管理运筹学讲义第3章运输问题

第3章运输问题Subtitle学习要点1．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形式2．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行解3．掌握位势法求解、牢固掌握三合一表格求解运输问题过程1石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.1运输问题及其数学模型§3.2表上作业法§3.3产销不平衡的运输问题§3.4应用举例本章主要内容第3章运输问题2石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.1运输问题及其数学模型

问题的提出一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。回本章目录3石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3.1

某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示

问应如何调运，可使得总运输费最小?4石家庄经济学院管理科学与工程学院解：这是一个产销平衡的运输问题，设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量（i=1，2，3；j=1，2，3，4）该运输问题的线性规划模型如下：Minf=3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24+7x31+4x32+10x33+5x345石家庄经济学院管理科学与工程学院s.t.x11+x12+x13+x14=7

x21+x22+x23+x24=4

x31+x32+x33+x34=9

x11+x21+x31=3

x12+x22+x32=6

x13+x23+x33=5

x14+x24+x34=6xij≥0(i=1、2、3；j=1、2、36石家庄经济学院管理科学与工程学院其系数矩阵为：共有m+n行，分别表示产地和销地；有mn列分别表示各变量；每列只有两个1，其余为0。7石家庄经济学院管理科学与工程学院

运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个销地。产地Ai的产量为；销地Bj的销量为。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个产地供应多个销地的单品种物资运输问题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。8石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-1产销平衡表9石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-2单位运价表10石家庄经济学院管理科学与工程学院

表中的表示由产地Ai向销地Bj运输物资的数量（即运量）。在产销平衡表3-1中，去掉最后一行和最后一列余下的部分，称为一个调运方案，或简称为一个方案。或者将上述两个表格合在一起，称为运输表（表3-3）。11石家庄经济学院管理科学与工程学院

销地产地B1B2…Bn产量A1x11x12…x1na1A2x21x22…x2na2Amxm1xm2…xmnam销量b1b2…bn

表3-3运输表12石家庄经济学院管理科学与工程学院下面分两种情况来讨论：

（1）。即运输问题的总产量等于其总销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。（2）。即运输问题的总产量不等于总销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。

我们重点讨论产销平衡的运输问题及其求解方法。然后在此基础上讨论产销不平衡的运输问题应该如何转化为产销平衡的运输问题。13石家庄经济学院管理科学与工程学院若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：

14石家庄经济学院管理科学与工程学院其中，ai和bj满足：(3-2)称为产销平衡条件。15石家庄经济学院管理科学与工程学院将（3-1）的结构约束加以整理，可知其系数矩阵的结构比较松散，且特殊16石家庄经济学院管理科学与工程学院该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零。即17石家庄经济学院管理科学与工程学院

根据运输问题的数学模型求出的运输问题的解，代表着一个运输方案，其中每一个变量xij的值表示由Ai调运数量为xij的物品给Bj。前已指出运输问题是一种线性规划问题，可设想用迭代法进行求解，即先找出它的某一个基可行解，再进行解的最优性检验，若它不是最优解，就进行迭代调整，以得到一个新的更好的解，继续检验和调整改进，直至得到最优解为止。18石家庄经济学院管理科学与工程学院

为了能按上述思路求解运输问题，要求每步得到的解X=(xij)都必须是基可行解，这意味着:（1）解X必须满足模型中的所有约束条件；（2）解中基变量xij的个数不能大于(m+n-1)个；原因是运输问题中虽有(m+n)个约束条件，但由于总产量等于总销量，故只有(m+n-1)个约束条件是线性独立的。19石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.2表上作业法表上作业法是求解产销平衡运输问题的一种简便而有效的方法，其求解工作在运输表上进行。其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所有同。可归纳为以下步骤：

回本章目录20石家庄经济学院管理科学与工程学院（1）找出初始基本可行解（初始运输方案）（2）求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基本可行解。（4）重复（2），（3）直到得到最优解为止。以上运算都可以在运输表上完成。21石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.2.1初始基本可行解的确定

与一般线性规划问题不同，产销平衡运输问题总是存在可行解。不难验证

≥

就是模型（3-1）的可行解。又因，目标函数值有下界，故产销平衡的运输问题必有最优解。22石家庄经济学院管理科学与工程学院

确定初始基本可行解的方法很多，一般希望方法是既简便，又尽可能接近最优解。下面介绍三种方法：最小元素法，西北角法和伏格尔（Vogel）法。23石家庄经济学院管理科学与工程学院（1）最小元素法

最小元素法的基本思想是优先满足单位运价最小的供销业务。首先找出运价最小的，并以最大限度满足其供销量为原则确定供销业务。然后，在余下的未确定的供销业务中找运价最小的，同样以最大限度满足其供销量为原则确定供销业务，同样的方法反复进行直到确定了所有的供销业务，得到一个完整的调运方案即初始基本可行解为止。由于该方法基于优先满足单位运价最小的供销业务，故称为最小元素法。

24石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-5运输表（运价小者先安排）销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A17311310A241928A3974105需求3656201321344653103产销平衡表运价表25石家庄经济学院管理科学与工程学院（2）西北角法

西北角法与最小元素法不同，它不是优先考虑具有最小单位运价的供销业务，而是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的供销需求。

26石家庄经济学院管理科学与工程学院考虑例3.1某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示。27石家庄经济学院管理科学与工程学院问应如何调运，可使得总运输费最小?28石家庄经济学院管理科学与工程学院销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A17311310A241928A3974105需求365620342236产销平衡表运价表29石家庄经济学院管理科学与工程学院注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都应只划去一行或一列。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行(列)，然后在保留的列（行）没被划去的格内标一个0。

例3.2

某公司下属有生产一种化工产品的三个产地A1、A2、A3，有四个销售点B1、B2、B3、B4销售这种化工产品。各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所示。30石家庄经济学院管理科学与工程学院销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A1753859A2402948A3806375需求35405565195产销平衡表运价表

问应如何调运，可使得总运输费最小?31石家庄经济学院管理科学与工程学院解：用西北角法求初始基本可行解销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A1753859A2402948A3806375需求35405565195产销平衡表运价表3540040156532石家庄经济学院管理科学与工程学院（3）伏格尔法(沃格尔法Vogel)

最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其它处要多花几倍的运价。伏格尔法考虑到，某产地的产品假如不能按最小运价就近供应，就考虑次小运价，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运价调运时，运费增加越多。因而对差额最大的行或列，就应当采用最小运价调运。伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优解。

33石家庄经济学院管理科学与工程学院销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A17311310A241928A3974105需求365620产销平衡表运价表2513

01160123212

37651234石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.2.2解的最优性检验

用单纯形法解线性规划问题时，在迭代过程中每次求得一个基本可行解以后，都要检验它是不是最优解，如果不是最优解，就要继续进行迭代，直到求得最优解或者判定无最优解。对于运输问题来说，按单纯形法来求检验数并进行迭代是非常困难的。表上作业法是用以下两种方法来处理这个问题的：闭回路法和位势法。35石家庄经济学院管理科学与工程学院一、闭回路法

在单纯形法中，为了检验一个基本可行解是不是最优解，需要求出所有非基变量的检验数。在运输问题中，每个空格对应一个非基变量。因此，我们需要求出每个空格的检验数。由于目标要求极小，因此，当所有的检验数都大于或等于零时该调运方案就是最优方案。

36石家庄经济学院管理科学与工程学院

定义3.1

闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。37石家庄经济学院管理科学与工程学院

①闭回路均为一封闭折线，它的每一条边，或为水平的，或为垂直的；②闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有且仅有两个顶点（基变量格）。

根据定义可以看出闭回路的一些明显特点:：可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的一个闭回路。38石家庄经济学院管理科学与工程学院所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的空格（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。最后我们计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。如果所有代表非基变量的空格的检验数也即非基变量的检验数都大于等于零，则已求得最优解，否则继续迭代找出最优解。39石家庄经济学院管理科学与工程学院方法：对每个非基变量xij

其检验数为

ij=(闭回路上的奇数次顶点单位运费之和)-(闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A1437311310A23141928A363974105需求365620所以22=9-2+3–10+5–4=140石家庄经济学院管理科学与工程学院11=3-3+2-1=112=11-10+5-4=222=9-2+3–0+5–4=124=8–10+3–2=-131=7-5+10–3+2–1=1033=10-5+10-3=12闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算都会产生困难。

41石家庄经济学院管理科学与工程学院二、位势法（对偶变量法）

对于一个调运方案的每列赋予一个值，称为列位势。记为：，对于每行赋予一个值，称为行位势，记为。它们的值由下列方程组决定：

其中，cij是所有基变量xij的系数。可以证明，“任意确定一个u或v的值，其它u、v的值可以唯一决定”。对于任何非基变量xij，其检验数为：

ij=cij–(ui+vj)i=1,…,m;j=1,…,n42石家庄经济学院管理科学与工程学院

我们先给u1赋个任意数值，不妨设u1=0，则从基变量x13的检验数求得v3=c13-u1=3-0=3。同理可以求得v4=10，u2=-1等等见上表。销地产地B1B2B3B4uiA1

1

2430A23

11

-1-1A3

106

123-5vj29310202031131085102947143石家庄经济学院管理科学与工程学院

应该说明，尽管各个u、v的值依赖于第一个取定的u或v的值，但ui+vi的值不变，故检验数的值是唯一确定的（不难看出，若某ui增加2，所有u均加2，所有v均减2，而u+v不变）。44石家庄经济学院管理科学与工程学院

如果某一个调运方案的所有空格的检验数都大于或等于零，则该调运方案是最优方案。因为在这种情况下，方案的任何变动都不会使总的运费减少。当检验数表中有负的检验数时，说明该调运方案不是最优方案，进一步调整，还可以使总的运费减少。

§3.2.3解的改进45石家庄经济学院管理科学与工程学院调整方法：

(1)找闭回路：以最小的负检验数对应的非基变量为起始顶点寻找一个闭回路。(2)求调整量：闭回路上偶数次顶点运量的最小值为调整量，记作：θ(3)调整：闭回路上的偶数次顶点的调运量减去θ；闭回路上的奇数次顶点的调运量加上θ；非闭回路顶点的其他变量调运量不变，这样就得到一个新的运输方案。46石家庄经济学院管理科学与工程学院

下表中红色数字是用最小元素法确定的初始可行解的基变量，方格中的右上角数字是运价，带圈的数字是用位势法法求得的非基变量的检验数。销地产地B1B2B3B4uiA1

1

2430A23

11

-1-1A3

106

123-5vj29310202031131085102947147石家庄经济学院管理科学与工程学院销产B1B2B3B4产量A1527A2314A3639需求36562024=-1，作x24的闭回路，调整数=1，调整得48石家庄经济学院管理科学与工程学院重新求新方案的检验数：可知所有的检验数均为非负，因此得到最优解：

x13=5,x14=2,x21=3,x24=1,x32=6,x34=3,其余的xij=0总运费为：f=5×3+2×10+3×1+1×8+6×4+3×5=85。

如果非基变量的检验数有等于零的时候，将出现多解的情况。上面的例题是多解情况。49石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.2.4表上作业法中需要说明的问题

（1）无穷多最优解

当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数等于零，则说明该运输问题有多重（无穷多）最优解。50石家庄经济学院管理科学与工程学院（2）退化当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。在运输问题中，退化解是时常发生的。为了使表上作业法的迭代工作进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基可行解的分量恰好为个。51石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.3产销不平衡的运输问题

前面我们讨论的运输问题，都是产销平衡的问题，即满足在实际问题中，产销往往是不平衡的，遇到这种情况，我们可以经过简单的处理，使其转化为产销平衡问题，然后再按前面的方法来求解。故本节着重于讲清产销不平衡转化为产销平衡的方法。下面分两种情况来讨论：产量大于销量的情况以及销量大于产量的情况。回本章目录52石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.3.1产量大于销量对于产大于销问题，可得到下列运输问题的模型：53石家庄经济学院管理科学与工程学院54石家庄经济学院管理科学与工程学院

可增加一个假想的销地，其销量为：由于假想的销地实际上并不存在，因而由某个产地Ai运到这个假想销地Bn+1的物资量xi,n+1，实际上就意味着将这些物资在原产地贮存，其相应的运价，上述不平衡问题就可以转化为产销平衡的问题，其数学模型为：55石家庄经济学院管理科学与工程学院56石家庄经济学院管理科学与工程学院例3-3某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？销产B1B2B3产量B1B2B3A178131512A245112922需求533625

12311457石家庄经济学院管理科学与工程学院解：

这里，总产量为78+45=123；总销量为53+36+25=114。产销不平衡，增加一个虚设的销地，得到下表销产B1B2B3B4产量B1B2B3B4A1781315120A2451129220需求5236259123计算过程从略。58石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.3.2产量小于销量59石家庄经济学院管理科学与工程学院

可增加一个假想的产地，其产量为：由于假想的产地实际上并不存在，其产量当然也不存在。因此由假想产地运往某个销地的物资数量，实际上就意味着销地缺少这些物资供应的量，其相应的运费为。

上述不平衡问题就转化为平衡的问题，

60石家庄经济学院管理科学与工程学院61石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3-4某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表，问：应如何调运可使总运输费用最小？销产B1B2B3产量B1B2B3A178131512A245112922需求533665

12315462石家庄经济学院管理科学与工程学院解:这里，总产量小于总销量，产销不平衡，增加一个虚设的产地，得到下表销产B1B2B3产量B1B2B3A178131512A245112922A331000需求533665154计算过程从略。63石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3-5有A1、A2、A3三个生产某种物资的产地，五个地区B1、B2、B3、B4、B5对这种物资有需求。现要将这种物资从三个产地运往五个需求地区，各产地的产量、各需求地区的需要量和各产地运往各地区每单位物资的运费如下表所示，其中B2地区的115个单位必须满足。问：应如何调运可使总运输费用最小？64石家庄经济学院管理科学与工程学院运输费用及产量、需求量表销地产地B1B2B3B4B5产量A1101520204050A22040153030100A33035405525130需求2511560307028030065石家庄经济学院管理科学与工程学院解：由于产量小于需求量，因此设一虚设产地A4,它的产量为需求量与产量的差20，与这一项有关的运输费用一般为零。因为B2地区的115个单位必须满足，即不能有物资从A4运往B2地区，于是取相应的费用为M（M是一个充分大的正数），以保证在求最小运输费用的前提下，该变量的值为零。66石家庄经济学院管理科学与工程学院可以建立如下产销平衡的运输费用表销地产地B1B2B3B4B5产量A1101520204050A22040153030100A33035405525130A40M00020需求2511560307067石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3-6某研究院有B1、B2、B3三个区。每年取暖分别需要用煤3500吨、1100吨、2400吨，这些煤都要由A1、A2两处煤矿负责供应，价格、质量均相同。A1、A2煤矿的供应能力分别为1500吨、4000吨，运价（元/吨）如下表。由于需求大于供给，经院研究决定B1区供应量可减少0—900吨，B2区必须满足需求量，B3区供应量不少于1600吨，试求总费用为最低的调运方案。68石家庄经济学院管理科学与工程学院销地产地B1B2B3产量A11751952081500A21601822154000需求量350011002400解：这是需求量大于生产量的运输问题，由于B1区供应量可减少0—900吨，B2区必须满足需求量，B3区供应量不少于16005500700069石家庄经济学院管理科学与工程学院吨，可以把B1区和B3区分别设为两个区：一个为必须满足需求量的区域，另一个为可以调整供应量的区域。这样，原问题化为五个需求区域B1、B1’、B2、B3、B3’的问题，同时增加一个虚设的产地A3。在运输费方面,必须满足需求量的相应变量，运费的取值为M，可调整需求量的相应变量，运费的取值为0，作出产销平衡的运价表。70石家庄经济学院管理科学与工程学院销地产地B1B1*B2B3B3*产量A11751751952082081500A21601601822152154000A3M0MM01500需求量260090011001600800计算过程从略71石家庄经济学院管理科学与工程学院§3.4应用举例

在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯形法简单。解决实际问题时，人们常常尽可能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。下面为几个典型的例子。回本章目录72石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3-7某公司生产某种规格的设备，由于生产与季节有关系，生产能力与成本有差异，如下表所示。某种规格设备各季节的生产能力与成本

第一季度第二季度第三季度第四季度生产能力(台)500700600200成本(万元/台）9.810.510.310.673石家庄经济学院管理科学与工程学院该厂年初签订的合同规定：当年一、二、三、四每个季度末分别需要提供200、300、500、400台这种规格的设备。如果生产出来的设备当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用为0.15万元。试求在完成合同的前提下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。74石家庄经济学院管理科学与工程学院解：

设xij为第i季度生产的第j季度交货的设备数目，则问题的线性规划模型为：

cij=第i季度每台的生产成本+0.15(j-i)（储存、维护等费用）。计算可得：c11=9.8,c12=9.95,c13=10.1,c14=10.25,c22=10.5,c23=10.65,c24=10.8,c33=10.3,c34=10.45,

c44=10.6。75石家庄经济学院管理科学与工程学院于是得到目标函数：

Minf=9.8x11+9.95x12+10.1x13+10.25x14++10.5x22+10.65x23+10.8x24+10.3x33++10.45x34+10.6x44我们把第i季度生产的设备数目看作第i个生产厂的产量；把第j季度交货的设备数目看作第j个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。由于产大于销，虚构一个销地，可构造下列产销平衡问题:76石家庄经济学院管理科学与工程学院

各季节的生产、交货费用表

交货生产第一季度第二季度第三季度第四季度虚设交货生产能力第一季度9.89.9510.110.250500第二季度M10.510.6510.80700第三季度MM10.310.450600第四季度MMM10.60200交货量200300500400600200077石家庄经济学院管理科学与工程学院

例3-8

某航运公司承担六个港口城市A，B，C，D，E，F的四条固定航线的物资运输任务。已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表3-8。假定各条航线使用相同型号的船只，各城市间的航班天数见表3-9。每条船只每次装卸货的时间各需1天。问该航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有航线的运货需求？78石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-8航线起点城市终点城市每天班数1234EBADDCFB321179石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-9到从ABCDEFABCDEF012147710313882301555141315017207851703785203O80石家庄经济学院管理科学与工程学院

解

该公司所需配备船只可分两部分：（1）载货航程需要的周转船只数。例如航线1，在港口E装货1d，E至

D航程17d，在D卸货1d,总计19d。每天3航班，故该航线周转船只需57条，各条航线周转所需船只数见表3-10。以上累计共需周转船只数91条。81石家庄经济学院管理科学与工程学院

（2）各港口间调度所需船只数。有些港口每天到达船只数多于需要发出船只数，例如港口D，每天到达3条，需求1条；而有些港口到达数少于需求数，例如港口B。各港口每天余缺船只数的计算如表3-11所示。航线装货天数航程天数卸货天数小计航班数需周转船只数12341111173713111119591532115710915表3-10

82石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-11港口城市每天到达每天需求余缺数ABCDEF012301120130-1-122-31

为使配备船只数最小，应做到周转的空船数最少。因此建立以下运输问题，其产销平衡表如表3-12所示。83石家庄经济学院管理科学与工程学院表3-12ABE每天多余船只CDF221每天缺少船只113

84石家庄经济学院管理科学与工程学院单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数如表3-13所示。

表3-13ABECDF21473138517385石家庄经济学院管理科学与工程学院用表上作业法求出空船的最优解调度方案如表3-14所示。

表3-14ABE每天多余船只CDF1121221每天缺少船只113

由表3-14知算出最少需周转的空船数为40条，这样在不考虑维修、储备等情况下，该公司至少应配备131条船。MinZ=1X14+1X13+2X5+1X3=4086石家庄经济学院管理科学与工程学院课堂练习一、产销不平衡的运输问题1.石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000吨，运价为：由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。解：根据题意，作出产销平衡与运价表：这里M代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的x31、x33、x34取值为0。87石家庄经济学院