天津大学812 自动控制原理课件 第3章 线性系统的时域分析方法

第三章线性系统的时域分析法

在经典控制理论中，分析系统的动态性能和稳态性常见方法有：

时域分析法、根轨迹法和频域分析法。3-1线性系统时间响应的性能指标一、系统对典型信号输入的响应过程

动态过程：又称过渡过程或暂态过程，指在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

稳态过程：在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现方式。二、动态性能指标与稳态性能指标

动态性能指标：在单位阶跃输入信号作用下，系统的动态响应过程随时间变化的指标。常用动态性能指标：延迟时间td

指响应曲线第一次达到系统终值一半所需时间。上升时间tr

指响应从终值10%上升到终值90%所需时间。峰值时间tp

指响应超过终值到达第一个峰值所需时间。调节时间ts

指响应到达并保持在终值±5%（或±2%）内所需时间。超调量σ%

指系统响应的峰值相对终值的偏移占系统终值大小的百分比。有振荡周期、振荡次数、衰减率等。稳态性能指标：常用稳态误差表示。3-2一阶系统的时域分析一阶系统即为惯性环节，有

一、一阶系统的单位阶跃响应设输入信号为单位阶跃，则因此有（t≥0）

响应特点：1、初始斜率为1/τ；2、系统无超调,无峰值；

动态性能指标：

td=0.69τtr=2.20τtS=3τ二、单位脉冲响应

则响应特点：为单调下降曲线，响应幅度为1/τ，初始变化率为，tS=3τ。三、一阶系统的单位斜坡响应有特点：响应初始斜率为0，响应的位置误差由小变大，最后趋于τ；响应的速度误差由大变小，最后趋于0，速度响应的指标与对应阶跃响应指示一致。四、一阶系统的单位加速度响应有结论：跟踪误差随时间推移而增大，直到无穷，不能实现对加速度的跟踪。3-3二阶系统的时域分析

一、二阶系统的数学模型二阶系统可用如下框图表示，开环传函为惯性环节与积分环节的串联。

标准形式系统的闭环传递函数为二阶系统，并有：令系统的闭环极点：闭环极点分布规律：二、二阶系统的单位阶跃响应

系统闭环极点的性质与ξ有关

(1)0<ξ<1（欠阻尼情况）

有其中则响应为（t≥0,0<ξ<1）得：由于ξ>0，则为衰减分量，令，称为衰减系数。欠阻尼下单位阶跃响应曲线（2）ξ=1（临界阻尼情况）有系统响应为稳态值为1的无超调单调上升曲线。

（3）ξ>1（过阻尼情况）系统响应为稳态值为1的无超调单调上升曲线。

（4）ξ=0（零阻尼情况）h(t)=1-cosωnt（5）-1≤ξ<0有两共轭复根，实部大于0。讨论：由于ξ<0，则随时间的推移而无限增长，因此系统输出为发散的正弦振荡，系统不稳定。（6）当ξ=-1时有系统发散，但无振荡。（7）ξ<-1时，系统响发散，但无振荡。三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析特征根特性如图所示：

衰减系数σ：闭环极点到虚轴间的距离；阻尼振荡频率ωd:

闭环极点到实轴间的距离；自然角频率ωn：闭环极点到坐标原点间的距离；阻尼比ξ：闭环极点与原点间连线相对负实轴的夹角的余弦即ξ=cosβ，称β为阻尼角；(1)延迟时间

td

令h(td)=0.5可得ωntd与ξ间为隐函数关系，利用曲线拟合法，可得如下近似公式：当0<ξ<1时，可简化为(2)上升时间tr的计算由于欠阻尼时，系统存在超调，且开始为单调上升，上升时间定义为输出从0到稳态值时间。令h(tr)=1得推得结论：当β（或ξ）一定时，系统的响应速度与ωn成正比（上升时间与ωn成反比）；当ωn一定时，ξ越小，上升时间越短。(3)峰值时间tp的计算将输出响应对t求导，并令其为0，则有整理得：由于，则ωdtp=0，π，2π，3π,…等，应取ωdtp=π，得：结论：峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半，与闭环极的虚部数值成反比。(4)超调量σ%的计算由于，则有：

考虑到,求得：结论：超调量σ%仅是阻尼比ξ的函数，与自然角频率ωn无关。σ%与ξ间的关系曲线如图所示，一般取ξ=0.4-0.8时，σ%介于1.5%-25.4%之间。(5)调节时间ts的计算响应曲线在两指数曲线之间为对称于的包络线，如图所示为ξ=0.707时的输出响应。令Δ为实际响应与稳态输出的误差，则有显然上式的右边如果进入了误差带，则输出响应一定进入了误差带。由可得：（当Δ=0.05,ξ<0.8时）（当Δ=0.02,ξ<0.8时）结论：调节时间与闭环极点的实部数值成反比。

总结：1、2、3、4、5、（当Δ=0.05,ξ<0.8时）（当Δ=0.02,ξ<0.8时）td,tr,tP,ts

由ξ和ωn共同确定，它们之间相互关联；而σ%由ξ唯一确定。有些指标对ξ和ωn的要求相互矛盾，如上升时间与超调量，在系统设计时往往不能兼顾。另外，在实际的系统中ξ和ωn间也是相互关联的，设计时需进行折衷处理。

设计二阶系统一般原则：由超调量σ%确定系统的阻尼比ξ，再由其它指标确定ωn。例:设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标σ%=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量td,tr,ts。解：系统的闭环传递函数为：可得：，由得

由得：从而解得：进而得：

=0.374（s）

=0.651(s)=2.174(s)四、过阻尼二阶系统的动态过程分析

闭环传递函数：其中T1，T2为时间常数，有T1>T2。输入为单位阶跃时，有阶跃响应：（t≥0）采用曲线拟合法求取系统响应指标（1）（2）（3）ts的求取采用图表方法，根据ts/T1

与T1/T2

间的关系曲线求得。如图所示，图中ξ值可由下式求得：五、二阶系统的单位斜坡响应闭环系统输出的拉氏变换（1）欠阻尼单位斜坡响应（t≥0）系统的稳态分量为暂态分量为

系统的误差响应为

因此系统的稳态误差为对e(t)求导并令其为零,可得误差响应的峰值时间为

(与阶跃响应的上升时间相同)误差响应的峰值为令误差响应相对稳态误差的相对偏移为d(t)

则有由上式可求得当d(t)进入误差带(5%)时的调节时间为（2）临界阻尼单位斜坡响应

稳态误差为可求得5%误差带调节时间为（2）过阻尼单位斜坡响应

稳态误差为六、二阶系统性能的改善（1）部分分式法的讨论设闭环传递函数无重根，表示为则单位阶跃响应的拉斯变换为：得输出响应为：其中：（取模）另外输出响应也可改为如下形式：其中

（2）比例—微分控制

则开环传函为令z=1/Td

则闭环传函为：

由此看出，闭环传函中增加了一闭环零点，系统阻尼比增大。求得单位阶跃响应为：其中由于,因此令

则有1、峰值时间tP对输出响应h(t)求导，并令其等于零，有由于γ∈[0，π)则有当z趋于无穷大（即无零点）时，γ=0，则与无零点时公式一致。2、超调量σ%

将tP代入输出响应，得从而有：3、上升时间tr

由h(tr)=1,得4、调整时间tS

由等式确定，结论：比例—微分控制可以增大二阶系统的阻尼，使阶跃响应超调量下降，调节时间缩短，且不影响系统稳态误差和系统自然角频率。（3）测速反馈控制改善二阶系统特性方法如图所示，引入速度负反馈。可求得内环闭环传递函数（即系统的开环传递函数）令则框图简化为

结论：与不加速度反馈比较，系统的阻尼系数增加，开环增益降低（由降为），系统的自然角频率不变。由于开环增益降低，系统的稳态速度误差增大，在实际设计中，可预先适当增大原被控对象的开环增益，达到减小或消除此影响。3-4高阶系统的时域分析设闭环传递函数无重根单位阶跃响应的拉斯变换：输出响应：结论：1、闭环极点的负实部绝对值越大，则其对应的响应分量衰减越快；2、极点所对应的响应分量的系数由闭环零点和极点的分布决定；3、如果一对闭环零、极点相距很近时，则极点对应的响应分量的系数很小，一般可以忽略；在工程实际中，常常忽略远离虚轴的极点、及附近有闭环零点存在的极点，从而把高阶系统简化为低阶系统，并以此估算高阶系统的性能指标。闭环主导极点：如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它闭环极点又远离虚轴（实部数值大5倍以上），则系统的响应主要由该极点决定，称为闭环主导极点。系统的闭环主导极点常为共轭闭环主导极点。一般用闭环主导极点来估算系统的性能指标。3-5线性系统的稳定性分析

稳定性：若线性系统在干扰影响下偏离平衡状态，当干扰消失后，系统的动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（平衡状态），则称系统是稳定的；如果系统的动态过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。系统的稳定性由系统的固有特性决定，与外界因素无关。线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；即闭环传递函数的极点均左半s平面。一、胡尔维茨稳定性判据（1）稳定性的初步判别系统特征方程：（）系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数均为正且不缺项。特征方程变为：由于因此，上式展开后的各项系数均大于零。（2）胡尔维茨稳定性判据线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式（i=1,2,3,…,n-1)全部为正。

---规律:

对角线由a1,a2,…,an组成。以对角线元素为标准，在各列上，从上到下系数序号递减，直到a0;从下到上系数序号递增，直到an;其它空白项为零。（3）劳斯稳定性判据将系统特征方程写成标准形式：（）并将各系数组成如下排列的劳斯表：表中的系数关系为：┅┅直到其余的b值全部等于0为止。┅┅规律：表中的第一行由特征方程的1、3、5、┅项系数组成，第二行由特征方程的2、4、6、┅项系数组成；计算表中某行系数时，分母为上一行第一列的值，分子为上两行第一列和上两行的待求系数后一列构成的2阶行列式乘以-1；劳斯表中的空白项看成0值。计算中各行可同乘以任一正数，不影响判定结果。线性系统稳定的充分必要条件：劳斯表中第一列各值严格为正。如果劳斯表第一列出现负数，则系统不稳定，且第一列各系数符号改变的次数，代表特征方程正实部根的数目。例：特征方程为解：系统劳斯表为第一列有两次变号，系统不稳定，并且系统有两个正实部根。劳斯表稳定判据的特殊情况：1、劳斯表中某行的第一列为0，而其余各项不全为0。当计算下一行时，将出现无穷大数，从而无法进行判定。解决办法：方法1：在原特征方程中乘以（s+a)因子，构成新的特征方程，其中a为大于0的正数，再对新的特征方程进行劳斯表判定。例：系统统特征方程：则有原方和乘（s+1)，得第1列中的各项数值的符号改变了两次，因此系统是不稳定的。方法2：用一个有限小的变量ε代替第一列为零的那一项，然后按通常方法计算其余各项。如果ε的上、下两项符号不同，则表明有一次符号变化，系统不稳定。例：上面的例子可如下计算：当ε趋于0时，是一个很大的负值，则第1列的数值的符号改变了两次，因此系统是不稳定的。2、劳斯表中出现全0行解决办法：用全0行的上一行的系数构造一个辅助方程，并对辅助方程求导，所得系数取代全0行的各项。辅助方程的根为特征方程的共轭虚根。例：系统的特征方程为：劳斯表为：作辅助方程则新的劳斯表为劳斯表中第一列无符号改变，系统是稳定的。3-6线性系统的稳态误差一、稳态误差

指对稳定的系统，系统稳态响应的期望值与实际值之间存在的误差。如图所示，对于单位反馈系统，系统的期望值为R(s)，实际输出为C(s)，误差为：

稳态误差为，根据拉斯变换的终值定理，有

非单位反馈系统，如图所示，此时误差可以在输入端定义也可在输出端定义。在输入端：系统输入量与系统稳态输出的反馈测量值之差。在实际系统中可测量。在输出端：系统期望的输出值与实际稳态输出值之差。在实际系统中常无法测量。

约定：实际采用输入端定义误差方法。有：则稳态误差为系统的稳态误差与系统的开环传递函数G(s)H(s)有关。二、系统类型设系统的开环传递函数为ν表示开环传函中s平面上原点上的极点重根数（串联积分环节的数目）。为分析方便，令则有由于，可得系统的稳态误差由系统开环增益K、ν及R(s)决定。根据ν的取值不同把系统分为如下类型系统：0型系统：ν

=0Ⅰ型系统：ν

=1Ⅱ型系统：ν

=2Ⅲ型系统：ν

=3三、参考信号输入下的稳态误差

1、阶跃响应设输入信号,则由稳态误差表达式得令，称为位置误差系数，且有