2019年上海高考数学·第一轮复习讲义第17讲数学归纳法与数列的极限

2019年上海高考数学•第一轮复习(第17讲数学归纳法与数列极限)一、知识梳理(一)数学归纳法用数学归纳法证明命题的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n°£N*例如n0=1或n0=2)时，命题成立，这是推理的基础；(2)假设当n=k(keN*,k>n0)时命题成立，在此假设下，证明当n=k+1时命题也成立是推理的依据。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n°开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。(3)结论。注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证n=n。时成立,注意n0不一定为1；(2)在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到k+1时命题的变化。(3)由假设n=k时命题成立，证n=k+1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标。(二)数列的极限1、常用的几个数歹啜限(1)对于数列Ln1,当q<1时，有limqn=0；当q=1时，limqn=1；当q=-1或|q|>1时，limqn不存ntb ntb ntb在；,• 1八 1八，有lim—=0。一■般地，有11m,• 1八 1八，有lim—=0。一■般地，有11m =0、nntbntbna(a>0,a为常数);对于无穷常数列{j}，有limC=C。ntblimntban-bn1,同>b\ -=1an+bn0,|a|=|b|-1,a<b|2、数列极限的运算法则如果lim2、数列极限的运算法则如果lima=A,limb=Bntb ntb，那么lim(a+b)=A+Bntbnnlim-b)=A-Bnnntblim(alim(a-b)=A-Bntbnnalim«-、bntbun特别地，如果c是常数，那么，lim(c特别地，如果c是常数，那么，lim(c-a)=c-lima=cantbntb3、无穷等比数列的各项和当公比Iql<1时无穷等比数列】n｝称为无穷递缩等比数列。我们把0<|q|<1的无穷等比数列的前n项的和当n—8时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S表示。a(1—qn)a

二—1二、例题解析二、例题解析1、2、 + +…+

n+1n1、2、 + +…+

n+1n+2 3n+1，那么f(k+1)—f(k)=3、凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为 (f(n)+n+1f(n)+n C.f(n)+n-14、用数学归纳法证明12+22+n(2n2 +1)+(n-1)2 +n2+(n-1)2 ++22+12= 时，从"k至ijk+1”左边需^3增加的代数式是((A)(k+1)2(B)k2+(k+1〉2k2+(k+1)22k2+2(k+1〉(一)数学归纳法已知f(n)=12+22h fn2+(n+1)2+n2h b22+12，贝口f(1)=5、Sk=(A)Sk+12(k+1)(B)(C)Sk+(D)65、Sk=(A)Sk+12(k+1)(B)(C)Sk+(D)6、某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k£N*)知当n=5时，该命题不成立，那么可推得(A)当n=6时该命题不成立；(C)当n=4时该命题不成立((B)(D)S+ + k 2k+12k+2时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已)当n=6时该命题成立当n=4时该命题成立7、若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有( )A、P(n)对所有正整数都成立B、P(n)对所有大于等于2的正整数都成立C、P(n)对所有正偶数都成立D、P(n)对所有正奇数都成立(k=1,2,3,….)，贝”一k k+18、用数学归纳法证明”当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第二步应是 ((A)假设n=k(keN)时命题成立，推得n=k+1时命题成立(B)假设n=2k+1(keN)时命题成立，推得n=2k+3时命题成立(C)假设k=2k-1(keN)时命题成立，推得n=2k+1时命题成立(D)假设n<k(k>1,keN)时命题成立，推得n=k+2时命题成立,1 1a+19、已知数列bj中，a=,a=nn13 n+13一an的值；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明。（二）数列极限1、下列命题正确的是（ ）A.B.若lim(ab)=0，则lima=0且limb=0；nf8nn ntbn ntbn无穷数列^a｝有极限，则liman nntb=liman+1ntb（二）数列极限1、下列命题正确的是（ ）A.B.若lim(ab)=0，则lima=0且limb=0；nf8nn ntbn ntbn无穷数列^a｝有极限，则liman nntb=liman+1ntbC.若lima存在，limb不存在，则lim(ab)不存在;ntbn ntbn ntbnnA.若两个无穷数列的极限都存在，且a”丰b，，则lima”丰limb〃。ntb ntb2、]已知无穷等比数列｛an｝的前n项和Sn=3+a（ngN*）,且a是常数，则此无穷等比数列各项的和是（A.B.3、,前n项和为S,则1imS为ntb9(A)4（b）44（C）94(D)—274、lim——ntb2n等于5、若数列｛a｝满足a=1,n 1 3且对任意正整数m,n有a十二aa,A.C.则lim(a+a+ +a)=(ntb12 nD.26、已知a、b、c是实常数,且limntban+cbn-c=2,limntbbn2-ccn2-ban2+c=3,则hm 的值是ntbcn2+a1A.121B,63C,2D.67、8、(1,+8)(1,4)(1,2)(1已知数列｛log（a-1）｝（ngN*）为等差数列，且a=3则lm 1 1—a-aa-a在等比数列中，a/1,前项和S满足limS=-，那么%的取值范围是 （ ）1 n na ntbTOC\o"1-5"\h\z3 1\o"CurrentDocument"A.2 B.- C.1 D.-2 2

10、计算：lim1+3+5+…+(2n—1)n-8 2+4+6+…210、11、计算：lim11、计算：limn—82n—3n+12n+1+3n12、已知数列12、已知数列L｝的通项公式是1<n<1000n>1000，则11mann—813、若limn—8\n存在则a的取值范围是14、若limn—81=0，则13、若limn—8\n存在则a的取值范围是14、若limn—81=0，则a=15、若lim n—83n+1+(a+1)n 3则a的取值范围16、已知无穷等比数列Ln｝的各项的和是4,则首项a1的取值范围是17、已知等比数列｛a｝的首项为-.a 1公比为q，且有limU»—qn)=二，则首项a的取值范围_

n—81+q 4 118、在数列｛a｝中，aa+a+ +a=an2+bn(ngN*)，其中a、b为常数，则liman—bnan+bn的值是19、等差数列a｝、8｝的公差都不为零若lim土=3，则limn-8b n-8n20、设点A为坐标原点，A(n,na4n)(ngN*)，记向量a=AA+AA+—+AAn，0n是an与i的夹角(其中i=(1,0))，设S=tan0+tan0+—+tan0，则limS三、总结反思

四、课后作业1、设f(n)=1.n+2.(n-1)+3-(n-2)+…+n・1,贝|f(n+1)-f(n)=TOC\o"1-5"\h\zT11 1 ，八2、用数学归纳法证明：1++-+-+ <n(ngN*,n>1)时，第一步验证不等式 成23 2n—1立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 1 „ 、 8一3、设等比数列｛a｝(n£N)的公比q=—,且lim(a+a+a+…+a )=一，则a= n 1 135 2n11q 1乙nf8/甘。1 2 1 2 1 24、右S=一+—+—+—+...+—+一,则limS= .n2 3 22 32 2n 3n ne n5、在无穷等比数列｛a｝中，lim(a+a++a)=1,则首项a.的取值范围是n ns1 22n—1,1<n<6则lima=nnf86、若a=\则lima=nnf8nTT，n-72n—67、从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,……中找出规律，写出其一般的形式(不需证明)8、用数学归纳法证明TOC\o"1-5"\h\z1 1111 1/1一+———++——=++-++—(ngN)，则从k至Uk+1时，左边应添加的项为(2 3 4 2n—12nn+1n+2 2n(B)(D)1(D)(C)—K9、(07上海)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足:“当f(k)三k2成立时，总可推出f(k+1)》(k+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 ( )A若f(3)三9成立，则当k三1时，均有f(k)三k2成立B.若f(5)三25成立，则当k<5时，均有f(k)三k2成立C.若f(7)<49成立，则当k三8时，均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立，则当k三4时，均有f(k)三k2成立10、则其各项和S等于已知数列｛a｝的前n项和S满足S=1—2