画法几何与阴影透视例题精讲与解题方法

点、直线、平面的投影直线的投影直角三角形法求线段实长及倾角直线上的点两直线的相对位置关系1/15/20231土建2004-1~2WHVZAa′a〞axayazaXYVHWXYHYWOaxazayhaywZa′aa〞XYHYWOaxazayhZaywa′aa〞1．1点的直角坐标和投影规律Ａa′=aax=a〞az=oyAa=a′ax=a〞ay=ozAa〞=a′az=aay=ox1．点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。a′a⊥oxa′a〞⊥ozaax=a〞az=oy2．点的投影连线垂直于所对应的轴线。1/15/20232土建2004-1~2根据两点相对于投影面的距离(坐标)不同，即可确定两点的相对位置。图中A点的横标小于B点的横标，点A在点B的右方。同样，可以判断点A在点B上方；点A在点B前方(规定距V面远为前，距V面近为后)。

1.2两点的相对位置和重影点1.3.1两点的相对位置1/15/20233土建2004-1~2

例8：已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。a

a

a9851/15/20234土建2004-1~2直线的投影两点决定一条直线。分别将两点的同名（同面）投影用直线连接，就得到直线的投影。ZXOYHYWa’aa”b’bb”直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)直线对投影面的倾角：对水平投影面的倾角——对正立投影面的倾角——对侧立投影面的倾角——1/15/20235土建2004-1~2直线在三投影面体系中分为：各种位置直线的投影特性投影面平行线一般位置直线特殊位置直线水平线正平线侧平线投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线平行于某一投影面，且倾斜于另两个投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜1/15/20236土建2004-1~2水平线侧平线投影面平行线投影面平行线的投影特性：1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的倾角；2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。Xa

b

ab

baOzYHYWXZa

b

bbaOYHYW1/15/20237土建2004-1~2正垂线侧垂线投影面垂直线垂直线的投影特性：1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂直于相应的投影轴。1/15/20238土建2004-1~2投影特性：三个投影都是缩短了的倾斜线段,都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。与三个投影面都倾斜的直线。一般位置直线（投影面倾斜线）各种位置直线的投影特性abbabaOXYHYWZ1/15/20239土建2004-1~2例3:

过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为2，与H面的倾角=30°。25b’30°b”OXZYHYWa’aa”b解题思路：熟悉正平线的投影特性，并从反映实长和的投影入手。作图要点:１．做正平线的正面投影；２．过点a做正平线的水平投影和侧面投影。1/15/202310土建2004-1~2|zA-zB

|AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角求直线AB的实长及其对

水平投影面的倾角

角。1/15/202311土建2004-1~2即：直角三角形的组成:斜边－实长直角边1－投影,直角边2－坐标差,

投影与实长的夹角－倾角。直角三角形法求线段实长

及线段与投影面的倾角1/15/202312土建2004-1~2例5：已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。XOa’b’aB0解题思路及步骤——1.根据直角三角形的组成，利用a’b’及实长作直角三角形；2.求出Y坐标差；3.利用Y坐标差求ab投影。bAB实长思考：若将已知条件实长换成=30°，则如何解题？1/15/202313土建2004-1~2直线上的点ABCVHbccbaa从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。反之，亦然。定比性：若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。即AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac:cb，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。直线上点的投影特性——1/15/202314土建2004-1~2例6：判断点C是否在线段AB上。点C不在直线AB上点C在直线AB上abca’bc①c②abca’b’●●OXOX1/15/202315土建2004-1~2例7：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。方法二：应用定比定理abkabk●●方法一：作出第三投影因ak/kb不等于a’k’/k’b’，故点K不在AB上。OXYHYWZ1/15/202316土建2004-1~2cc例8已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c

。O1/15/202317土建2004-1~2空间两直线的相对位置关系分为四种：平行、相交、交叉、垂直。⒈两直线平行投影特性（判别方法）：aVHcbcdABCDbda两直线的相对位置

1．若空间两直线相互平行，则其各同面投影必相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。

2．平行两线段之比等于其投影之比。1/15/202318土建2004-1~2例9：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDabcdcabdOX1/15/202319土建2004-1~2HVABCDKabcdkabckd⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。两直线的相对位置交点是两直线的共有点投影特性（判别方法）：abcdbacdkkOX1/15/202320土建2004-1~23.两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。两直线的相对位置1(2

)3(4)投影特性（判别方法）

：★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。也可能有两对同面投影平行，但第三对决不会平行。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？两直线相交吗？dbaabcdc12●●3

4●●●●OX1/15/202321土建2004-1~2例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。a'ac'

d'cdb’bc1b1XO1/15/202322土建2004-1~2例12判断图中两条直线的空间位置。对于特殊位置直线，只有两个特殊投影互相平行，空间直线不一定平行，必须在直线所平行的投影面内进行判断。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。bdcacbaddbac还可以如何判断？XZOYHYW1/15/202323土建2004-1~2例14：求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、CD都相交。a'b'abc'd'dc15l’lXO1/15/202324土建2004-1~2例8已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cLABzB-zAcab1/15/202325土建2004-1~2一、用几何元素表示平面

用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。二、平面的迹线表示法

平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。1.4.1平面的表示法1/15/202326土建2004-1~2●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形一、用几何元素表示平面1/15/202327土建2004-1~2平行垂直倾斜实形性类似性积聚性一、平面对一个投影面的投影特性§2.4.2平面对投影面的相对位置1/15/202328土建2004-1~2二、各种位置平面的投影特性（一）、投影面的垂直面1．铅垂面2．正垂面3．侧垂面（二）、投影面的平行面1．水平面2．正平面3．侧平面（三）、一般位置平面1/15/202329土建2004-1~2PPH1．铅垂面投影特性(1)abc积聚为一条线

(2)abc、

abc为ABC的类似形

(3)abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小ABCacba'b'a"b"bab"cc"c'1/15/202330土建2004-1~2abcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面投影面垂直面的投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？小结：1/15/202331土建2004-1~21．水平面投影特性：

(1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性

(2)水平投影

abc反映

BC实形CABa"b"c'baca'b'c"cab'b"baa"cc"PvPw1/15/202332土建2004-1~2三、一般位置平面投影特性

(1)

abc

、

abc

、

abc均为ABC的类似形

(2)不反映、、

的真实角度a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC1/15/202333土建2004-1~2§1.4.3平面上的直线和点一、平面上取任意直线二、平面上取点三、属于特殊位置平面的点和直线在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：1、判别已知点、线是否属于已知平面；2、完成已知平面上的点和直线的投影；3、完成多边形的投影。1/15/202334土建2004-1~21．取属于平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFd'de'eff'1/15/202335土建2004-1~22．取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDd'de'e1/15/202336土建2004-1~2[例题1]

已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d'dee'不属于平面1/15/202337土建2004-1~2bckadadbcadadbckbc[例题3]

：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二1/15/202338土建2004-1~2做平面四边形ABCD的投影。其中AD//BCb’C’d’a‘ab1/15/202339土建2004-1~2三、属于特殊位置平面的点和直线

1．取属于投影面垂直面的点和直线

2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面

迹线表示法

3.属于平面的投影面平行线

1/15/202340土建2004-1~2abbaSbaabAB2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB1/15/202341土建2004-1~2过一般位置直线作投影面的垂直面

(迹线表示法)b"a"SVQWPH1/15/202342土建2004-1~23.属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线

例题41/15/202343土建2004-1~2[例题4]

已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mn'nm1/15/202344土建2004-1~2【基本作图五】一般线与一般面相交m´n´QV解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。4、可见性判别f´e´efba´acb´c´mnFECABQMNKk´k1/15/202345土建2004-1~2HVa´b´c´ceaABbCFEf´fk´Kke´可见性判别方法ⅠⅡ1´

(2´)判别可见性的原理是利用重影点。ⅢⅣ3(4)1/15/202346土建2004-1~2利用重影点判别可见性f´e´efba´acb´c´kk´12

1´2´4´3´43()()1/15/202347土建2004-1~2贯穿点——直线与立体相交，表面的交点。作图要点：

利用棱柱棱面及底面的积聚性，求特殊位置平面与直线的交点。注意：穿入立体内的直线不画出。例1：求直线与棱柱的贯穿点。解题思路：将求贯穿点转化成求直线与平面的交点。a'ab'b12341'4'2'3'k'kmm'1/15/202348土建2004-1~2作图要点：1、求过直线的截平面与棱锥的截交线；2、求截交线与直线的交点。3、判别直线的可见性。用过直线的平面截棱锥，求截交线及其与直线的交点。1bsa2a'1'2'3b'3's'm'k'mk例5：求直线与棱锥的贯穿点1/15/202349土建2004-1~2VHAaaaxX⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，aA点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.1/15/202350土建2004-1~2ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1a1ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.1/15/202351土建2004-1~2XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHXV1HX1aaX1H1Va1axax1ax1更换V面●a1..

作图规律:由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离(旧投影到旧投影轴的距离等于新投影到新投影轴的距离)。(旧投影)(旧投影)(新投影)(新投影)(旧投影轴)(旧投影轴)(新投影轴)(新投影轴)1/15/202352土建2004-1~2VHABabab四、换面法的六个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：

换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.1/15/202353土建2004-1~22将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABa'b'abH1a1'b1'X1H1Va1b1XVHaba'b'一般位置直线变换为垂直线1/15/202354土建2004-1~2a1●b1●VHaaXBbbA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；1/15/202355土建2004-1~2αab

cacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●反映平面对哪个投影面的夹角？.1/15/202356土建2004-1~2

(2)棱柱表面上取点aa(a)(b)bb57(1)棱锥的投影sBasa’c’b’csbCASb”(c”)a”1/15/202358土建2004-1~2s(c)saacbbcsba111rr(2)棱锥表面上取点2221/15/202359土建2004-1~2平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截交线截交线的概念6.4.1平面立体的截交线1/15/202360土建2004-1~2平面截切体的画图⒈求截交线的两种方法：★求各棱线与截平面的交点→棱线法。★求各棱面与截平面的交线→棱面法。关键是正确地画出截交线的投影。⒉求截交线的步骤：☆截平面与体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。1/15/202361土建2004-1~21’2’3’(4’)1”3”4”1243

例2求做立体被截切后的投影1/15/202362土建2004-1~2例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空间分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查