19届高三数学(理)二轮复习同步第1部分重点保分题专题检测(15)立体几何中的向量方法(通用版)

专题检测（十五）立体几何中的向量方法（高考题型全能练）1．(2019·肥质检合)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(1)求证：

OC⊥PD；(2)若

PD

与平面

PAB所成的角为

30°，求二面角

D-PC-B的余弦值．3．(2019

·州模拟贵

)已知长方形

ABCD

中，AB＝1，AD＝

2.现将长方形沿对角线

BD

折起，使AC＝a，获得一个四周体A-BCD，如下图．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC可否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明原因．(2)当四周体A-BCD的体积最大时，求二面角A-CD-B的余弦值．4．(2019·明七校联考昆)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点．(1)求证：C1D⊥D1E；AM(2)在棱AA1上能否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求AA1的值，若不存在，说明原因；(3)若二面角B1-AE-D1的大小为90°，求AD的长．答案1．解：(1)证明：连结

AC，由

AE

CG可知四边形

AEGC

为平行四边形．因此

EG∥AC，而

AC⊥BD，AC⊥BF，因此

EG⊥BD，EG⊥BF，由于

BD∩BF＝B，因此

EG⊥平面

BDHF，又

DF?

平面

BDHF

，因此

EG⊥DF.(2)设

AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面

ADHE∥平面

BCGF，因此

EH

∥FG，同理可得：

EF∥HG，因此四边形

EFGH

为平行四边形，因此

P为

EG

的中点，

O为

AC

的中点，因此OP綊AE，进而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，因此OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF＝2.如图，成立空间直角坐标系O-xyz，则B(0，2，0)，E(23，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，因此＝(23，－2，3)，＝(23，0，0，)，＝(0，2，－1)．设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，x＝0，可得2y－z＝0，令y＝1，则z＝2.因此n＝(0，1，2)．设BE与平面EFGH所成角为θ，则sinθ＝＝4525.2.解：(1)证明：连结OP，∵PA＝PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB.∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.∵OD⊥PC，OP∩PC＝P，∴OD⊥平面OPC，∵OC?平面OPC，∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OD∩OP＝O，∴OC⊥平面OPD，∵PD?平面OPD，∴OC⊥PD.(2)取CD的中点E，以O为坐标原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴成立空间直角坐标系O-xyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不如设AD＝1，则AB＝2.∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝3，∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，2)，进而＝(1，1，－2)，＝(0，－2，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，x1＋y1－2z1＝0，得2y1＝0，可取n1＝(2，0，1)．同理，可取平面PCB的一个法向量为n2＝(0，－2，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝n1·n2＝－1，3|n1|·|n2|1∴二面角D-PC-B的余弦值为－3.3．解：(1)若AB⊥CD，由于AB⊥AD，AD∩CD＝D，因此AB⊥平面ACD，因此AB⊥AC.即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝(2)2，因此a＝1.若AD⊥BC，由于AD⊥AB，因此AD⊥平面ABC，因此AD⊥AC.即AD2＋a2＝CD2，即(2)2＋a2＝12，因此a2＝－1，无解．故AD⊥BC不可立．(2)要使四周体A-BCD的体积最大，由于△BCD的面积为定值2，2因此只要三棱锥A-BCD的高最大即可，此时平面ABD⊥平面BCD，过点A作AO⊥BD于点O，则AO⊥平面BCD，以O为坐标原点成立空间直角坐标系O-xyz(如图)，则易知A6，C(6，3，0)，D23，0，0，0，3330，3明显，平面BCD的一个法向量为6＝0，0，3.设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．由于＝－6，3，0，＝0，－23，6，3333因此6x＝3y，令y＝2，得n＝(1，2，2)．3y＝6z，226故二面角A-CD-B的余弦值为|cos〈3＝27，n〉|＝7.6×1＋2＋434．解：(1)证明：以D为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，a，1，0，∴＝(0，－1，－1)，＝a，1，－1，0，1)，E22C1D⊥D1E.AM(2)设＝h，则M(a，0，h)，∴＝(0，－1，h)，＝－a，1，0，＝(－a，0，1)，2设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a，2a)，∵BM∥平面AD1E，1∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0，∴h＝2.即在AA1上存在点M，使得BM∥平面AD1E，此时AM1＝.AA1