点、直线及平面的投影

第二章点、直线及平面的投影在生产实际中，设计和制造部门普遍使用图形来表达物体，而工程图样是使用投影的方法获得的。点、直线及平面是物体表面的基本几何要素，物体表面的投影是以点，直线及平面的投影为基础的。

本章着重介绍点、直线及平面的投影性质和投影规律。2.1投影法的基本知识重点：1.了解投影法的概念2.掌握三视图的形成难点：1.正投影的基本性质2.三视图的形成和投影规律内容：1.投影法的基本知识2.三视图的形成和性质2.1.1投影的概念投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。Q投影中心投射线投影面ASa投影对象投影投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法中心投影法：投射线汇交于投射中心的投影方法称为中心投影法（如灯光）p投影中心投射线投影ABDCSbacd投影对象投射面中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。投影特性度量性较差，作图复杂。投影面CABabc物体位置改变，投影大小也改变平行投影法：投射线互相平行的投影方法称为平行投影法（如阳光）ABDCbacd90°

正投影法正投影法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。ABDCbacd斜投影法能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。正投影投影特性立体感较差。正投影图能准确表达物体的形状，度量性好，作图方便，所以在工程上得到广泛应用。机械图样主要是用正投影法绘制的，因此，正投影法的基本原理是识读和绘制机械图样的理论基础，也是本课程的核心内容本书中如不做特别说明，“投影”指“正投影”。根据有关标准和规定，用正投影法所绘制出的物体的图形成为视图2.1.2点的投影特性采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。PbBB2B1解决办法PAa三视图及其对应关系

设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用第一角投影法，1.三投影面体系H三投影面体系的建立：V面：正立的投影面；H面：水平的投影面；W面：侧立的投影面；

X轴——V与H面的交线，代表长度方向；Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向；Z轴——V与W面的交线，代表高度方向；三根投影轴互相垂直，

YXOVZW其交点称为原点O。俯视方向左视方向主视方向俯视图主视图左视图直观图展开投影面2.三视图的形成展开后的三视图三视图3.三视图的对应影规律三视图间的位置关系俯视图(H面)在主视图(V面)的正下方；左视图(W面)在主视图(V面)的正右方，这种位置关系，在一般情况下是不允许变动的。直观图W位置关系俯视(产生H面投影)左视(产生W面投影)主视(产生V面投影)4.三视图及其投影规律V面、H面（主、俯视图）——长对正。V面、W面（主、左视图）——高平齐。H面、W面（俯、左视图）——宽相等。直观图总体三等局部三等（1）度量对应关系V面(主视图)——反映了形体的上、下、左、右方位；H面(俯视图)——反映了形体的左、右、前、后方位；W面(左视图)——反映了形体的上、下、前、后方位。直观图三视图的方位关系（2）方位对应关系总结：左右方位主俯现，上下方位主左见。俯视左视显前后，远离主视是前面。重点：1.了解投影法的概念2.掌握点在三投影面体系中的投影难点：1.点的投影过程2.点的投影规律内容：1.投影法的基本知识2.点的投影2.2点的投影HVWYXOZAa'aa"侧立投影面`正立投影面水平投影面Α—空间点A；a—点A的水平(H)投影;a′—点A的正面(V)投影;a″—点A的侧面(W)投影。2.2.1.点的投影过程HWVYwXZYHOaYWaYHaxaza'aa"W面向右后转90°H面向下后转90°YwXZYHOa'aa"投影面展开1.点的正面投影与其他两面投影的连线分别垂直于OX、OZ轴2.点的投影到各投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。3.点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离XZYwYHOaxa'a"ayhazaaywVWYXOZAa'aa"H2.2.2点的投影规律练习题：例2-1已知点A的正面投影a'和水平投影a，试求其侧面投影a"。a'aa"

点的投影与坐标之间的关系用坐标表示投影，则：a(x,y,0)、a'(x,0,z)、a"(0,y,z)空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。

1.A点的X坐标Xa=A点到W面的距离Aa"，表示长度X；2.A点的Y坐标Ya=A点到V面的距离Aa'，表示宽度Y；3.A点的Z坐标Za=A点到H面的距离Aa，表示高度Z。VWYXOZAa'aa"HxzyXZYwYHOa'aa"

例1：已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。OXZYWYH203010a'aa"2.2.3特殊点的投影因为空间所处的位置不同，有的点的某一投影表现为特殊性，我们称这样的点为特殊点，一般有下列两种情况：1.点在投影面上

投影特点：点距该投影面的距离为零，在该投影面上的投影与空间点重合，其另两个投影在投影轴上。2.点在投影轴上

投影特点：共有投影面上的投影与空间点重合，一个投影与原点重合。2.2.4二点的相对位置和重合投影1.两点的相对位置

空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。左、右位置由X坐标差确定。XA＞XB，点A在点B的左方；

前、后位置由Y坐标差确定；YA＜YB，点A在点B的后方；上、下位置由Z坐标差确定;ZA＜ZB，点A在点B的下方。a'a"abb'b"XZYWYHoB点在A点的左、前、下方。

总结：

X坐标值大者在左，

Y坐标值大者在前，

Z坐标值大者在上。2.重影点

当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。

重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。

YE>YF故对面V，E可见，F不可见。e"f"fee'(f')XZYWYHoXYZHWVOfee'(f')e"f"FEV面重影，被挡住的投影加()总结：

对于正面（V）上重影点，y坐标值大者可见。

对于水平面（H）上重影点，z坐标值大者可见。

对于侧面（W）上重影点，x坐标值大者可见。注：投影面上重影，被挡住的投影加()2.3直线的投影根据“两点确定一条直线”的几何条件，空间直线的投影可由直线上任意两点的投影来确定。通常我们取直线段的两端点间的连线表示，即作出直线上两端点投影后，将同面投影连接起来便得到直线的投影图。YZHVXoW

直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同面投影的连线来确定。baBAa'b'b"a"bb"b'YWYHoZXaa'a"A、B两点的三面投影图连接AB两点的同面投影，即为直线AB的投影bb"b'YWYHoZXaa'a"1.直线与单个投影面的投影特性2.3.2直线与投影面的相对位置及其投影特性abBA(3)收缩性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长；abABa(b)AB(1)实长性：直线平行与投影面时，其投影等于实长；

(2)积聚性：直线垂直与投影面时，其投影积聚为一点。空间位置直线在三面体系中,对投影面的相对位置有三类：

一般位置直线投影面平行线投影面垂直线统称为特殊位置直线1.一般位置直线的投影

对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。其投影特性：（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。（2）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。2.直线在三投影面体系中的投影a'b'abb"a"XZOYWYH投影面平行线

平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线。

水平线（∥H面）

、正平线（∥V面）、侧平线（∥W面）2.特殊位置直线的投影投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长；其它投影平行于相应的投影轴；3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相应投影面的倾角。ZXYVHWOa'b'βγβγa'b'βγXZYHYWOABababb"a"a"b"ab与OX和OYH的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角水平线ab=ABa′b′∥OX、a″b″∥OYW都不反映实长水平线cdCDαγγαcdαγXZYHYWOc'd'c'd'd"c"d"c"cd∥OX、c″d″∥OZ都不反映实长c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角

正平线c′d′=CD正平线ZXYOVWHfeαβαβf'e'XZYHYWOαβFEe"f"

侧平线e″f″=EFef∥OYH、e′f′∥OZ都不反映实长e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角f"e"f'e'ef侧平线总结：对于投影面平行线，画图时，应先画反映实长的那个投影（与投影轴倾斜的斜线）。读图时，如果直线的三面投影中，有一个投影与投影轴倾斜，另外两个投影与相应的投影轴平行，则该直线必定是投影面的平行线，平行于投影为斜线的那个投影面。投影面垂直线

垂直于某一投影面与另外两个平面平行的直线。

铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）、侧垂线（⊥W面）

投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影有积聚性；其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。ZXYOHVWABa'b'a(b)a'b'YWXZYHOa"b"b"a"a(b)a′b′=a″b″=AB,且a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW铅垂线:水平投影a（b）积聚一点铅垂线ZXYOHVWc'(d')CDdcXZYHYWOc'(d')dcc"d"d"c"正垂线:正面投影c′（d′）积聚一点cd=c″d″=CD,且cd⊥OX、a″b″⊥OZ正垂线ZXYOHVWfef'e'fef'e'XZYHYWO()e"k"FE()e"k"侧垂线:侧面投影e″（f″）积聚一点ef=e′f′=EF,且ef⊥OYH、e′f′⊥OZ侧垂线总结：

对于投影面的垂直线，画图时，一般先画积聚成点的那个投影。读图时，如果在直线的三面投影中，有一个面的投影积聚成点，则该直线必定是投影面的垂直线，垂直于其投影积聚成点的那个投影面。YWYHoZXa'b'b"a"ba1.点从属于直线其投影必在该直线的同面投影上,且符合点的投影规律.YZHVXWobaBAb'a'b"a"Cc"c'c3.3.2直线上的点c"c'c2.点分线段成定比AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′=a″c″:c″b″点C的三面投影必在AB的同面投影上H空间两直线的相对位置有:平行、相交、交叉。1.平行两直线：空间相互平行的两直线,它们的各组同面投影也一定相互平行。2.3.4两直线的相对位置abcdXZYHYWOcdc'd'd"c"aba'b'b"a"ABCDAB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。反之亦成立。

注意：

空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的两对同面投影是否平行即可。但是当两直线均平行于某一投影面时，只有两对同面投影分别平行，空间量直线则不一定平行。

空间两直线AB，CD相交于点K，则交点K是两直线的共有点。同时K要符合点的投影规律。

XZYHYWOaba'b'a"b"cdc'd'c"d"kk"k'ABCDKcdabkab、cd交于ka′b′、c′d′交于k′a″b″、c″d″交于k″2.相交两直线a'b'c'd'abcdVHOX在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。432'1'XO(4')3'abcd2(1)ABDCⅡⅠc'd'a'b'3'(4')ⅣⅢ交点是一对重影点的投影。3.交叉两直线2(1)交叉两直线的投影特性：1.一面投影彼此平行，两面投影彼此平行，但不可能三面投影都彼此平行。例如(P8/1-5)2.一面投影彼此相交，两面彼此相交，甚至三面都应都彼此相交，直线同面投影的交点是二直线在空间的重影点（P8/3）2.4平面的投影目的：1.了解平面的各种表示方法2.掌握各类平面的投影及其特性3.掌握平面内的点和直线作图方法重点和难点：

1.从体出发抽象出各类平面，阐述其投影特性再还原与体，加深印象。2.从投影特性的正向思维学会逆向思维。内容：1.平面的表示方法2.各类位置平面的投影特性3.平面内的点和直线a'b'c'cabb'c'a'caba'b'c'cab不在同一直线上的三点一直线上和直线外一点相交两直线2.4.1平面的表示法b'c'a'cabb'c'a'd'cabd平行两直线任意平面图形HVWXZYOABC

平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。a'b'c'abcc"a"b"平面的投影过程先画出各顶点的投影,后将各点同面投影依次连接，即为平面的投影。c"b"a"cbaa'c'b'2.4.2各种位置平面的投影平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面

与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。

一般位置平面的投影特性：

△ABC对三个投影面都倾斜，所以各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形的类似形。c"b"a"xyHywocbaa'c'b'1.一般位置平面（1）投影面平行面：平行于某一投影面而垂直于另外两个面。水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形；其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。2.特殊位置平面HVWXZYOc"b"a"a'b'c'ABCcbaxzYHYwocbaa'b'c'c"b"a"水平面：水平投影反映实形正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OYW轴。水平面HVXZYOWa'b'c'c"b"a"水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴cbaABCa'b'c'cba正平面：正面投影反映实形正平面c"b"a"xzYHYwo侧平面：侧平投影反映实形HVWXZYOxzYHYwocbaa'b'c'b"a"c"b"a"c"b'a'c'cbaABC水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于OYH、OZ轴侧平面垂直于某一投影面且与另两投影面倾斜的平面。铅垂面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）

投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段；其他的投影为原形的类似形。（2）投影面垂直面HVWXZYOYHxzYwocbaa'b'c'b"a"c"a'b'c'BCAa"c"b"正面投影和侧面投影为原形的类似形cba铅垂面：水平投影积聚为直线段铅垂面HVWX