2023年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学〔理科〕第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2023年浙江，1，4分】，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】取所有元素，得，应选A．【点评】此题考查集合的根本运算，并集的求法，考查计算能力．〔2〕【2023年浙江，2，4分】椭圆的离心率是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】，应选B．【点评】此题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．〔3〕【2023年浙江，3，4分】某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积〔单位：cm3〕是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为，应选A．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是根底题目．〔4〕【2023年浙江，4，4分】假设，满足约束条件，那么的取值范围是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，应选D．【点评】此题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．〔5〕【2023年浙江，5，4分】假设函数在区间上的最大值是，最小值是，那么〔〕〔A〕与a有关，且与b有关〔B〕与a有关，但与b无关〔C〕与a无关，且与b无关〔D〕与a无关，但与b有关【答案】B【解析】解法一：因为最值在中取，所以最值之差一定与b无关，应选B．解法二：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或，即，或时，函数在区间上单调，此时，故的值与有关，与无关；②当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且，此时，故的值与有关，与无关；③当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且，此时，故的值与有关，与无关．综上可得：的值与有关，与无关，应选B．【点评】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．〔6〕【2023年浙江，6，4分】等差数列的公差为，前项和为，那么“〞是“〞的〔〕〔A〕充分不必要条件〔B〕必要不充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，假设，那么，所以“〞是“〞的充要条件，应选C．【点评】此题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于根底题．〔7〕【2023年浙江，7，4分】函数的导函数的图像如下图，那么函数的图像可能是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】解法一：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，那么由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点〔即函数的极大值点〕在x轴上的右侧，排除B，，应选D．解法二：原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，应选D．【点评】此题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于根底题．〔8〕【2023年浙江，8，4分】随机变量满足，，．假设，那么〔〕〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，【答案】A【解析】，，应选A．【点评】此题考查离散型随机变量的数学期望和方差等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．〔9〕【2023年浙江，9，4分】如图，正四面体〔所有棱长均相等的三棱锥〕，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面较为，，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】解法一：如下图，建立空间直角坐标系．设底面的中心为．不妨设．那么，，，，，，，，，，．设平面的法向量为，那么，可得，可得，取平面的法向量．那么，取．同理可得：．．∵．∴．解法二：如下图，连接，过点发布作垂线：，，，垂足分别为，连接．设．那么．同理可得：c，．由可得：．∴，为锐角．∴α＜γ＜β，应选B．【点评】此题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．〔10〕【2023年浙江，10，4分】如图，平面四边形，，，，与交于点O，记，，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】∵，，，∴，∴，由图象知，，∴，，即，应选C．【点评】此题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决此题的关键．第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．〔11〕【2023年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术〞可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并开展了“割圆术〞，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术〞的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．【答案】【解析】如下图，单位圆的半径为1，那么其内接正六边形中，是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为．【点评】此题考查了圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是根底题．〔12〕【2023年浙江，12，6分】，〔是虚数单位〕那么，．【答案】5；2【解析】由题意可得，那么，解得，那么．【点评】此题考查了复数的运算法那么、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．〔13〕【2023年浙江，13，6分】多项式，那么，．【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得．【点评】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是根底题．〔14〕【2023年浙江，14，6分】，，．点为延长线上一点，，连结，那么的面积是；．【答案】；【解析】取中点，中点，由题意：，中，，，．又，，综上可得，面积为，．【点评】此题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于根底题．〔15〕【2023年浙江，15，6分】向量a，b满足那么的最小值是__；最大值是__．【答案】4；【解析】解法一：设向量和的夹角为，由余弦定理有，，那么，令，那么，据此可得：，，即的最小值为4，最大值为．解法二记，那么，如图，由余弦定理可得：，，令，，那么，其图象为一段圆弧，如图，令，那么，那么直线过、时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，所以．综上所述，的最小值为4，最大值为．【点评】此题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等根底知识，注意解题方法的积累，属于中档题．〔16〕【2023年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，共有中不同的选法．〔用数字作答〕【答案】660【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队〞中的选择方法为：种方法，其中“效劳队中没有女生〞的选法有种方法，那么满足题意的选法有：种．解法二：第一类，先选1女3男，有种，这4人选2人作为队长和副队有种，故有种，第二类，先选2女2男，有种，这4人选2人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为：660．【点评】此题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．〔17〕【2023年浙江，17，4分】，函数在区间上的最大值是5，那么的取值范围是．【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，那么：或：，解得：或，综上可得，实数的取值范围是．【点评】此题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔18〕【2023年浙江，18，14分】函数．〔1〕求的值；〔2〕求的最小正周期及单调递增区间．解：〔1〕，．〔2〕由，的最小正周期为QUOTE．令，，得，，函数的单调递增区间为．【点评】此题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．〔19〕【2023年浙江，19，15分】如图，四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．〔1〕证明：平面；〔2〕求直线与平面所成角的正弦值．解：解法一：〔1〕取的中点，连接，，∵为的重点，∴，在四边形中，，，为中点易得，∴平面平面，平面，平面．〔2〕连结，过作与，连结，因为，所以，易知四边形为矩形，所以，所以平面，又，所以平面，所以，设，那么，所以，，所以，又平面，所以，所以平面，即点到平面的距离为，也即点到平面的距离为，因为为的中点，所以点到平面的距离为，在中，，，，由余弦定理可得，设直线与平面所成的角为，那么．解法二：〔1〕略；构造平行四边形．〔2〕过作，交的延长线于点在中，设，那么易知〔〕，解得，过作的平行线，取，由题易得，，，，，那么，，，设平面的法向量为，那么，令，那么，故，设直线与平面所成的角为，那么故直线与平面所成角的正弦值为．【点评】此题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．〔20〕【2023年浙江，20，15分】函数．〔1〕求的导函数；〔2〕求在区间上的取值范围．解：〔1〕．〔2〕令，那么，当时，，当时，，那么在处取得最小值，既最小值为0，又，那么在区间上的最小值为0．当变化时，，的变化如下表：x1-0+0-↘↗↘又，，，那么在区间上的最大值为．综上，在区间上的取值范围是．．【点评】此题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．〔21〕【2023年浙江，21，15分】如图，抛物线，点，，抛物线上的点．过点作直线的垂线，垂足为．〔1〕求直线斜率的取值范围；〔2〕求的最大值．解：〔1〕由题易得，，故，故直线斜率的取值范围为．〔2〕由〔1〕知，，所以，设直线的斜率为，那么，，联立直线、方程可知，故，又因为，故，所以，令，，那么，由于当时，当时，故，即的最大值为．【点评】此题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．〔22〕【20