计量资料的统计描述讲义

学无止境1名词解释

总体随机抽样小概率事件

变量

2简答题

1）试述统计工作的四大步骤。2）试述统计中资料的分型原则及资料类型的特点。复习21总体与样本总体样本根据研究目的确定的同质的研究对象所有观察单位的某种变量值的集合叫总体。从总体中随机抽取的一部分观察单位，是总体有代表性的一部分3变量类型数值变量（定量变量）分类变量（定性变量）无序分类有序分类二项分类多项分类变量（指标或因素）：指观察单位的特征。4统计资料的分型原则：根据变量的类型统计资料计量资料：计数资料：等级资料对每个观察单位用定量方法测定某项指标的大小，所得的资料叫计量资料，有度量衡单位，变量为数值变量。将观察单位按某一属性来分类计数所得的资料。变量为分类变量中的无序分类。将观察单位按某一属性的不同程度来分类计数的资料。变量为分类变量中的有序分类。5统计工作的步骤：统计设计搜集资料整理资料分析资料统计描述统计推断6统计分析资料计量资料计数资料等级资料统计描述统计推断7第二章8910对一个随机事件进行重复观察，其中某变量值出现的次数被称作频数（frequency）。频数分布表（frequencydistributiontable），简称频数表（frequencytable），是用于反应各变量值及其相应频数之间的关系。在观察值个数（即样本含量n）较多时，为了解一组同质观察值的分布规律和便于指标的计算，可编制频数分布表。第一节数值变量资料的频数表11一、频数表的编制以例2.1说明其编制方法。2．定组段和组距：1．求全距（range）3．列出频数表二频数表的特征三、频数表的用途12例2.1某地1998年抽样调查了100名18岁男大学生的身高（cm）资料如下，试编制频数表。某地1998年100名18岁男大学生的身高（cm）131．求全距（range）：找出观察值中的最大值与最小值，其差值即为全距（或极差），用R表示。本例最大值为183.5cm，最小值为162.9cm，则R=183.5-162.9=20.6（cm）2．定组段和组距：根据样本含量的多少确定“组段”数，一般设8-13个组段。常用全距的1/10取整做组距：R/10各组段的起点和终点分别称为下限和上限，某组段的组中值为该组段的（下限+上限）/2。相邻两组段的下限之差称为组距，，以便于汇总和计算。14注意：第一组段应包括全部观察值中的最小值，最末组段应包括全部观察值中的最大值，并且同时写出其下限与上限。15本例全距20.6的1/10为2.06，取整为2.0cm即组距=2.0cm；第一组段的下限为162cm，第二组段的下限为164cm，依次类推，最末组段为182cm-184cm，如表2.1的第（1）栏。163．列出各个组段的频数表：把上述的组段序列制成表的形式，采用计算机或用划记法将原始数据汇总，得出各组段的观察例数，即频数，如表2.1的第（2）栏。将各组段（或各观察值）及其相应的频数列表即为频数表，如表2.1的第（1）、（2）栏。表2.1某地100名18岁男大学生身高（cm）均数的频数表17Range(Valuemax-Valuemin)RawdataClasses(groups)Classinterval(Range/10)TabulationMakingthefrequencytableFlowChartofmakingaFrequencyTable18二、频数分布的特征由频数表可看出频数分布的两个重要特征：集中趋势（centraltendency）和离散程度(dispersion)。例如本例，身高有高有矮，但中等身高居多，此为集中趋势；由中等身高到较矮或较高的频数分布逐渐减少，反映了离散程度。对于数值变量资料，可从集中趋势和离散程度两个侧面去分析其规律性。19频数分布有对称分布和偏态分布之分。对称分布是指集中位置在中央，左右两侧频数分布大致对称，如表2.1的（1）、（2）栏所示，若绘制成直方图（见下图）则更为直观清楚。20偏态分布是指频数分布不对称，集中位置偏向一侧，若集中位置偏向数值小的一侧，称为正偏态分布；集中位置偏向数值大的一侧，称为负偏态分布。不同的分布类型应选用不同的统计分析方法。现将频数分布图示如下：21频数分布类型对称分布频数分布偏态分布正偏负偏频数分布高峰位于中部，左右两恻的频数大体对称。高峰偏于右侧，长尾向左侧延伸，则为负偏态。高峰偏于左侧，长尾向右侧延伸，则为正偏态22SymmetricDistributionAsymmetricdistribution

SkewedtotheLeftAsymmetricHistograms

SkewedtotheRight23三、频数表的用途⒈可揭示频数分布类型，以便选取适当的统计方法⒉揭示频数分布两个重要特征⒊便于发现某些可疑值（特大值或特小值）⒋便于进一步计算统计指标24第二节数值变量资料的描述性指标计量资料的统计描述集中趋势的描述离散趋势的描述算术平均数几何均数中位数

所选用指标所选用指标极差四分位间距方差和标准差变异系数25一、集中趋势的统计描述指标描述一组同质观察值的平均水平或中心位置的指标常称平均数（average）。平均数反映同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定。常用的平均数有均数、几何均数、中位数、众数等。26（一）均数（mean，average）算术平均数（arithmeticmean），或称为算术均数，简称为均数，是最重要的平均数。适用于对称分布资料，尤其是正态分布资料。总体均数用μ表示，样本均数用X表示。根据资料情况，计算方法有直接法和加权法。271.直接法：由观察值直接计算，用于样本含量较少时，其公式为：式中，希腊字母Σ(读作sigma)表示求和；X1，X2，…，Xn为各观察值；n为样本含量，即观察值的个数。28例2.2某地10名18岁健康男大学生身高（cm）分别为168.7,178.4,170.0,170.4,172.1,167.6,172.4,170.7,177.3,169.7求平均身高。292．加权法（weightingmethod）：当资料中出现相同观察值时，可将相同观察值的个数（即频数）与该观察值X的乘积代替相同观察值逐个相加，即

X1，X2，……，Xkf1，f2，……，fk其平均数的计算公式可用下式表示：30对于已编制成频数表的资料，可用每组段的组中值[＝（下限＋上限）/2]代替该组段观察值的实际取值，用上式计算均数。其中X1,X2，…，Xk或X分别表示各组段的组中值，f1，f2，…，fk或f表示相应组段的频数频数f为相应X的权（weight），故称加权法31例2.3计算表2.1资料的平均身高。该100名18岁健康男大学生身高的均数为172.70cm。32均数的应用范围及条件：1.只能在同质的基础上，对同质的事物求均数才有意义，才能反映事物的特征和其平均水平。2.均数适用于对称分布，尤其是正态分布资料，这时均数位于分布的中央，能反映观察值的集中趋势，即其平均水平。3.对于偏态分布资料，均数不能很好地反映其集中趋势，这时应改用其它指标如：几何均数或中位数来描述其集中趋势。33（二）几何均数（geometricmean）用G表示适用于数据经过对数变换后呈正态分布的资料，也可用于观察值之间呈倍数或近似倍数变化（等比关系）的资料。如医学实验中的抗体滴度、平均效价、某些疾病的潜伏期等。其计算方法有：341.直接法：

由原始变量值直接计算几何均数。设变量值为X1,X2…Xn，几何均数G为：35例2.4有6份血清的抗体效价为1:10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160,求其平均效价？用抗体效价的倒数代入上式，求平均效价的倒数。该6份血清抗体效价的平均效价为1:45。362.加权法：当资料中出现相同观察值的个数较多时，或资料为频数表资料，则用加权法计算几何均数。变量及频数如下，符合几何均数的适用条件：X1，X2，…Xk

f1，f2，…fk

则几何平均数G为：

37例2.5

某地面50名麻疹易感儿童接种麻疹疫苗一个月后，测其血凝抑制抗体滴，如表2.2中（1）、（2）栏，求平均抗体滴度。38表2.250名麻疹易感儿童平均抗体滴度计算表

其血凝抗体滴度的平均滴度为1:57。

39几何均数的应用范围及条件1.几何均数常用于等比级资料或对数正态分布资料。如卫生事业平均发展速度、人口的几何增长、抗体的平均效价等。2.资料中观察值不能有0。因为零和负数不能取对数，不能与任何数成倍数关系。3.资料中观察值不能同时有正值和负值。若全为负值，计算时先把负值去掉，得出结论后再加上负号。40（三）中位数和百分位数：中位数（median）：把

n

个变量值从小到大排列，位于中间位置的变量值称为中位数，用M表示。在全部观察中，小于和大于中位数的观察值个数相等。百分位数（percentile）：把n个变量值从小到大排列，第X百分位数对应的变量值称为第X

百分位数，用Px

表表示。一个百分位数Px将一组观察值分为两部分，理论上有X%的观察值比它小，有（100-X）%的观察值比它大。中位数是一个特定的百分位数，即M=P50

411.计算方法：(1)直接法：将观察值由小到大排列，按下式计算。n为奇数n为偶数式中,下标、、为有序数列的位次。、、为相应位次的观察值。42例2.6某病患者9名，其发病的潜伏期（天）为：2，3，3，3，4，5，6，9，16，求中位数。本例n=9，为奇数，按式（2.6）得：（天）若在例2.6基础上再继续观察，在第20天又发现1例患者，则n=10，为偶数，按式（2.7）得：＝（X5+X6）/2=（4+5）/2=4.5（天）43（2）频数表法用于频数表资料。计算步骤是：①按所分组段由小到大计算累计频数和累计频率,如表2.3第(3)、（4）栏；②确定Px所在组段；③按下式求中位数M或其它百分位数Px。44Px所在组段的组距Px所在组段的下限Px所在组段的频数∑fL为小于L的各组段累计频数计算中位数时，X=50，即M=P50。45例2.7由表2.3中(1)、（2）栏数据计算中位数M，P25，P75，P2.5，P97.5表2.3199名食物中毒患者潜伏期的M和PX的计算本例n=199，根据表2.3第(2)栏数据，自上而下计算累计频数及累计频率，见第(3)、（4）栏。由第（4）栏知50%在15.1%与50.8%之间，故M在“12～”组段内，将相应的L、i、f50、代入（2.8），求得M。46M=P50==12+12/71（199×50%-30）=23.75(小时)同理,P25=12+12/71（199×25%-30）=15.34（小时）P75=24+12/49（199×75%-101）=35.82（小时）P2.5=0+12/30（199×2.5%-0）=1.99（小时）P97.5=60+12/6（199×97.5%-192）=64.05（小时）472.应用：（1）中位数的应用范围及条件中位数可用于描述任何分布，特别是偏态分布资料以及频数分布的一端或两端无确切数据资料的中心位置。因为中位数不是由全部观察值综合计算出来的，它不受特大值或特小值的影响，故可用中位数描述此种类型资料的集中趋势。在对称分布的总体中，中位数和均数在理论上是相同的。在对数正态分布的总体中，中位数和几何均数在理论上是相同的。由于中位数只受居中变量值的影响，故它不够敏感。48（2）百分位数的应用范围及条件百分位数常用于描述偏态分布资料在某百分位置上的水平和分布特征。多个百分位数结合起来使用，可以全面描述总体或样本的分布特征，包括位置大小和变异度。百分位数常用于确定医学参考值范围。一般说来，分布中部的百分位数比较稳定，具有较好的代表性。4950二、离散程度的统计描述指标前已提及，频数分布有集中趋势和离散程度两个重要特征，只有把两者结合起来才能全面反映一组数值变量资料的分布特征。上述的集中趋势指标只反映一组同质观察值的平均水平或中心位置，但是生物界中普遍存在变异（即同质基础上的个体差异），还需用离散程度指标反映一组同质观察值的变异度。51例如，设有三组同年龄、同性别儿童体重（kg）数据如下：甲组：2628303234乙组：2427303336丙组：2629303134从该上述资料中三组数据我们可以看出：我们可分别用均数来描述这三组数据的集中位置，它们的都是30kg。这三组数据的分布特征不尽相同，这就是说各组的5个数据间参差不齐的程度（即变异度）是不一样的，或者说三组的离散度不同，这在分析资料时不能不加以考虑。52离散程度指标反映一群变量值的变异程度或离散程度。常用的指标有全距（range）、四分位数间距（interquartile）、方差（viration）标准差（standarddeviation）和变异系数（coefficientofvariation）,其中最常用的是标准差。531.全距（range，简记为R）概念和意义

R=最大值—最小值反映变量值的变异范围54缺点(1)除了最大值与最小值外，不能反映组内其他数据的变异甲组：2628303234乙组：2427303336丙组：2629303134(2)样本较大时抽到较大值与较小值的可能性也较大，因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不易用极差来比较分布的变异程度552.四分位数间距（quartile，简记为Q）：为上四分位数QU（即P75）与下四分位数QL(即P25)之差。其间包括了一组观察值的一半，故四分位数间距可看成是中间50%观察值的极差。其数值越大，变异度越大，反之，变异度越小。由于四分位数间距不受两端个别极大值或极小值的影响，因而四分位数间距较全距稳定，但仍未考虑全部观察值的变异度，常用于描述偏态频数分布以及分布的一端或两端无确切数值资料的离散程度。563方差（variance）试看上例中，甲组与丙组体重的变异度，虽然两组的极差相等，均为8kg,但仍可直观地看出甲组的变异度较大。因为甲组的两个观察值28和32，较丙组的29和31更远离均数30，这是极差不能反映的。甲组：2628303234乙组：2427303336丙组：2629303134R甲=34-26=8（kg）R丙=34-26=8（kg）57为了克服极差的这一缺点，提醒我们应全面地考虑每个变量值的离散情况。先就总体而言，即应考虑总体中每个变量值与总体均数之差，称为离均差。由于有正有负，而总和为0，即。这样仍不能反映变异度的大小，故将离均差平方后再相加，即，称为离均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean

）。58离均差平方和的大小，除了与变异度有关外，还与变量值的个数的多少有关。即使两总体的变异度相同，变量值的个数多则亦大。为了消除这一影响，可取其均数，这就是总体方差。用σ2表示，即59方差的意义：反映资料的变异度大小，方差大，说明数据的变异度大，即数据较为离散。方差的优缺点：优点是计算方差时应用每一个观察值的信息，比极差和四分位间距稳定。缺点是计算方差时结果单位为原单位的平方，这样不便于理解和应用。60在实际工作中，往往得到的是样本资料，总体均数μ是未知的，故只能用样本均数作为总体均数μ的估计值，即用代替，用样本例数n代替N，但再按上属方差的计算公式计算的结果常比实际的σ2低。英国统计学家W.S.Gosset提出用n-1代替n来校正，这就是样本方差s2。式中的n-1称为自由度（degreeoffreedom）。614.标准差（standarddeviation）:因方差的度量单位是原度量单位的平方，故将方差开方，恢复成原度量单位，得总体标准差σ和样本标准差S。标准差大，表示观察值的变异度大；反之，标准差小，表示观察值的变异度小。62n-1是自由度（degreeoffreedom），是统计学中的一个常用术语，用υ表示。对于单个样本来说υ＝n-163标准差的计算（1）直接法n个变量值X1,X2，…Xn求标准差s的公式为：64（2）加权法当相同观察值的个数较多时，或资料为频数表资料，可用加权法计算标准差（此时均数的计算需用加权法），其公式为：其中X为各组段的组中值，f为相应的频数65例2.8求表2.1中100名18岁男大学生身高的标准差。由表2.1资料可得，，代入式665.变异系数（coefficientofvariation,简记为CV）：常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的两组（或多组）资料的变异度。其公式为67例2.9某地调查100名18岁男大学生，其身高均数为172.70cm,标准差为4.01cm；其体重均数为55.02kg，标准差为4.06kg，试比较两者变异度。身高体重由此可见，该地18岁男大学生体重的变异度大于身高的变异度。68第三节正态分布及其应用69一、正态分布的概念和特征由表2.1的频数表资料所绘制的直方图可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3。70这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normaldistribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。711．正态分布的图形：正态分布的密度函数f(x)为：式中：μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，μ、σ、π、e皆为常量，仅x为变量。以x为横轴，f(x)为纵轴，当μ、σ已知时，即可按上式绘出正态分布的图形。7273标准正态变换为了应用方便，令u=（X-μ）/σ对上式进行变量变换,使原来的正态分布变换成为μ=0,σ=1的标准正态分布(standardnormaldistribution),亦称u分布。u被称为标准正态变量或标准正态离差（standardnormaldeviate）把u代入上式可得标准正态分布的密度函数。74μ＝0正态分布与标准正态分布752.正态分布的特征：（1）正态曲线（normalcurve）在横轴上方均数处最高。（2）正态分布以均数为中心，左右对称。（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ。μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。σ是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。通常用N(μ、σ2)表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。76N(μ1，

σ1)N(μ2，

σ1)N(μ2，

σ2)77（4）正态分布在μ±σ处各有一个拐点。（5）正态曲线下面积的分布有一定规律。78二、正态曲线下面积的分布规律实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。可通过积分求得标准正态变量u的累积分布函数Φ(u),反映了标准正态曲线下横轴自-∞到u的面积。为了便于应用，统计学家按Φ(u)编制了标准正态分布曲线下的面积表，由此表可查出曲线下某区间的面积。对于正态或近似正态分布的资料，只要得出均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。79正态曲线下面积分布示意图正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=μ，X>μ与X<μ范围内曲线下的面积相等，各占50%，靠近X=μ处曲线下的面积较集中，两边逐渐减少。80查表方法：常用面积：μ±σ范围内占正态曲线下面积的68.27%，也就是说有68.27%的变量值分布在此范围内；μ±1.96σ范围内占正态曲线下面积的95.00%，也就是说有95.00%的变量值分布在此范围内；μ±2.58σ范围内占正态曲线下面积的99.00%，也就是说有99.00%的变量值分布在此范围内。81如果样本含量很大（如n>100），用正态分布下的面积分布规律，可据样本资料考察总体是否服从正态分布。例2.10某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数为172.70cm,标准差为4.01cm,①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求、、范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。82本例，μ、σ未知但样本含量n较大，用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，计算u值，u=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1,表的上方找到0.07,两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见下表。83表2.4100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布84三、正态分布的应用某些医学现象,如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。1.制定医学参考值范围：亦称医学正常值范围。851).医学参考值的概念：

医学参考值又称临床参考值或正常值，是指“正常”人体和动物的各种生理常数、体液、排泄物中各种成分含量及人体对各种试验的反应值。广义的医学参考值还包括各类“卫生标准”。应注意的是，医学参考值的不是一个单一的数值，而是许多数值的集合或全体，即是一个范围。2).医学参考值的作用及意义：（1）用以区分“正常”和“异常”个体，为临床诊断提供参考；（2）可用以反映不同时间、地区人群某项指标的生理变迁。863).制定参考值范围的基本步骤(1).确定“正常人”对象的范围：即根据研究目的确定的未患被研究疾病的个体。(2).统一测定标准：即检验用的试剂批号、仪器、人员、条件等应相同。(3).确定分组：一般需用年龄、性别等对“正常人”对象进行分组，分组特征也可根据检验判断。(4).样本含量确定：一般来讲，正态分布资料所需的样本含量应在100以上，偏态或未知分布时样本含量应更大。(5).确定参考值范围的单双侧：一般生理物质指标多为双侧、毒物指标则多为单侧。(6).确定百分位点：一般取95%或99%。874).参考值范围的制定方法（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。双侧界值：单侧上界：单侧下界：88（2）对数正态分布法：适用于对数正态分布资料。双侧界值：单侧上界：单侧下界：89（3）百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。双侧界值：P2.5和P97.5；单侧上界：P95，或单侧下界：P5。常用u值表905).制定参考值范围时的注意事项1.应注意参考值范围是基于一定可信度而建立的的，即它最多仅能包含95%或99%的“正常”个体；2.临床应用中采用多指标联合诊断可提高判断的效率；5.观察值的正常值范围要与均数的可信区间相区别。912.正态分布是许多统计方法的理论基础：如t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。此外，t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。92[选择题]1．X是表示变量值

的指标。（1）平均水平；（2）变化范围；（3）频数分布；（4）相互间差别大小。2．血清学滴度资料最常计算

以表示其平均水平。（1）算术均数；（2）中位数；（3）几何均数；（4）全距。3．直接法计算均数

。（1）要求组距相等；（2）不要求组距相等；（3）组距相等、不相等都可以；（4）要变量值都比较接近。练习题934．利用频数分布表及公式M=L+i/fx(n/2-ΣfL)计算中位数时

。（1）要求组距相等；（2）不相求组距相等；（