企业运筹学-图与网络理论讲义

企业运筹学--图与网络理论讲义图的概念什么是图图的概念所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V，边的集合记为E，那么图可以表示为：G＝〔V，E〕，点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，那么两个图相同。图的概念图的表示

e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念点与边

顶点数集合V中元素的个数，记作p(G)。边数集合E中元素的个数，记作q(G)。假设e=[u,v]∈E，那么称u和v为e的端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。例如图5－1中的图G，p(G)=6，q(G)=9，v1，v2是e1和e2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念点边关系假设点u和v与同一条边相关联，那么u和v为相邻点；假设两条边ei和ej有同一个端点，那么称ei与ej为相邻边。例如在图5－1中v1和v2为相邻点，v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念简单图假设一条边的两个端点是同一个顶点，那么称该边为环；又假设两上端点之间有多于一条边，那么称为多重边或平行边。例如图5－1的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。含有多重边的图称作多重图。无环也无多重边的图称作简单图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念图的次次点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图5－1中，d(v1)=5,d(v4)=6等端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边；次为0的点称为孤立点。图5－1中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6那么是弧立点。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念定理1假设图G中所有点都是孤立点，那么称图G为空图。定理1所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念定理2

定理2在任一图中，奇点的个数必为偶数。设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念链

由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。v0称为链的起点，vn称为链的终点。假设v0≠vn那么称该链为开链，反之称为闭链或回路。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念简单链

假设链中所含的边均不相同，那么称为简单链；假设点均不相同，那么称为初等链或通路。除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。例如图中e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9是一条链，且是开链，也是简单链，但不是初等链，因为v1出现两次。图的概念圈

假设链中所含的边均不相同，那么称为简单链；假设点均不相同，那么称为初等链或通路。除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。例如图中e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9是一个圈。图的概念连通性

假设一个图G的任意两点之间均至少有一条通路〔初等链〕连接起来，那么称这个图G是一个连通图，否那么称作不连通图。例如图中，v1和v6之间没有通路，因此它不是连通图，而如果去掉v6，那么构成一个连通图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念连通的意义

连通是一个很重要的概念，如果一个问题所对应的图是一个不连通图，那么该问题一定可以分解成互不相关的子问题来加以研究，即可以把不连通图分解成连通的子图来研究。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念子图子图的定义设，G1=(V1,E1),G2=(V2,E2)，如果V1V2，又E1E2，那么称G1是G2的子图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9e1e2e3e4e5v2v3v1必须指出，并不是从图G2中任选一些顶点和边在一起就组成G2的子图G1，而只有在G2中的一条边以及连接该边的两个端点均选入G1时，G1才是G2的子图。图的概念特殊子图当G1中不包含G2中所有的顶点和边，那么称G1是G2的真子图。局部图假设V1=V2，E1E2，那么称G1为G2的一个局部图。假设V1V2，E1={[u,v]|u∈V1,v∈V1}，那么称G1是G2中由V1导出的导出子图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9e1e2e3e4e5v2v3v1图的概念有向图在有些图中，边是没有方向的，即[u,v]=[v,u]，这种图称为无向图。而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的线来表示，称为弧。从顶点u指向υ的弧a，记作＝a=(u,v),(u,v)≠(v,u)，其中u称为a的起点，v称为a的终点，这样的图称为有向图。仍以V表示点的集合，以A表示弧的集合，那么有向图表示为D＝〔V，A〕图的概念有向图例e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念有向图的链路有向图中，在不考虑边的方向时，也可以相同地定义链，假设有向图D＝〔V，A〕中，P是一个从u到v的链，且对P中每一条弧而言，在序列中位于该弧前面的点恰好是其起点，而位于该弧后面的点恰好是其终点，这个链P就称为是D中从u到v的一条路。当路的起点与终点相同，即u=v时，称作一条回路。顶点全不相同的路称为初等路。除起点和终点外点均不相同的回路称为初等回路。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的概念树一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。一个连通的无圈图那么称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。定理以下关于树的六种不同描述是等价的：①无圈连通图。②无圈，q=p-1。③连通，q=p-1。④无圈，但假设任意增加一条边，那么可得到一个且仅一个圈。⑤连通，但假设任意舍弃一条边，图便不连通。⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。图的概念局部树假设T是图G＝〔V，E〕的局部图，且T是树，那么称T为G的局部树。假设T是图G的局部树，那么从G中去掉T中所有的边，所得到的子图称为G中的T的余树，也称为G的一个余树。余数不一定是树！一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。一个连通的无圈图那么称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。网络概念图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研究这种关系的强弱程度。网络赋权的图权程度的度量，数量描述。

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v2网络最短树问题最短树问题的一般提法是：选取网络中的局部图，使得网络连通，且使总权数最短。在实际应用中，经常碰到需要求一个赋权连通图的最短树的问题。例如，用节点表示城市，用边表示可以在两个城市之间架设光缆，边上的权表示光缆的长度，试求应如何架设光缆，才能使任意两城市之间均由光缆相通，且使光缆的总长度最短。求最短树的方法，依据的是树的特点，即无圈和连通，加上最短的要求，方法主要有两种：一种称为破圈法，一种称为生长法树的概念回忆一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。一个连通的无圈图那么称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。定理以下关于树的六种不同描述是等价的：①无圈连通图。②无圈，q=p-1。③连通，q=p-1。④无圈，但增加一条边，那么可得到一个且仅有一个圈。⑤连通，但假设舍弃一条边，图便不连通。⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。网络最短树破圈法原理方法原理如果网络图中无圈并且q=p-1，那么已经是树；如果网络图中有圈，那么截去该圈中权数最大的边；这样，并不影响网络图的连通性，且能使边数减少一个；经过一定次数的截边，网络图中将再也没有圈，成为无圈图；如果此时的网络满足q=p-1，那么已经是树；由于每次截去的边在圈中具有最大的权数，因此获得的树也是最短的树。

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v2网络最短树破圈法方法步骤①在网络图中寻找一个圈，假设已经无圈那么转③。②在圈中选取权数最大的边，从网络图中截去该边，对新的网络，转①。③假设q=p-1，那么已找到最短树，否那么网络图不连通，无最短树。方法例如：例5－4对图中的网络，用破圈法求最短树。网络最短树生长法原理

方法原理类似于自然界中植物生长的过程，结合就近生长和防止构成圈的要求，逐步生长直到所有的点都已经被包含。如果原网络不连通，那么在生长过程中会出现某些点不能被生长，那么结束。避圈的原理是已经被包含在生长过的树中的点不再被生长。由于在每次生长时都采用就近生长的方法，生成的树一定是最短树。

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v2网络最短树生长法1方法步骤①从图上任选一点υi，令②从Sk中的各点到Sk中各点的边中选权数最小的边，设为[υi，υj]，那么假设这样的边不存在，那么原图没有最短局部树。③令假设S=V，那么已找到最短树，否那么②，

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v2网络最短树生长法2方法例如取S={v1},那么S到其余点的距离在距离矩阵中第一行v2v3v4v5v6S126∞∞∞V2389∞S2389∞网络最短树生长法3方法例如v2v3v4v5v6S126∞∞∞V2389∞S2389∞V353∞S353∞V5∞1S451V63S53网络最短树生长法4v2v3v4v5v6S126∞∞∞V2389∞S2389∞V353∞S353∞V5∞1S451V63S53

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v2网络最短路线问题最短路线问题的一般提法是：欲寻找网络中从起点υ1到终点υn的最短路线，即寻求连接这两点的边的总长度为最小的通路，最短路线中的网络大都是有向网络，也可以是无向网络。adbetcfs9757845646547图4-7最短路问题的狄克斯拉算法把V分成两个集合令计算求假设vk=vn那么已经求得vn到v1的最短路线，否那么继续计算使用条件lij≥0算法解释假设以p(vi)记v1到vi的最短距离，那么根据动态规划原理应有第一步取P(v1)＝0，而T(vj)那么是对P(vj)所取的初值；

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v2狄克斯拉算法1狄克斯拉算法2算法解释第二步利用P(vi)，据上式对T(vj)进行修正；

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v2狄克斯拉算法3算法解释第三步对T(vj)求

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v2狄克斯拉算法4算法解释k=2,不是最优，继续

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v2狄克斯拉算法5算法解释在所有的T(vj)中确定最小的

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v2狄克斯拉算法6算法解释k=3,不是最优，继续

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v2狄克斯拉算法7算法解释k=5,不是最优，继续

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v2狄克斯拉算法8算法解释k=6=n,已经是最优。如果希望计算v1到v4的最短距离，继续

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v2狄克斯拉算法9表格实现vjv1v2v3v4v5v6初始值T(vj

)0∞∞∞∞∞

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v2第一次P()+lij0+20+60+∞0+∞0+∞T()26∞∞∞狄克斯拉算法10表格实现vjv1v2v3v4v5v6初始值T(vj

)0∞∞∞∞∞第一次P()+lij0+20+60+∞0+∞0+∞T()26∞∞∞第二次P()+lij2+32+82+92+∞T()51011∞第三次P()+lij5+55+35+∞T()108∞第四次P()+lij8+∞8+1T()109福德算法1适用于有负权，但无负回路的有向或无向网络，其算法步骤如下：令计算假设对所有j那么最优，否那么把k的值加1，继续计算。假设k=n-1，那么说明存在负回路，最短路线不存在。福德算法2适用于有负权，但无负回路的有向或无向网络，算法中dj(k)为从υ1到υj的边数不超过k的路线中距离最短的。算法依据的思想是动态规划最优性原理，在此处形成递推公式。福德算法3算法例如

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v2福德算法4

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v2026∞∞∞02福德算法7

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v2026∞∞∞0225②福德算法8

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v2026∞∞∞0225②10②福德算法9

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v2026∞∞∞0225②10②9③福德算法10

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v2026∞∞∞0225②10②9③∞福德算法11

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v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤福德算法12

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v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤025108③9⑤福德算法13

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v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤025108③9⑤0251089最大流问题的概念所谓最大流问题就是在一定的条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最大流问题中一般有如下规定：①网络有一个起点υs和一个终点υt②网络是有向网络，即流有方向性。③在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流量。假设以bij表示由υi到υj的弧上允许流过的最大流量，以xij表示实际流过该弧的流量，那么0≤xij≤bij④网络中，除起点υs和终点υt之外的任何顶点，流入量总和应该等于流出量的总和。最大流问题的数学模型最大流问题的数学模型：

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v2最大流最小割集定理1网络中的最大流量fmax值大小是由网络中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。最大流－最小割集定理揭示了最小割集〔网络中的瓶颈〕容量与最大流量的关系，也提供了一个求最大流的方法。割集网络割集容量最小割集所有割集中容量最小的一个割集。最大流最小割集定理2网络中的最大流量fmax值大小是由网络中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。网络割集容量最小割集所有割集中容量最小的一个割集。最大流－最小割集定理流过网络的最大流量等于最小割集的容量。最大流最小割集定理3

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v2SS割集容量vsv2v3v4v5vt(vsv2)

(vsv3)24vsv2v3v4v5vt(vsv3)

(v2v4)(v2v5)20vsv3v2v4v5vt(vsv2)

(v3v2)(v3v4)

(v3v5)29………..…福德－富克逊方法原理算法的原理首先，依据最大流问题的要求，为网络分配一个可行流。所谓可行流，是指所有弧上流量满足容量限制，所有中间点满足平衡条件的流；假设这一可行流的流量就是最大流量，那么问题已经解决；假设不是最大流量，那么增加流量获得流量更大的可行流。福德－富克逊方法流图

求一个初始可行流

是判断初始可行流是否最优结束

不是

求使目标得到改善的可行流福德－富克逊方法图示算法原理图示初始流初始流福德－富克逊方法讨论假设弧(vi,vj)上的流量满足xij=bij，那么称该弧为饱和弧，否那么称为非饱和弧。假设弧(vi,vj)上的流量xij=0。那么称该弧为零流弧，否那么称为非零流弧。一条从υs到υt的初等链是由υs开始的点、边序列，其中没有相同的点，也不考虑弧的方向。把这条链中的υs到υt方向相同的弧称为正向弧。把这条链中的υs到υt方向相反的弧称为逆向弧。在上述的可行流中，从υs到υt的某个初等链满足：①其上的正向弧均为非饱和弧。②其上的逆向弧均为非零流弧。那么称该链为一条流量增广链。福德－富克逊方法讨论流量增广链:从υs到υt的某个初等链满足①其上的正向弧均为非饱和弧。②其上的逆向弧均为非零流弧。结论：假设在可行流中，存在从υs到υt的增广链，那么该可行流不是最大流，其流量可以增加；否那么假设不存在从υs到υt的增广链，那么该可行流是最大流。增广链的性质流量增广链:从υs到υt的某个初等链满足①其上的正向弧均为非饱和弧。②其上的逆向弧均为非零流弧。增广链的性质：Vs到增广链上任一点也有增广链;增广链上任一点到Vt也有增广链;福德－富克逊方法步骤算法的步骤：①为网络分配初始流xij标在图中弧旁的()内②寻求增广链，假设不存在，那么已最优,否那么③在增广链上调整流量，产生新的可行流。重复②、③两步，直到最优。寻求增广链的方法寻求流量增广链的方法，是依据增广链的性质而产生的，其根本思路类似于最短树问题的生长法。从υs开始，逐个检查每个点υi，看是否存在从υs到υi的增广链。如果存在从υs到υi的增广链，而〔ViVj〕非饱和或〔VjVi〕非零流，那么存在从V1到Vj的增广链。福德－富克逊方法例如标记化算法的步骤：①为网络分配初始流xij标在图中弧旁的()内

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v2(4)(9)(3)(1)(5)(7)(5)(8)福德－富克逊方法例如②寻求增广链从υs开始，赋上标记〔－，∞〕，表示υs是源点，能够得到任意多的量。υs称为已标记的点。也表示增广链可以从V1延伸到V1

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v2(4)(9)(3)(1)(5)(7)(5)(8)[-,∞]福德－富克逊方法例如②寻求增广链如果vi是已经标记的点,vj是未标记的点那么当(vi,vj)是非饱和弧时,vj可以标记:[vi+,ej]ej=min{ei,bij-xij}当(vj,vi)是非零流弧时,vj可以标记:[vi-,ej]ej=min{ei,xji}如果vt可以标记,那么找到增广链,否那么继续.如果对于一切未标记的点,均不能再标记,那么已经是最优.福德－富克逊方法例如②寻求增广链如图v1是已经标记的点,其它点是未标记的点(v1,v2)是非饱和弧,v2可以标记:[v1+,e2]

e2=min{e1,b12-x12}(v1,v3)是饱和弧,目前v3和其它点暂时不能标记，即暂时没有从v1到v3或其它点的增广链。

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