质量统计方法ASE

质量管理常用统计方法Statisticalmethodsinqualitymanagement质量管理常用统计方法第一部分:基本概念與常用圖表工具主要內容主要内容：第二部分:常用統計分布1、了解数据、总体、样本的含义及随机抽样的一般方法；2、掌握排列图、因果分析图的作图方法和应用；3、掌握分层法、统计图表法的应用；4、了解直方图的原理、作用、作图方法及应用；第一部分主要內容第一部分主要内容：解决质量问题的基本步骤确定问题并明确改进目标收集数据分析问题获得可能的解决方案选择一个解决方案解决质量问题检查解决方案并说明是否实现了目标质量管理工具

对帐单（检查表，checklist）;流程图；散布图；直方图；排列图；控制图；因果分析图；有一些质量管理工具可供公司用来解决质量问题及实现工序的改进。它们有助于收集和分析数据以便为决策提供依据。名词注解“统计（statistics）”一词是由“国家（state）”一词演化而来。它的意思是指收集和整理国情资料、信息的一种活动。A.V.Feigenbaum的观点：专家观点在全面质量管理中，“无论何时、何处都会用到数理统计方法”。“这些统计方法所表达的观点对于全面质量管理的整个领域都有深刻的影响。”数据一切用数据说话，数据是质量管理活动的基础。数据反映出产品特定性質，称为质量特性。在质量管理过程中，需要有目的地收集有关质量数据，并对数据进行归纳、整理、加工、分析，从中获得有关产品质量或生产状态的信息，从而发现产品存在的质量问题以及产生问题的原因，以便对产品的设计、工艺进行改进，以保证和提高产品质量。数据在质量管理中的作用③质量特性值:质量特性值通常表现为各种数值指标，即质量指标。一个具体产品常需用多个指标来反映它的质量。测量或测定质量指标所得的数值，即质量特性值，一般称为数据。根据质量指标性质的不同，质量特性值可分为计数值和计量值两大类。质量特性值计数值:计数值和计量值a.计数值。当质量特性值只能取一组特定的数值，而不能取这些数值之间的数值时，这样的特性值称为计数值。计数值可进一步区分为计件值和计点值。对产品进行按件检查时所产生的属性(如评定合格与不合格)数据称为计件值。每件产品中质量缺陷的个数称为计点值。如棉布上的疵点数、铸件上的砂眼数等。计量值:计数值和计计量值b.计量值值。当质量量特性值可可以取给定定范围内的的任何一个个可能的数数值时，这这样的特性性值称为计计量值。如如用各种计计量工具测测量的数据据(长度、、重量、时时间、温度度等)，就就是计量值值。总体和样本本:总体和样本本不同类的质质量特性值值所形成的的统计规律律是不同的的，从而形形成了不同同的控制方方法。由于于工业产品品数量很大大，我们所所要了解和和控制的对对象产品全全体或表示示产品性质质的质量特特性值的全全体，称为为总体。通通常是从总总体中随机机抽取部分分单位产品品即样本，，通过测定定组成样本本大小的样样品的质量量特性值，，以此来估估计和判断断总体的性性质。质量量管理统计计方法的基基本思想，，就是用样样本的质量量特性值来来对总体作作出科学的的推断或预预测。总体:总体、个体体个体:总体又叫母母体，是研研究对象的的全体。一批零件、、一个工序序或某段时时间内生产产的同类产产品的全部部都可以称称为总体。。构成总体的的基本单位位，称为个个体。每个零件、、每件产品品都是一个个个体。质量检验常常用抽样方方法进行，，即从总体体中抽出一一部分个体体，并测试试每个个体体的有关质质量特性数数据，进行行统计分析析后，对总总体作出估估计和判断断。样本:样本样本又叫子样，是从总体体中抽出来来一部分个个体的集合合。样本中每个个个体叫样品，样本中所所包含样品品数目称为为样本大小小，又叫样本量，常用n表表示。对样本的质质量特性进进行测定，，所得的数数据称为样本值。当样本个数数越多时，，分析结果果越接近总总体的值，，样本对总总体的代表表性就越好好。抽样方法随机抽样分层抽样系统抽样抽样方法随机抽样指总体中每每一个个体体都有同等等可能的机机会被抽到到。这种抽抽样方法事事先不能考考虑抽取哪哪一个样品品，完全用用偶然方法法抽样，常常用抽签或或利用随机机数表来抽抽取样品以以保证样品品代表性。。抽样当总体容量量不大时，，随机抽样样是一种有有效的抽样样方法；抽样方法分层抽样分层抽样是是先将总体体按照研究究内容密切切有关的主主要因素分分类或分层层，然后在在各层中按按照随机原原则抽取样样本。分层层抽样可以以减少层内内差异，增增加样本的的代表性。。抽样样本当获得的资资料不均匀匀，或呈偏偏态分布时时，分层抽抽样是一种种有效的抽抽样方法；；抽样方法系统抽样从总体中每每隔K个个个体抽取一一个个体的的抽样方法法，比值K是总体容容量N与样样本容量n之比；如果被抽总总体足够大大，并且易易作某种次次序的整理理时，系统统抽样比分分层抽样好好；1，2，………….KK+1，，K+2，………..，，2K2K+1，2K+2，………..，，3K直到N为止例，从具有有1000个个体的的总体中抽抽取50个个个体。总体、样本本、数据间间的关系总体样本结论数据抽样分析管理测试数理整理和和统计抽样的目的的是通过样样本来反映映总体。在质量管理理中，常常常将测试的的样本数据据，通过整整理加工，，找出它们们的特性，，从而推断断总体的变变化规律、、趋势和性性质。一批数据的的分布情况况，可以用用中心倾向向及数据的的分散程度度来表示，，表示中心心倾向的有有平均值、、中位值等等，表示数数据分散程程度的有方方差、标准准偏差、极极差等。描述总体数数据离散程程度的参数数为方差σ2，描述总体体数据中心心倾向的数数为均值μ。若利用样样本参数近近似描述总总体状况时时，可以利利用样本方方差S2近似代替总总体方差σ2，利用样本本均值X近近似代替总总体均值p。数理整理和和统计样本平均值值样本中位值值X=—————————————X1+X2+X3…….+Xnn中位值是按按照数据大大小顺序排排列位于中中间的数值值，中位值值记为X~若n为偶数数，则取位位于中间两两个数值的的平均值为为中位值；；数理整理和和统计样本极差样本方差和和样本标准准偏差样本方差和和样本标准准差就是用用来度量数数据波动幅幅度大小的的一个重要要特性值。。样本方差差是一组数数据中每一一个数值与与平均值之之差的平方方和的平均均值，通常常记为S2；样本方差差的平方根根S称作样样本标准偏偏差，它与与样本方差差一样，是是反映一组组数据分散散程度的特特性值:样本极差表表示一组数数据分布的的范围，是是指数据中中最大值与与最小值的的差:R=Xmax-Xmin检查表（checklist）在质量管理理中最强调调的是事实实管理，就就是要掌握握事实，要要掌握事实实就必须设设计检查表表收集数据据。记录用检查查表层别法层别法是所所有手法中中最基本的的概念，即即将多种多多样的数据据，因应用用目的的需需要分类成成不同的““类别”，，使之方便便以后的分分析；人员员机器器材料料方法其他他层别法用在检查表表上用在排列图图上柏拉图的作用在工厂里，，要解决的的问题很多多，但从何何入手呢？？事实上，大大部分的问问题，只要要能找出几几个影响较较大的因素素，并加以以处置及控控制，就可可解决问题题的80%以上。柏柏拉图是根根据收集的的数据，以以不良原因因、不良状状况发生的的现象，有有系统地加加以项目别别分类，计计算出各项项目所产生生的数据（（如不良率率、损失金金额）及所所占的比例例，再依照照大小顺序序排列，再再加上累积积值的图形形柏拉图排列图（柏柏拉图）意大利经济济学家V.Pareto于1897年年在研究国国民所得时时发现大部部分所得均均集中于少少数人，而而创出此原原理。Dr.JosephJuranrecognizedthisconceptasauniversalthatcouldbeappliedtomanyfields.Hecoinedthephrases““vitalfewandusefulmany”（关键的少数，，次要的多数数）.柏拉图的作图图方法步骤①将用于排排列图所记录录的数据进行行分类。②确定数据据记录的时间间。③按分类项项目进行统计计。④计算累计计频率。⑤准备坐标标纸，画出纵纵横坐标。⑥按频数大大小顺序作直直方图。⑦按累计比比率作排列曲曲线。⑧记载排列列图标题及数数据說明。柏拉图：例某部门将上月月生产的产品品作出统计，，总不良数409个，其其中不良项目目依次为：柏拉图：例柏拉图：练习习上例中主要不不良品为破损损，此破损为为当月份生产产许多产品的的破损总和，，再将产品类类别用柏拉图图法分析如下下：柏拉图：练习习柏拉图：练习习不良数50100150200比率66.7%17.9%5.1%4.1%6.2%%20406080100ABCD其其他柏拉图的应用用1、利用柏拉图寻找产品质质量的改善重重点；2、利用柏拉图验证改善产产品质量的效效果；之前100%之后100%实现的改善柏拉图的应用用3、利用柏拉拉图对产品质质量进行分层层研究；ABC因果图因果图Acause-and-effect(C&E)diagramisapicturecomposedoflinesandsymbolsdesignedtorepresentameaningfulrelationshipbetweenandeffectanditscauses.ItwasdevelopedbyDr.KaoruIshikawa（石川磬））in1943andissometimesreferredtoasanIshikawadiagramorfishbonediagrambecauseofitsshape.某项结果之形形成，必定有有其原因，应应设法利用图图解法找出其其原因来。因果图QualityCharacteristicpeoplematerialsWorkmethodsenvironmentEquipmentMeasurement因果图运用因果图有有利于找到问问题的症结所所在，然后对对症下药，解解决质量问题题。因果图在在质量管理活活动中，尤其其是在QC小小组、质量分分析和质量改改进活动中有有着广泛的用用途。外观不良人员技术不佳粗心缺乏培训无品质观念因果图（练习习）粗糙度低人料法环机技术不熟练未按规定磨刀刀原料混杂原料太硬进刀量规定不不合理车间地面振动动大照明不好机床导轨松动动机床轴承磨损损因果图（练习习）粗糙度低人料法环机因果图（练习习）粗糙度低人料法环机技术不熟练未按规定磨刀刀原料混杂原料太硬进刀量规定不不合理车间地面振动动大照明不好机床导轨松动动机床轴承磨损损2000.6.1对策表对策表当利用鱼刺图图确定了问题题产生的主要要原因后，有有必要采取措措施去消除这这些原因，以以达到质量改改进的目的。。这时，可以以采用对策表表的方法。用以针对质量量问题产生的的原因制定对对策或措施，，作为实施时时的依据。对策表的目的的对策表的格式式计量值数据的的处理由抽样或试验验收集得到的的计量值数据据中，蕴存着着产品质量特特性的大量信信息，但未经经处理和归纳纳时，是分散散而不规则的的。只有经过过处理和归纳纳后，信息才才能显示出来来。处理计量量值数据的基基本方法是列列表和作图，，通过这些表表和图就能够够大体看出数数据所代表的的产品质量特特性。频数分布表频数分布表是是一种把分散散和不规则的的数据，整理理成一个能顺顺着其度量的的尺度，清楚楚地显示出该该数据的集中中趋势和离散散程度的一种种统计方法。。频数分布表测定100只只螺栓的外径径所得到的100个计量量值数据（略略）。频数分布表频数分布表编编制步骤11、从数据中中找出最小值值S和最大值值L。S=11.45L=12.35频数分布表编编制步骤22、决定组数数。m=1+3.3lgn当n=100时时m=1+3.3lg100=1+6.6=7.6≈8频数分布表编编制步骤33、计算组距距。组距h=—————=———————全距组数L-Sm组距尽可可能取为10、5、1、、0.5、0.1、0.05组距h=—————=—————=0.1125≈0.112.35-11.4580.98频数分布表编编制步骤44、求界限值值。在划分界限时时，必须明确确端点的归属属，所以在决决定组的界限限值时，可以以从每一个界界限值上加上上或减去1/2测量单位位。频数分布表编编制步骤55、计算组中中值。各组的下界限限值与上界限限值的平均值值称为该组的的组中值。频数分布表编编制步骤66、统计频数数。落在各组中的的数据的个数数称为频数。。频数分布表编编制步骤77、列频数分分布表。频数直方图以坐标横轴表表示组距，坐坐标纵轴表示示频数，所画画出的矩形图图称为频数直直方图，简称称直方图。外径尺寸11.40511.50511.60511.70511.80511.90512.00512.10512.20512.30512.405频数直方图在质量量管理中应用用1、判断分布布类型产品质量特性性值的分布，，一般都是服服从正态分布布或近似正态态分布。当产产品质量特性性值的分布不不具有正态性性时，往往是是生产过程不不稳定，或生生产工序的加加工能力不足足。因而，由由产品质量特特性值所作的的直方图的形形状，可以推推测生产过程程是否稳定，，或工序能力力是否充足，，由此可对产产品的质量状状况作出初步步判断。根据据产品质量特特性值的频数数分布，可将将直方图分为为正常型直方方图和异常型型直方图两种种类型。正常型直方图图看直方图时应应着眼于图形形的整体形状状，根据形状状判断它是正正常型还是异异常型。正常常型直方图具具有“中间高高，两边低，，左右对称””的特征，它它的形状像““山”，字。。因此，根据据产品质量特特性值的频数数分布所画出出来的直方图图是正常型时时，就可初步步判断为生产产过程是稳定定的。不正常直方图图孤岛型直方图图双峰型直方图图折齿型直方图图绝壁型直方图图孤岛型直方图图在主体直方图图的左侧或右右侧出现孤立立的小块，像像一个孤立的的小岛。出现现孤岛型直方方图，说明有有特殊事件发发生。造成原原因可能是一一时原材料发发生变化，或或者一段时间间内设备发生生故障，或者者短时间内由由不熟练的工工人替班等。。所以，只要要找出原因，，就能使直方方图恢复到正正常型。双峰型直方图图双峰型直方图图是指在直方方图中有左右右两个峰，出出现双峰型直直方图，这是是由于观测值值来自两个总总体、两种分分布，数据混混在一起。往往往是由于将将两个工人或或两台机床等等加工的相同同规格的产品品混在一起所所造成的。折齿型直方图图折齿型直方图图形状凹凸相相隔，象梳子子折断齿一样样。出现折齿齿型直方图，，多数是由于于测量方法，，或读数存在在问题，或处处理数据时分分组不适当等等原因造成。。应重新收集集和整理数据据。绝壁型直方图图绝壁型直方图图左右不对称称，并且其中中一侧像高山山绝壁的形状状，当用剔除除了不合格品品的产品质量量特性值数据据作直方图时时，往往会出出现绝壁型直直方图。此外外，亦可能是是操作者的工工作习惯，习习惯于偏标准准下限，于是是出现左边绝绝壁的直方图图。偏态型直方图图某种原因使下下（上）限受受到限制时，，容易发生““偏左型”（（偏右型）。。平顶型直方图图与双峰型类似似，由于多个个总体、多种种分布混在一一起。直方图与标准准比较对于正常型直直方图，将其其分布范围B=[S，L](S为一一批数据中的的最小值，L为一批数据据中的最大值值)与标准范范围T=[SL，Su]，SL为标准下界限限，Su为标准上界限限)进行比较较，就可以看看出产品质量量特性值的分分布是否在标标准范围内，，从而可以了了解生产过程程或工序加工工能力是否处处于所希望的的状态。为了了方便，可在在直方图上标标出标准下界界限值和标准准上界限值。。直方图在标准准范围内的情情况当产品质量特特性值符合规规定标准时，，其对应的直直方图，必定定在标准范围围之内。符合合规定的直方方图大致有下下面四种类型型：TB

SL(S)(L)

SuTB

SL(S)

(L)

SuTB

SL(S)

(L)SuTB

SL(S)

(L)

Su直方图在标准准范围内的情情况直方图的分布布范围B位于于标准范围T内，旦有余余量;直方图图的分布中心心与标准中心心近似重合，，这是理想的的直方图。此此时，全部产产品合格，工工序处于正常常管理状态。。TB

SL(S)(L)

Su直方图在标准准范围内的情情况直方图的分布布范围B位于于标准范围T内，数据变变化仍比较集集中，但分布布中心偏移标标准中心，并并且直方图的的一侧已达到到标准界限，，此时状态态稍有变化，，产品就可能能超出标准，，出现不合格格品。因此，，需要采取措措施，使得分分布中心与标标准中心重合合。TB

SL(S)

(L)

SuTB

SL(S)

(L)Su直方图在标准准范围内的情情况直方图的分布布范围B没有有超出标准范范围T，但没没有余量。此此时分布中心心稍有偏移便便会出现不合合格品，所以以应及时采取取措施，缩小小产品质量特特性值的分布布范围。TB

SL(S)

(L)

Su直方方图图在在标标准准范范围围内内的的情情况况产品品质质量量特特性性值值的的分分布布非非常常集集中中，，致致使使直直方方图图的的分分布布范范围围B与与标标准准范范围围T之之间间的的余余量量过过大大。。此此时时，，可可对对原原材材料料、、设设备备、、工工艺艺等等适适当当放放宽宽要要求求，，从从而而降降低低生生产产成成本本;或或者者加加严严标标准准，，提提高高产产品品的的性性能能，，以以利利于于组组装装等等TBSL(S)Su(L)直方方图图超超出出标标准准范范围围内内的的情情况况产品品质质量量特特性性值值的的分分布布中中心心向向左左(或或向向右右〉〉偏偏离离标标准准中中心心，，致致使使直直方方图图分分布布范范围围B的的下下界界限限(上上界界限限)超超出出标标准准范范围围T的的下下界界限限(或或上上界界限限)，，因因而而在在下下界界限限(或或上上界界限限)出出现现不不合合格格品品，，此此时时，，应应设设法法提提高高(或或降降低低)产产品品质质量量特特性性值值的的平平均均值值，，使使直直方方图图的的分分布布中中心心向向右右(或或向向左左)移移动动，，从从而而使使直直方方图图的的分分布布范范围围完完全全落落在在标标准准范范围围之之内内。。TB(S)SL(L)Su直方图超超出标准准范围内内的情况况直方图的的分布范范围B超超出标准准范围T，此时时，在标标准上界界限和下下界限都都出现不不合格品品。这种种情况通通常是由由于产品品质量特特性值的的标准差差太大，，这时，，应及时时采取技技术措施施，降低低分布的的标准差差。如果果属于标标准定得得不合理理，可以以放宽标标准范围围。TB(S)SLSu(L)直方图超超出标准准范围内内的情况况直方图的的分布范范围B大大大超出出标准范范围T，，此时已已出现大大量不合合格品，，必须立立即分析析原因，，采取紧紧急措施施;如果果标准允允许改变变，就重重新修订订标准。。TB(S)SLSu(L)直方图的的分层比比较当直方图图出现非非正常的的奇异形形状，特特别是出出现双峰峰型直方方图时，，应将收收集到的的产品质质量特性性值数据据，按某某个条件件，如设设备、操操作人员员、作业业方法、、所用原原材料、、生产环环境等因因素分成成两个以以上的组组，通常常把这样样划分成成的组称称为层，，由此作作出的直直方图称称为分层层直方图图。通过过分层直直方图，，探讨造造成直方方图异常常的原因因，从而而比较不不同设备备、不同同原材料料、不同同操作方方法等对对产品质质量特性性值影响响的差异异。轴承外径径直方图图按按工工人分层层直方图图改改善后的的直方图图直方图的的分层比比较直方图的的缺点※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※0.090.080.070.060.01波动图直方图时间直方图(练习)生产某种种滚珠，，要求其其直径x为15.0±±1.0(mm)，试用用直方图图进行统统计分析析。2000.6.1直方图(练习)1、从数数据中找找出最小小值S和和最大值值L。S=14.2L=15.92、决定定组数。。m=1+3.3lgn=63、计算算组距。。组距h=0.34、求界界限值。。下限值S––h/2=14.155、计算算组中值值。6、统计计频数。。7、列频频数分布布表。直方图(练习)直方图(练习)X14.214.514.815.115.415.716.0频数频数多边边形以坐标横横轴表示示组中值值,坐标标纵轴表表示频数数,所画画出的多多边形图图称为频频数多边边图,简简称多边边图。多多边图的的作法与与直方图图类似,不同的的只是多多边图以以组中值值为横坐坐标,频频数为纵纵坐标,在坐标标平面上上依次标标出各点点的位置置,然后后把相邻邻各点用用直线段段连接起起来,由由此得到到频数多多边形。。外径尺寸寸11.40511.50511.60511.70511.80511.90512.00512.10512.20512.30512.405051015202530频数第二部分分:重要要機率(總體分分配)分分配間斷機率分配配(計數值分分配)超幾何分分配(HypergeometricDistribution)二項分配配(BinomialDistribution)卜瓦松分分配(PoissonDistribution)連續機率分配配(計量值分分配)常態分配配(NormalDistribution)伽瑪分配配(GamaDistribution)貝他分分配(BetaDistribution)偉伯分分配(WeibullDistribution)超幾何何分配配(不不放回回)一、機率分分配之之定義義N：總體之之大小小p：總體不不合格格率n：樣本大大小x：不合格格品數數自含有有N件之產產品中中，以以不放回回法隨機取取出n件產品品，在在此n件中，，含有有不合合格品品件數數為X件之機機率，，即為為超幾幾何分分配。H(x;N,n,p)=(Np)(N(1-p))/(N)二、超幾何何分配配之使使用時時機計數值值抽樣樣檢驗驗，在在製品品或半半製品品之總總體為為有限限個，，尤其其總體體所含含件數數N不多之之情形形，樣樣本中中抽到到的不不合格格品數數依循循超幾幾何分分配。。xn-xn超幾何何分配配之使使用時時機如下面面單次次抽樣樣檢驗驗計算算允收收機率率Pa例。設自N=50件之一一批產產品中中，隨隨機抽抽取10件件加以以檢驗驗，買買賣雙雙方約約定不不合格格品1個或或1個個以下下始予予允收收，如如該批批產品品不合合格率率為0.06，，試求求允收收機率率Pa[Sol]1.1超幾何何分配配(HypergeometricDistribution)超幾何何分配配是用用於描描述在在有限限總體體所觀觀察到到特定定類別別的出出現次次數，如「到貨貨批量量中劣劣品的的件數數」等等。從含含M只劣品品的N只貨批批中，抽出n只樣本本恰有有y只劣品品的機機率是是M,

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)(×××=÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ-=ynyynyf（1）超幾何何分配配累計計函數數F(y)是發生生y件或以以下的的機率率：M,

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,NMM-N

)(y0i×××=÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ÷÷øöççèæ-=å=yniinyF（2）【晶體體電性性】設設某片片晶圓圓上計計有1,000粒晶體，已知晶體體電性不良良率為3.0%，試問從其其中隨機抽抽取100粒樣品檢驗驗之，檢到不良良晶體為0個和1個的機率各各為多少？？不超過1個的機率是是多少？【解】N=1,000，p=3.0%=0.030，n=100Np=1,000×0.03=30(1)求不良品為為0個時之機率率：由公式（1）二項分配使用時機：：1.總體之之批量為無無限多。2.總體之之批量為有有限數，但但取樣係以以放回法。。3.總體之之批量為有有限數，且且N≧10n。機率分配之之形式p：每一個體的的不合格率率n：樣本大小x：不合格品數數1.2二項分配(BinomialDistribution)二項分配是是用於描述述所觀察到到特定類別別的出現次次數，如「到貨或量量產中劣品的的件數」、「保證期間間進修的件件數」、等等。每件樣本都都被視為獨獨立的,並並且有相同同機率p是屬於某特特定類別，則n件樣本中y件屬於某特特定類別的的機率是二二項分配n,

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)(×××=--=-yppynynyfyny（3）式中p是整體中屬屬於某特定定類別的比比率(0≦p≦1)。屬於超幾何何分配的總總體中，如將N無限量增大大時，即從無限限個總體中隨機抽取取n個樣本，這時在樣樣本裡含有有y個不良品的的機率即為為二項分配。當n/N≦0.1時，二項分分配是超幾何分分配的良良好近似似分配。因此，小批量或或個案式式的情境境適用超超幾何分分配，而大批批量、或量產產式的情情境適用二項式式分配；按適用超幾幾何分配配或二項項式分配配，「收驗計畫畫」分稱為為A和B型兩種。【晶圓製製程】設設有一送送驗批，其批量量為100,000個，其不良良率已知知為3%，從其中取取100樣品檢驗驗，若有兩兩個不良良品以上上，則予以以退回。試問該該送驗批通通測機率率為若干干？【解】因n/N=100/100,000=0.001<0.1，故可利利用二項項