弹性力学解题方法

第四章弹性力学解题方法弹性力学问题的基本方程按位移求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题平面问题和应力函数逆解法和半逆解法边界上的应力函数及导数平面问题的极坐标解法§4－1弹性力学问题的基本方程一、BasicequationsofthespaceproblemDifferentialequationofequilibrium§4－1弹性力学问题的基本方程Geometricalequation一、BasicequationsofthespaceproblemConstitutiveequation

（GeneralizedHooke'slaw

）Physicalequation

Constitutiveequation

（GeneralizedHooke'slaw

）DeviationformConstitutiveequation

（GeneralizedHooke'slaw

）stress-strainrelationshipStressboundaryconditionDisplacementboundarycondition二、Basicequationsof

PlanestressproblemDifferentialequationofequilibriumGeometricalequationConstitutiveequationStressboundaryconditionDisplacementboundarycondition三、弹性力学问题的解法1.位移法Displacementmethod

以位移分量为基本未知量用位移表示应力和应变求出位移分量求出应变分量求出应力分量2.力法Forcemethod

几何方程物理方程以应力分量为基本未知量消去位移和应变分量求出应力分量求出应变分量求出位移分量物理方程几何方程四、弹性力学问题的基本类型2.位移的边值问题1.力的边值问题在物体的全部表面上给定面力的问题。在物体的全部表面上给定位移的问题。3.混合边值问题在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上给定位移的问题。位移法力法力法或位移法§4－2按位移求解弹性力学问题Basicequation

（4－1）Laplaceoperator

Lame‘equation

（4－2）（4－3）用位移分量表示的平衡微分方程ElasticequationStress-displacementrelationshipboundarycondition

StressDisplacement（4－4）Trainofthought（4－3）（4－4）几何方程物理方程优点：缺点：适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。空间轴对称问题：GeometricalequationEquationofequilibriumConstitutiveequation空间轴对称问题：ElasticequationBoundarycondition

Stress-displacementrelationship例题：半空间体，单位体积的质量为r

，在水平边界上受均布压力

q

，位移边界条件为：求：位移分量和应力分量。Solution：qxzz=hoVolumeforce

Planeforce

Displacement例题：半空间体，单位体积的质量为r

，在水平边界上受均布压力

q

，位移边界条件为：求：位移分量和应力分量。qxzz=hoSolution：Elasticequationqxzz=hoStresscomponent：Solution：qxzz=hoBoundarycondition：Stresscomponent：Solution：qxzZ=hoDisplacementcomponent：

Stresscomponent：

§4－3按应力求解弹性力学问题BasicequationCompatibilityequation：（4－8）用应力表示的相容方程：体力为常量：（4－9）应力张量第一不变量为调和函数。harmonicfunction

所有应力分量均为双调和函数。biharmonicfunction

解题思路：几何方程物理方程优点：缺点：（1）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自然满足，可得到精确解答。（2）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达式较简单。不能求解位移边值问题。位移单值条件：Uniquenesscondition

对于多连体，物体中任意一点的位移必须是单值的。§4－4平面问题和应力函数一、平面应力问题和平面应变问题planestressproblem

planestrainproblem

z＝xz

＝zy

＝0x,

y,xy(x,y)构件特征：受力特点：应力分量：应变分量：位移分量：xyzxyz平行于板面，板面上无载荷载荷与z轴垂直沿z轴不变yx

＝zx

＝0x,y,xy

(x,y);z

z

＝yx

＝zx

＝0x,y,xy

(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,

y,xy(x,y)xz＝

zy＝0,z＝m(x+

y)Equationofequilibrium二、Basicequationofplaneproblemsinelasticity

GeometricalequationConstitutiveequationBoundaryconditionPlanestrainproblem：三、CompatibilityequationandAirystressfunctionCompatibilityequation应力分量表示的相容方程体力为常量：不含材料常数，只要两物体具有相同的形状，受相同面力，则不论何种材料、何种平面问题，其应力分布是相同的，数值亦相同。解答普遍性。前两式为常系数非齐次线性偏微分方程，其通解等于对应的齐次通解加上一个特解。特解：j(x,y):平面问题的应力函数：不论j

(x,y)取何函数，上式得到的应力分量恒满足平衡微分方程。（Airystressfunction）齐次通解全解：应力函数表示的相容方程应力函数j(x,y)为双调和函数。满足22

=0

相当于满足平衡微分方程和变形协调条件，即满足了平面问题的八个基本方程。求出j(x,y)后，可根据通解求出应力分量，如果在边界上满足应力边界条件，则得到的就是正确解答。求出应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量。

讨论：当体力为零时：平面应变问题：2

2

=0为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用逆解法和半逆解法。逆解法：设定j(x,y)

满足4=0半逆解法：面力解决的问题解决的问题边界形状受力情况j(x,y)4=0边界条件正确解答设定边界条件§4－5

逆解法和半逆解法一、平面问题的多项式解答－逆解法Inversemethod

（不计体力）不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择，线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。Satisfy:22=0xy矩形板在y

方向受均匀拉伸（压缩）。Satisfy:22=0Boundarycondition

：LeftandRightboundary：UpperandLowerboundary：2a2axy矩形板在x

方向受均匀拉伸（压缩）。Satisfy:22=0Boundarycondition：LeftandRightboundary：UpperandLowerboundary：2c2cxy矩形板在四周受均布切应力作用。Boundarycondition：LeftandRightboundary：UpperandLowerboundary：bbbbSatisfy:22=0矩形板受偏心拉力作用。Satisfy:2

2

=0Boundarycondition：Leftboundary：UpperandLowerboundary：h1xyoRightboundary：lFF矩形板受纯弯曲作用。Leftboundary：UpperandLowerboundary：lh1xyoRightboundary：lxyo同一应力函数在不同的坐标系中解决的问题也不同。Satisfy:2

2

=0Satisfy:22

=0Boundarycondition：Majorboundary

（UpperandLower）：h1自然满足。lxyo例：单位厚度的矩形截面梁，受到单位厚度的力偶矩M作用，试求应力分量和位移分量。MMStresscomponent：Solution：静力等效边界条件（Saint-Venant

principle，1855）：把物体的一小部分边界上的面力，改为具体分布不同，但静力等效的面力，只影响近处应力分布，对远处影响很小。不满足。h1Secondaryboundary

：lxyoMM静力等效：主矢量相等、主矩相等。Principalvectorequality：不满足。h1Secondaryboundary

：lxyoMMydyPrincipalmomentequality：Stresscomponent：

h1lxyoMMydyStraincomponent：Displacementcomponent

：Displacementcomponent：

Displacementboundarycondition：lxyoMlxyMMolxyMMo横截面保持为平面－平截面假设。Plane-sectionassumption

曲率公式。Curvatureformula

挠度方程。Deflectionequation

Planestrainproblem：逆解法解题思路：满足4=0确定待定常数应变分量边界条件设定j(x,y)位移分量§4－5

逆解法和半逆解法二、简支梁受均布载荷－半逆解法

Semi-inversesolvingmethod

材料力学已知解弹性体的边界受力情况量纲分析法j(x,y)4=0应变分量设定某一应力分量边界条件其它应力分量是否正确解答位移分量？4

=0受力分析：面力在y方向有变化，例1：单位厚度的矩形截面梁，受到均布力作用，试求应力分量。Solution：（1）Stressfunction（不计体力）h1lxyoqlqlql（2）Stresscomponent（3）undeterminedcoefficienth1lxyoqlqlqlSymmetry

：h1lxyoqlqlqlBoundarycondition

：h1lxyoqlqlqlStresscomponent

：h1lxyoqlqlqlh=2l:d=27%h=l:d=6.7%2h=l:d=1.7%sxsytxyStresscomponent

：4=0受力分析：面力在y方向有变化，例2：单位厚度的矩形截面梁，受到

线性分布力作用，试求应力分量。Solution：（1）Stressfunction（不计体力）h1xyoql/3qlql/6（2）Stresscomponentxyoql/3qlql/6（3）Boundarycondition

xyoql/3qlql/6Stresscomponent：4

=0材料力学：例3：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分量和位移分量。Solution：（1）Stressfunction（不计体力）2h1xyolPx（2）Stresscomponent（3）Boundarycondition2h1xyolPx2h1xyolPx（4）Straincomponent（5）Displacementcomponent

xyolPxyolP4

=0受力分析：例3：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分量和位移分量。Solution

（二）（不计体力）2h1xyolPx应力函数不同，但应力分量的表达式相同。AB4－6边界上的j

及其导数的力学意义一、Boundaryconditionintermsof

Stressfunction

FxFyndxdydsaxyxyFxFynABdxdydsaxyxy二、Thestressfunctionontheboundaryanditsderivative考虑AB边界上面力的合力和合力矩：ResultantforceResultantforcemomentFxFynABdxdydsaxyxy三、Mechanicalmeaning

设：FxFynABdxdydsaxyxy三、Mechanicalmeaning设：应力函数中一次项不影响应力分量称A为基点

AB段面力合力在y

方向的分量之相反数。

AB段面力合力在x

方向的分量。

AB段面力对B点取矩的代数和。＋例1：单位厚度的矩形截面梁，受均布力作用，试求边界上的应力函数及导数，并求域内的应力分量。xyClqyBADqb解：选A为基点：ABBCCDDA000000设：xyClqyBADqb另解：选D为基点：ABBCCDDA000000基点不同，应力函数不同，但应力分量相同。例2：单位厚度的矩形截面梁，受均布力作用，试求边界上的应力函数及导数，并求域内的应力函数、应力分量、应变分量、位移分量。解：选C为基点：ABBCCDDA00-ty设：-tb-ty-txxyClqyBADqbt应力分量：应变分量：位移分量：xyClqyBADqbt应力分量应变分量位移分量四、利用边界上的j

及导数的力学意义求解平面问题的思路选基点边界条件例2：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受均布载荷q

、集中力P

和集中力偶M作用，试求应力分量。（不计体力）2h1qxyolPMABCD解：选A为基点：AB：CD：设：2h1xyolPMABCDxq应力分量：边界条件：CD：2h1xyolPMABCDxqAB：BC：2h1xyolPMABCDxq应力分量：2h1xyolPMABCDxq解法（二）：选C为基点：AB：CD：设：应力分量：边界条件：CD：2h1xyolPMABCDxqAB：BC：应力分量：2h1xyolPMABCDxq一、Planeproblemsinpolarcoordinates圆筒、圆盘、扇形板、半平面体、楔形体、带孔物体。r(r,q),q(r,q),

rq=qr(r,q)Componentfeature

：Stresscomponent：Straincomponents

：Displacementcomponent

：xyou(r,q),v(r,q)§4-7平面问题的极坐标解法Solutionofplaneproblemsinpolarcoordinateser

,eq

,

g

rq=g

qr(r,q)rqrqrqEquationofequilibrium二、Basicequationinpolarcoordinates

GeometricalequationConstitutiveequationPlanestrainproblem三、StressfunctionandcompatibilityequationCompatibilityequationStresscomponentStressfunction

:j(r,q

)（Zerogravity）解题思路：设定j(r,q)

半逆解法：应力分量位移单值条件边界条件满足

4=0应变分量位移分量逆解法：四、Axisymmetricstress

结构与受力均关于某轴对称，应力也关于该轴对称。满足:22

=0r,q,

rq=qr(r)Stresscomponent

：轴对称应力问题的应力函数Stresscomponent

：Straincomponents

：Displacementcomponent

：讨论：

（1）应力分量中待定系数A、B、C需考虑应力边界条件和位移单值条件才能确定。（2）位移分量中待定系数H、I、K在应力分量与应变分量中不出现，实为应变分量等于零时的位移，即刚体位移。（3）应用位移边界条件可确定位移分量中待定系数H、I、K。当无刚体位移时：H=I=K=0应力分量：例：厚壁圆环受内压和外压作用，求应力分量－－典型轴对称应力问题。解：应力函数：2aqbroqa2bBoundarycondition

：2aqbroqa2bqb

＝0：b∞：qa

＝0：b∞：b＝2aqaqbqa0.67qa1.67qaqb1.67qb2.67qb五、StressDistributionNearHole

：（一）四边均匀拉伸板qqqqRadius：axybqqsrtrqsr

=qtrq=0b>>a（二）二边均匀拉伸、二边均匀压缩Radius

：aqqqqxybqqsrtrqsr

=qcos2qtrq=-qsin2qb>>aj=f(r)cos2qBoundarycondition

：b>>aqqqqqxysqq4qStressDistributionNearHole

：（三）二边均匀拉伸板＝＋qq/2q/2q/2q/2qStressDistributionNearHole

：a3qq（四）任意薄板在边界受任意面力＝＋六、WedgeBlock

（一）Concentratedforceonthetopofthewedgeblock

单位厚度的楔体，在楔顶受单位宽度上的集中力P。OxybPSemi-inversemethod（Dimensionanalysismethod

）qrOxybPqrSemi-inversemethod

（Mechanicalmeaningofstressfunctionanditsderivativeontheboundary

）MNxyOxybPqrNM

Boundarycondition

：OMN：OxybPqrNMOxybPqrNMdxOyPqr等应力圆：等差线条纹图。

Displacementcomponent

：Symmetry

：qxOPrMBs沉陷公式（二）Concentratedmomentonthetopofthewedgeblock

单位厚度的楔体，在楔顶受单位宽度上的力偶M。Semi-inversemethod

（Mec