第七章医用物理教学文案

第七章静电场(ELECTROSTATIC)第一页，共57页。第一节电场(diànchǎng)和电场(diànchǎng)强度(ElectricfieldandElectricfieldstrength)1、电荷自然界只存在(cúnzài)两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。一、电场(diànchǎng)电荷守恒定律

在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。是物理学中的基本定律之一．第二页，共57页。电荷的量子化物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值，而只能取电子或质子(zhìzǐ)电荷量的整数倍值．电荷量的这种只能取分立的、不连续量值的性质，称为电荷的量子化。e=1.602189246×10－19库仑(kùlún)2.库仑定律真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力大小与它们电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着(yánzhe)两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。其数学表达形式:真空介电常数库仑

(1736~1806)第三页，共57页。二、电场(diànchǎng)强度静电场的最基本特征之一:对处于其中的其它(qítā)电荷施以电场力的作用。+++++++++++Bq0q0q0CA++++++++++q02q0++++++++++nq0第四页，共57页。试探电荷在电场(diànchǎng)中不同点所受的力，大小和方向与其电量和符号有关，但比值却只与场源电荷（激发电场(diànchǎng)的电荷）及场点位置有关。这一比值反映了电场(diànchǎng)在该点的性质，被定义为电场(diànchǎng)强度E电场强度(qiángdù)是矢量，其数值为单位正电荷所受的电场力。在国际单位制中，E的单位为或。第五页，共57页。三、电场(diànchǎng)的叠加原理电场力是矢量(shǐliàng)，它在叠加时，服从矢量(shǐliàng)叠加原理。设：F1、F2….、Fn分别表示点电荷q1、q2…、qn单独存在时的电场(diànchǎng)施于空间同一点上试探电荷的力，则它们同时存在时，施于试探电荷的力F为称为电场叠加原理第六页，共57页。(1)点电荷的场强四、场强的计算(jìsuàn)根据(gēnjù)库仑定律：式中r表示从+q到P点的矢量，表示沿r方向的单位矢量。根据电场(diànchǎng)强度的定义，P点的场强为+qq0-qq0第七页，共57页。(2)点电荷系的场强根据场强叠加原理，这些点电荷独自(dúzì)在P点产生的场强的矢量和就是P点的总场强E。……qnqiq3q2q1r2rirnr1r3q0第八页，共57页。pdV任取体积(tǐjī)元dv，视为点电荷dq根据(gēnjù)场强叠加原理dq把带电体看作是由许多个电荷元组成，利用(lìyòng)场强叠加原理(3)连续分布电荷的场强第九页，共57页。线分布电荷线密度电荷面密度面分布体分布电荷体密度dq=ρdV第十页，共57页。求:总电量为Q，半径为R的均匀带电(dàidiàn)圆环轴线上的场强。

x（2）R<<x（1）讨论(tǎolùn)：例6-1R解：dl视为点电荷dQ由对称性分析(fēnxī):x第十一页，共57页。求总电量Q,半径(bànjìng)R的均匀带电圆盘轴线上的场强。当R>>x无限大带电(dàidiàn)平面场强例6-2drxx

p解：平面视为许多(xǔduō)同心圆环组成第十二页，共57页。规定:A场线上每点切线方向表示该点的场强E方向B电场线的疏密(shūmì)能反映E的大小，即通过垂直于E的单位面积的电场线条数等于该点E的量值。一、电场线与电通量1.电场线电场线是用来(yònɡlái)形象描述场强分布的空间曲线二个特点：第一，不形成(xíngchéng)闭合曲线，也不在没有电荷的地方中断，而是始于正电荷，终止于负电荷。第二，任何两条电场线都不会相交。第二节高斯定理第十三页，共57页。2.

电通量通过电场中某一给定曲面(qūmiàn)的电场线的总条数，称为通过该曲面(qūmiàn)的电通量。(1）匀强电场(diànchǎng)平面(píngmiàn)S与E垂直平面S的法线单位矢量与E成角第十四页，共57页。(2）非匀强电场(diànchǎng)通过(tōngguò)整个曲面的电通量为电场线由内向(nèixiànɡ)外穿出时，电通量为正，反之，则为负设小面元的面积为dS，面元处E与间的夹角为，面元的法线单位矢量可表示出面元的方位，因此面元用矢量表示为。通过该面元的电通量为如果曲面闭合第十五页，共57页。二、高斯定理高斯定理讨论的是:封闭曲面(qūmiàn)的电通量与该曲面(qūmiàn)内包围的电荷之间的关系1.包围点电荷q的同心(tóngxīn)球面S的电通量此结果与球面半径r无关，只与所包围的电荷电量(diànliàng)有关半径为r的球面上，任一点E的量值都是q/(40r2)，E的方向沿矢径方向，即处处与球面正交。通过该球面的电通量为第十六页，共57页。2.包围点电荷q的任意闭合曲面(qūmiàn)S1的电通量S1为任意闭合曲面(qūmiàn)，S2为球面，S1和S2包围同一点电荷q。依据电场线的特点，通过S1与S2的电场线总条数一样，故通过S1的电通量也等于q/0。3.点电荷q外任意闭合曲面S3的电通量当点电荷q在闭合曲面S3的外面时，进入与穿出该闭合曲面的电场线的条数(tiáoshù)相等。进入为负，穿出为正，故通过该闭合曲面的电通量为零。第十七页，共57页。如果是多个点电荷或连续(liánxù)带电体，利用场强叠加原理，同样可以得到上述结果，不过这时式q应为闭合曲面所包围的电荷的代数和，场强E为合场强。高斯定理可以表述为：在真空(zhēnkōng)静电场中，通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内所包围的电荷的代数和除以真空(zhēnkōng)介电常数。其数学表达式为这里的闭合曲面(qūmiàn)S，习惯上称为高斯面。第十八页，共57页。三、高斯定理的应用(yìngyòng)例题7-3半径为R的均匀(jūnyún)带电球面，总带电量为q，求电场分布。解先计算球面外任一P点处的场强。以P点到球心的距离r为半径作球形高斯面。由于电荷分布具有球对称性，面上各点E的大小相等(xiāngděng)，方向均沿各自的矢径方向（与各点dS方向相同）。所以通过此高斯面的电通量为第十九页，共57页。该球面包围(bāowéi)的电量为q，根据高斯定理（rR）对于(duìyú)带电球面内任一点处E的大小和方向的分析同上。根据高斯定理，有（rR）上述结果可由E-r曲线表示。可见，电场强度(qiángdù)在带电球面(r=R)处是不连续的。第二十页，共57页。例题7-4计算电荷面密度为的无限大带电(dàidiàn)薄平面的电场分布。解：分析可知圆筒侧面因与电场线平行电通量为零；假定圆筒的底面积为S，则通过两底的电通量为2ES，闭合(bìhé)圆筒包围的电荷量为S。根据高斯定理，2ES=S/0，即表明无限大带电薄平面在不考虑边缘效应的情况下，电场强度分布(fēnbù)是均匀的恒量。第二十一页，共57页。第三节电势(diànshì)一静电场力做功(zuògōng)静电场力F=q0E在dl段所做的功为将E=q/(40r2)，代入上式，可得

式中是E与dl间的夹角(jiājiǎo)。第二十二页，共57页。q0从a点移到b点时，静电场力所做的功为式中ra、rb分别表示场源q到起点和终点的距离。在点电荷q的电场中，电场力做功仅与被移动(yídòng)电荷起点和终点位置有关，而与移动(yídòng)的路径无关。假如不是一个点电荷，而是任意带电系，根据力的叠加原理(yuánlǐ)，合电场力对试探电荷所做的功，等于各点电荷单独存在时电场力做功的代数和。由于每个点电荷的电场力做功均与路径无关，则相应的代数和也与路径无关。这就表明，静电场是保守场。第二十三页，共57页。如果试探电荷(diànhè)在静电场中从某点出发，沿路径L又回到原点。电场力做功为零，其数学表达式为即此为静电场的另一重要定理—静电场环路定理，即静电场E沿任意闭合(bìhé)路径的线积分恒等于零。静电场环路定理是静电场保守性的另一种说法。第二十四页，共57页。1.电势(diànshì)能二、电势(diànshì)与电势(diànshì)差设WA和WB分别表示试探电荷q0在起点(qǐdiǎn)A和终点B处的电势能当带电体的电荷为有限分布时，通常取无限远处的电势能为零，亦即W=0。那么，试探电荷q0在电场中a点的电势能为电场力做功可正可负，所以电势能亦有正有负。

第二十五页，共57页。2、电势(diànshì)比值与试探电荷(diànhè)无关,反映了电场在A点的性质.电场中某点的电势在量值上等于(děngyú)放在该点的单位正电荷的电势能，也等于(děngyú)把单位正电荷从该点移到无限远处，电场力所做的功。电势是标量，其值可正可负，在国际单位制中，电势的单位为伏特，记为V。如果场源不是一个点电荷，场中某点的电势等于(děngyú)各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和，这就是电势叠加原理。第二十六页，共57页。3、电势差静电场中，任意(rènyì)两点a、b间的电势之差，称为电势差（也称为电压），其数学表达式为场强E的方向总是从电势(diànshì)高的点指向电势(diànshì)低的点。当任一电荷(diànhè)q在电场中从a点移动到b点，电场力所做的功用电势差可表示为第二十七页，共57页。例题7-5计算点电荷q电场中各点的电势。解设P点到q的距离(jùlí)为r，取无限远处为电势零点，按电势的定义，P点的电势为点电荷q的电场(diànchǎng)强度为选积分路径从P点沿矢径方向，到无限远处，路径上各点的E与dl的夹角(jiājiǎo)为0，dl可用dr代替。则第二十八页，共57页。例题7-6计算(jìsuàn)电偶极子电场中各点的电势。解:相距为l的两个点电荷+q和-q构成的系统称为电偶极子。从负电荷到正电荷的矢量(shǐliàng)l称为电偶极子的轴，电量q与l的乘积为电偶极矩（简称电矩），记为p，即p=ql。由电势(diànshì)叠加原理第二十九页，共57页。因为r1、r2和r都比l大得多，可近似(jìnsì)整理故A点的电势(diànshì)为或依据(yījù)电矩和矢量点乘的定义(1)电偶极子轴线延长线上任意一点的电势将有极大值（=0），或最小值（=）。(2)在电偶极子系统中垂线上，各点电势由于为/2或-/2而处处为零。第三十页，共57页。4.等势面静电场中不同点的电势通常是不一样的，但总有一些点的电势彼此相等，将这些电势相等的点连接起来，又往往(wǎngwǎng)构成一个曲面（或平面），该面被称为等势面。等势面具有以下特点：（1）等势面与电场线处处正交。（2）等势面较密集的区域(qūyù)场强较大；较稀疏的区域(qūyù)场强较小。第三十一页，共57页。三、电势(diànshì)梯度电场中考虑沿任意(rènyì)的l方向相距很近的两点P1和P2,这两点间电势差为整理(zhěnglǐ)得EP1

P2

θV1dlV2l由于，其中dV是V沿l方向的增量，因此第三十二页，共57页。当=0时，即E沿着l方向(fāngxiàng)时，E=-dV/dl有最大值，即沿这一方向(fāngxiàng)电势随距离的变化率最大，此最大值称为该点的电势梯度。电势梯度是个矢量，其方向(fāngxiàng)是该点电势升高最快的方向(fāngxiàng)。即用直角坐标表示(biǎoshì)电势梯度有第三十三页，共57页。第四节静电场中的电介质

一、电介质的极化(jíhuà)1、电介质具有(jùyǒu)固有电矩的分子为有极分子没有固有电矩的分子为无极分子2、电介质的极化(jíhuà)第三十四页，共57页。二、电极化强度(qiángdù)电介质的极化(jíhuà)状态，用单位体积的分子电矩，即电极化(jíhuà)强度来表示。以pi表示电介质中某一小体积V内的某种分子电矩（固有的或感生的），则电极化(jíhuà)强度P为对由无极性分子构成的电介质，每个分子的感生电矩都相同，可由n表示(biǎoshì)电介质单位体积的分子数，有。在国际单位制中，电极化强度P的单位是。第三十五页，共57页。当电介质中的电场(diànchǎng)E不太强时，各向同性电介质的电极化强度与E成正比，方向相同，其关系可表示为式中的称为电介质的电极化率，它反映了电介质自身的性质，与场强E无关。通常还被写成=r-1的形式，r为电介质的相对介电常数(jièdiànchánɡshù)。其定义为：该介质的介电常数(jièdiànchánɡshù)与真空介电常数(jièdiànchánɡshù)0的比，即r=/0。电介质被极化产生的一切宏观效果都是通过未抵消的束缚电荷来体现的。对于各向同性均匀电介质，束缚电荷集中在它的表面上。第三十六页，共57页。设电极化强度P与面积元dS的单位法线矢量(shǐliàng)成角，以q表示每个分子的电量，l为从分子负电荷“重心”到正电荷“重心”的距离，n表示单位体积的分子数，由于电极化而越过dS面的电量为因为(yīnwèi)则因极化而越过(yuèguò)单位面积的电量（束缚面电荷密度）为若电极化强度P与dS

的夹角为0，则

=P。第三十七页，共57页。依据上式，通过(tōngguò)任一闭合曲面向外移出的电量为根据电荷守恒(shǒuhénɡ)律，封闭面内的束缚电荷为当电场(diànchǎng)不太强时，电介质的绝缘性能不会被破坏。如果电场(diànchǎng)很强，则电介质分子中的正负电荷间的相互作用减弱或消失，形成可以自由移动的电荷。电介质的绝缘性能就会受到破坏而变成导体，这种现象称为电介质的击穿。某种电介质材料所能承受的不被击穿的最大电场(diànchǎng)强度，称为介电强度（或击穿场强）。第三十八页，共57页。三、介质(jièzhì)内部的场强++++++++++----------AB结合(jiéhé)=r-1和r=/0可得因为r1，所以束缚电荷面密度总小于自由电荷面密度。表明在电介质内部，极化电荷所产生的电场起着减弱原来(yuánlái)外电场的作用，即E小于E0依据电场叠加原理，则有E=E0+E，利用高斯定理E0=/0,E=/0

，因E的方向与E0的方向相反，合场强为又因第三十九页，共57页。四、介质(jièzhì)中的高斯定理令，则上式可表示(biǎoshì)为在各向同性(ɡèxiànɡtónɡxìnɡ)均匀电介质中，D与E间的关系可简化为介质中的高斯定理

第四十页，共57页。第六节静电场的能量(néngliàng)一、电容(diànróng)电容(diànróng)器1.电容(diànróng)其比值仅与导体的形状大小有关而与Q和V的值无关。如果选用导体组，即电容器，其电容量定义为电量Q与系统电势差的比值。即在国际单位制中，电容的单位为法拉（简称法），记为F。实际应用时常用较小的微法（F）表示，1F=10-6F。第四十一页，共57页。2.平行(píngxíng)板电容器依据电容(diànróng)的定义利用介质(jièzhì)中的高斯定理，两极板间的场强为两极板的电势差为第四十二页，共57页。3.圆柱形电容器因L>>RA-RB所以两端(liǎnɡduān)可以忽略不计，利用介质中的高斯定理，两圆柱面极板间的场强为两板间电势差为：依据电容(diànróng)的定义第四十三页，共57页。二、电容器中的能量(néngliàng)整个(zhěnggè)充电过程中电源做功为设充电过程中的某一瞬间,极板带电荷的绝对值为q，两极板电势差相应(xiāngyīng)为u。电源把dq的电量从正极板移到负极板所做的微功为当电势差一定，电容大的储能多，电容C也是电容器储能本领大小的标志。第四十四页，共57页。三、静电场的能量(néngliàng)平行(píngxíng)板电容器的电容值为可得两极(liǎngjí)板间的电场为则第四十五页，共57页。由于极板间的电场为均匀电场，电场定域的空间(kōngjiān)范围为Sd，单位体积的电场能量，即电场能量密度w为或若为真空(zhēnkōng)中的电场，因r=1，则当电场不均匀时，总电场能量W，即为对电场能量密度(mìdù)的体积分第四十六页，共57页。例题7-7半径为R的均匀带电球体，带电总量为Q，带电球体的相对介电常数为r，球外真空。计算(jìsuàn)该带电体的静电场能为多少。解：场强的分布(fēnbù)具有球对称性，可利用高斯定理第四十七页，共57页。第六节电偶层与生物(shēngwù)膜电位一、电偶层的电势(diànshì)设两个相距很近且互相平行的表面(biǎomiàn)，带有等值异号的面电荷密度，这种分布的带电体称为电偶层。1、立体角在球面上取面元dS，由它的边缘上各点引直线到球心O，构成一个锥体，此锥体“顶角”是立体的，称为立体角。第四十八页，共57页。用dS和半径r的平方(píngfāng)之比来量度dS对球心所张立体角d的大小，在国际单位制中，立体角的单位为球面度（sr）计算任一曲面(qūmiàn)S对空间某点O所张的立体角式中dS为dS在垂直于r平面上的投影，因为dS足够小，可将dS看成是以O为球心，r为半径的球面(qiúmiàn)上的面积微元。整个曲面对O点所张的立体角为第四十九页，共57页。2、电偶层的电势(diànshì)把表面分割成许多彼此相等的面元dS，可以把上下(shàngxià)对应的每一对dS视为一个偶极子。式中dScos/r2为面元dS对P点所张的立体角d，令（单位(dānwèi)面积的电矩），则上式可简化为第五十页，共57页。整个(zhěnggè)电偶层在P点的电势为平面电偶层周围的电势有如下特点：（1）如果(rúguǒ)考察点在正电层一侧，与r的夹角为锐角，VP0。（2）如果(rúguǒ)待考察点在负电层一侧，与r的夹角为钝角，VP0。（3）如果(rúguǒ)考察点与电偶层在同一平面上，与r的夹角=/2，VP=0。第五十一页，共57页。3.静息心肌细胞的电势(diànshì)分布闭合曲面对曲面外P点所张立体角为。立体角的边界与闭合曲面相切，且形成一条闭合曲线，此线将闭合曲面分成上下两部分。上部分在P点产生(chǎnshēng)的电势为正，下部分因负