；参照答案：（1）2×2列联表以下：2）由，所以有%的掌握认为“成绩与班级相关系”.考点：合情推理及证明已知，分别求，，，而后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.参照答案：由，得；；.归纳猜想一般性结论为.证明以下：（同上）考点：合情推理及证明1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，依据类比思想，若四周体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四周体的体积V=________.2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设的两边相互垂直，则.”拓展到空间，类比平面几何的