自主招生-数学-2011年华约解析版

设复数z满足|z|<1且|z1|5则|z|= A B C D 解：由|z1|5得|z|215|z|，已经转化为一个实数的方程。解得|z|2（ 1去 2P-ABCD中，M、NPA、PB22

。则异面直线DM与AN所成角的余弦为 A B C D 2，利用侧zPMzPMDNCOyBx2解法一：如图，设底面边长为22

22222 1 12222)，则M(, ),N( )，DM(, ),AN 2 2 2 DM 6成的角为 DM 62解法二：如图，设底面边长为22

2DMANMN，DCDQQN=DM=AN2PMPMDNQ5 53PA=PB=AB=2QN=AN=3cosANQ16

AQ=

，容易算出等腰ΔAQN过点(-1,1)的直线l与曲线相切，且(-1,1)不是切点，则直线l的斜率为 A C D若AB2，则cos2Acos2B的最小值和最大值分别为 3A1

3, B1,

C1

3

1 2 1[分析]首先尽可能化简结论中的表达式cos2Acos2B解cos2Acos2B1cos2A1cos2B11(cos2Acos 1cos(ABcos(AB)11cos(AB2A、BO1A=O1C，O2B=O2C。

C

上，则OO1O2OO2O1OACOCA1OOOOBCOCB1OOO， 1 2OCAOCB1(OOOOOO) 1 2 OCAOCB)sincos 本题中假设两个小圆的半径相等，则OO

OO

OCAOCB1OO

1 2 1 OCAOCB)sincos ababA有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D知两条相交直线a，b60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案4个。已知向量a0,1b

31c(31xaybzc1,1)x2y2z2的最小值为

A B C D 3y 3z

3(yz)

， xyz

xyz (yz)2(yxy

x 323z，yz三个变量，变形

yz

yz2(x (yz)2(yxy

x2x22(x1)223x24x83(x2)24，答案 AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且OFA135，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为( 2454322454323F（1，0，C（-1，0，AB=2解得A2222)，B2222)，于2222

2

=-2，tanACB

kCAkCB ，答222

1=EF∥DA，EF2，AFAD，BFBC，求∠AEBFB FBECtanAEFtanEADDEGF

22tanBEFtanEBC

，AEBAEFBEF2AEF2

DFS

，

BDS

(1

ABE

AES

，于是

(1x)

2(1xyz。将yzx1，于是 1(1x)(x1)2，解这个一元函数的极值问题，x12取极大

(10)11911边形内两两不相交，则（）AD1解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(AC的另一边)的(EFAC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠DADCABCD∠ADC180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，CEAEBD ABADC假设ΔABC中∠BACAC的另一侧的相邻(AC)ΔACD，则∠D=180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同D。

tanCtan(AB)

tanAtantanAtanB1tanAtanBtanCtanAtanBtan由已知

tanB

3，B=。 1 2

43sin2Asin 43sin2又

sin

sin

sin3

3 sin2Asin 3 sin(AC)cos(A cos2(AC)cos2(Acos2(AC)cos2B

sin(AC)sinB 13， 2132，代入得2cos2AC13cosAC4cos2(AC)3cos(AC)10

cos(AC)，

cosAC1， 计，且水杯直立放置b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有=1。2：3。水杯的重心位置（ 底面的距离）为2，水的重心位置为4213 42 ) =a：x22b a1xa2置为b，于是 2bx，解得x a2a （13）已知函数f(x) 2x，f(1)1，f(1)2。令

1 f(xax(I)求数列{xn}的通项公式

x x 解：由f(11，f12得ab1，f(x x

x12，x23，x35，x49xn2n112k明。当n=1显然成立；假设n=k显然成立，即xk2k11，则k f(x)2xk k

kkk

kx 2kk1

2e(11(111x

2(11)(1

1 12a1a)22na1a)2n1x

1)2n121n

1)2n12(1

1)2n2e1 已知双曲线C

1(a0b0)F1F2C的左右焦点。PC

（I）CeQ（λ>0,FEF