第二章拉普拉斯变换

拉氏变换的概念；拉氏变换的性质；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变换；卷积定理。第二章拉普拉斯变换本章学习要点：拉氏变换法的优点：

从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。(2)当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。(3)拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。

2.1.1问题的提出

2.1拉氏变换的概念利用单位阶跃函数和指数衰减函数

(β＞0)所具有的和，这时，的积分区间由(-∞，∞)变成，在积分区间内；而就有可能变得绝对可积。

特点，分别构成两个新的函数如果再构成一个新的函数

只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，的傅立叶变换存在。(β＞0)（2.1）即时间函数对式（2.1）取傅立叶变换，得（2.2）这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。(2)

为复变量；我们规定：(1)

为时间t的函数，并且当t<0时；(3)为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间进行变换；函数用拉氏积分于是，时间函数的拉氏变换为

（2.3）

t≥0

（2.4）逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为从拉氏变换求时间函数的逆变换过程称为拉普拉斯。(4)

为时间函数的拉氏变换。的拉普拉斯变换。在这里，即时间函数为称为“原称为“象函数”。

函数”，式（2.4）和式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称和构成了一个拉氏变换对。满足下列条件：2.1.2拉氏变换的存在定理若时间函数(1)

在t≥0的任一有限区间上分段连续；的增长速度不超过某一指数函数，亦即存(2)

当时，|f(t)|≤Mect，0≤成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）。在常数M>0及c≥0，使得的拉氏变换则（2.5）上一定存在，右端的积分在

在半平面半平面内，上绝对收敛而且一致收敛，并且在为解析函数。

即：如果拉氏积分收敛，则时间函数的拉氏变换存在。

式中，A和α为常数。1.常用函数的拉氏变换(1)指数函数（2.6）其拉氏变换为可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。（2.7）

（2.8）(2)阶跃函数式中，A为常数。

其拉氏变换为（2.9）

当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示，表示。

用发生在t＝t0时的单位阶跃函数通常写成如图2.1(b)所示。

00图2.1单位阶跃函数(a)(b)

单位阶跃函数

（2.10）其拉氏变换为

（2.11）式中，A为常数。(3)斜坡函数（2.12）其拉氏变换为

实际上，发生于时的阶跃函数，相当于在时间时，把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式，当其发生在时，可以写成。

（2.8）中的当其发生在当A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，如图2.2(a)所示，表示。发生在t＝t0时的单位斜坡函数通常写成如图2.2(b)所示。当高度为A的斜坡函数，即式（2.12）中的时，可以写成。

用，，

00图2.2单位斜坡函数(a)(b)斜率＝1斜率＝1（2.13）

单位斜坡函数

（2.14）其拉氏变换为

（2.15）

（2.16）(4)正弦函数式中，A和ω为常数，如图2.3(a)所示。图2.3

正弦函数和余弦函数(a)(b)00根据欧拉公式因此，正弦函数的拉氏变换为

（2.17）

类似地，（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：

（2.18）式中，A和t0为常数。(5)脉动函数

（2.19）这里的脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成，如图2.4所示，即

（2.20）图2.4脉动函数0其拉氏变换为

（2.21）其拉氏变换为：

（2.23）当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，如图2.5(a)所示，用表示。发生在t=t0处的表示，如图2.5(b)所示。此时，单位脉冲函数通常用脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

（2.22）(6)脉冲函数满足下列条件：

(b)

图2.5单位脉冲函数(a)∆0∆0

（2.24）量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。

相反，如果对单位脉冲函数积分

（2.26）

单位脉冲函数可以看作是单位阶跃函数在间上的导数，即断点（2.25）积分的结果就是单位阶跃函数。

利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。式中，A为常数。(7)加速度函数（2.27）其拉氏变换为

（2.28）当时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a)表示。发生在t＝t0时的单位加速度函数通常写所示，用，如图2.6(b)所示。

成0图2.6单位加速度函数(a)

(b)86421234单位加速度函数

（2.29）其拉氏变换为（2.30）

2.关于拉氏积分下限的说明在某些情况下，如果时间函数在t＝0处有一个脉冲函数，必须明确地指出拉氏积分的下限是0－还是0＋。

（2.31），则

在t＝0处包含一个脉冲函数如果时间函数因为在这种情况下（2.32）显然，如果在t＝0处不具有脉冲函数，则有（2.33）

2.2拉氏变换的性质2.2.1线性性质

线性性质也称叠加性，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时，其变换式也乘以相同的常数K。这个性质的数学描述为若,。K1、K2为常数时，则证明：（2.34）这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。解根据欧拉公式而由拉氏变换的线性性质可知【例2.1】求的拉氏变换。用同样的方法可求得若，则式中，是在t=0时的初始值。2.2.2微分性质（2.35）对于给定的时间函数，其和的值可能相同，也可能不同，如图2.7所示。00图2.7在t＝0－和t＝0＋时，阶跃函数和正弦函数的初始值在t＝0处具有间断点时，和之间的差别很重要，因为在这种情况下df

(t)/dt在t＝0处将当证明：根据拉氏变换的定义，有对右端积分利用分部积分法，可得这个性质表明了一个时间函数f(t)求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以s，再减去这个函数的初始值f(0)。≠。即，则式（2.35）必须修改包含一个脉冲函数为：

（2.36）的n阶导数微分性质的对于上述的一阶导数的微分性质可以推广到高阶导数。

（2.37）式中，是df

(t)/dt在t＝0时的值。其证明为：重复上述过程，可导出时间函数

（2.38）一般公式：式中是r阶导数在t＝0时的值。

及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则的各阶导数的拉氏变换存在，应当指出，为了保证

（2.39）dnf

(t)/dtn(n＝1，2，3，…)必须是可以进行拉氏变换的。如果【例2.2】求余弦函数的拉氏变换。解由于正弦函数的拉氏变换根据拉氏变换的微分性质，余弦函数的拉氏变换可以求得【例2.3】求以下微分方程的拉氏变换，已知其各阶导数的初始值为零。解利用公式（2.38），对上式两端取拉氏变换，得化简得在t＝0处包含一个脉冲函数，则2.2.3积分性质若，则

（2.40）是在t=0的值。式中，与前类似，如果≠。则式（2.40）必须作如下修正：

（2.41）证明：借助部分积分法进行积分，得所以如果积分的初值为零，则

（2.42）同理，对于的多重积分的拉氏变换，有

（2.43）式中，，，…,为的各重积分在t=0时的值。，则有（2.44）

如果即原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数F(s)除以sn。【例2.4】求图2.8(a)所示的时间函数的拉氏变换。图2.8时间函数f(t)、f′(t)和f″(t)的波形解时间函数f(t)的一阶、二阶导数如图2.8(b)、(c)所示。其中f(t)的二阶导数为由于，由位移和线性性质得由积分性质式（2.44）得若，则此性质表明：时间函数乘以，相当于变换式在复频域内2.2.4位移性质

（2.45）平移α。证明：根据拉氏变换的定义，即式（2.3）得由此看出，上式的右方只是在F(s)中把s换成s

+α，所以【例2.5】求和解已知

由拉氏变换的位移性质同理，因故有的拉氏变换。若

，则证明：令2.2.5延迟性质（2.46）则，代入上式得例如延迟t0时间的单位阶跃函数其拉氏变换为。

图2.9函数f(t)u(t)和函数f(t－t0)u(t－t0)00此性质表明：如图2.9所示的时间函数f(t)u(t)，若在时间轴上延迟t0得到时间函数，则它的拉氏变换应乘以。又可以表示为【例2.6】已知，,求的拉氏变换.根据拉氏变换的延迟性质，得因为根据拉氏变换的线性性质，得解因为所以若

，则证明：令，则上式变成2.2.6尺度变换（2.47）解此题既要用到尺度变换，也要用到延迟性质。【例2.7】已知，若a>0，b>0，求。由延迟性质得再由尺度变换，即可求得所需的结果另解先用尺度变换，再借助延迟性质。这时首先得到然后由延迟性质求出也即两种解法其结果一致。若，且存在，则或

（2.48）2.2.7初值定理、终值定理1.初值定理证明：根据拉氏变换的微分性质，有令，对等式两边取极限，得在时间区间内，，因此等式左边为利用初值定理，我们可以从的拉氏变换，直接求出在t＝0+时的值。虽然初值定理不能严格地给出t＝0时的于是

即值，但是能够给出时间略大于零时的值。若时间函数及其一阶导数都是可拉氏变换的,而且存在，则2.终值定理，

（2.49）证明：根据拉氏变换的微分性质，有令，对等式两边取极限，得等式左边为于是

的稳态值与复频域中s＝0附的值相同。因此，时的值可以直接从在终值定理表明：时间函数利用该性质，可在复频域中得到控制系统在时间域中的稳态值，利用该性质还可以求得控制系统的稳态误差。

近的得到。特别指出：运用终值定理的前提是时间函数有终值存在的所有极点位于左半s平面）。

（即【例2.8】已知，求和解由于

由初值定理，得由终值定理，得。由象函数F(s)求原函数f(t)，可根据式（2.4），即的拉氏逆变换公式计算，简写为。2.3拉氏逆变换t≥0对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表，查出相应的原函数。对于有理分式这类复杂象函数，通常先用部分分式展开法(也称海维赛德展开定理)，将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表，即可写出相应的原函数。解

【例2.9】试求的拉氏逆变换在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式式中，系数a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm都是实常数；m，n为正整数，通常m<n。为了将F(s)写成部分分式的形式，把F(s)的分母进行因式分解，则有当分母A(s)=0时s的根，称为F(s)的极点，分子B(s)=0时s的根，称为F(s)的零点。

（2.50）（2.51）如果F(s)只含不同极点，则F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和：式中ak(k＝1,2,…,n)为常数。系数ak叫做极点s＝―pk上的留数。1.只含不同极点的情况

（2.52）用(s+pk)乘式（2.52）的两边，且令s＝―pk，即可求得ak的值：即（2.53）将式（2.52）取拉氏逆变换，得（2.54）

【例2.10】试求解F(s)的部分分式展开为则的拉氏逆变换又【例2.11】试求解因为分子多项式的阶次比分母多项式的阶次高，所以必须用分母去除分子。于是的拉氏逆变换。如果F(s)含有共轭复极点，即式（2.55）中有共，共轭复极点，则F(s)可以展开成式中ak(k＝3,4,…,n)为常数，可直接由式（2.53）求得。而系数K1，K2可由以下步骤求得：

（2.56）2.含共轭复极点的情况轭复根下列部分分式之和：

（2.55）令

根据式（2.53）

（2.57）不难看出，K1与K2成共轭关系，假设

（2.59）（2.60）

（2.58）式中，把式（2.56）中的共轭复极点的拉氏逆表示，则变换用

（2.61）则式（2.55）的拉氏逆变换为【例2.12】试求解将F(s)分解因式为分别求系数K1、K2和a3：的拉氏逆变换。则共轭复极点，，。设A(s)＝0有r个重极点p1(即A(s)＝0有r个重根s1=-p1)，则F(s)可写成（2.63）

3.含多重极点的情况式中，p1为F(s)的重极点，pr+1，…，pn为F(s)的(n-r)个非重极点；ar，ar-1，…，a1和ar＋1，ar＋2，…，an为待定系数，其中ar＋1，ar＋2，…，an按式（2.53）确定。对于系数ar，ar-1，…，a1可通过如下方法来计算：

（2.64）令乘以上式的两边，得

（2.65）

用令，则式（2.65）为将式（2.65）两边对s进行微分，得令，则式（2.66）为再将式（2.65）两边对s进行二阶微分，得（2.66）

（2.67）再令，则式（2.67）为类似地，对式（2.65）两边对s进行k阶微分，并令，得因此，得到递推公式（2.68）原函数f

(t)为（2.69）【例2.13】试求解当分母A(s)=0，s有四个极点，即：二重极点p1=－1和非极点p3=0，p4=－3。根据式（2.68），得的拉氏逆变换。将F(s)展开成部分分式由式（2.69）得