《量子力学》课程报告

课程设计：量子力学基本原理分析理解课程设计日的：加深对量子力学基本原理的理解和应用一、 说明量子力学中粒子的状态是用波函数描写德•布罗意根据经典质点力学同几何光学相似这一特点，提出物质波的假说：一个能量为E、动量为P的质点同时具有波动性，其波长人由动量P确定，频率V由能量E确定：E=hvP=hn力从而得出描写自由粒子的平面波：*=人exp巳(pr-Et)]而当粒子受到随时间或位置变化的力场作用时，就不能用平面波描写，只能用较为复杂的波来描写。由微观客体的波粒二象性的分析，我们可以看到，微观客体具有波动性，而且是一种统计意义下的波一一几率波：波在空间某处的强度只确定微观客体以微粒形式出现在该出的几率。在一定时刻t，几率波为空间位置(x,y,z)的函数，我们把该函数写为*3,y,z,t)，称为波函数，几率波的强度与*(r,t)|2成正比。玻恩就此提出了波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。二、 用叠加原理分析双缝干涉实验设*1代表当缝S2关闭时通过缝S1的光子的态，*2代表S1关闭时通过S2的光子的态。在这两种情况下，光子在空间的几率分布分别为|。1|2和忡2|2。当S1和S2两个缝都开着时，光子的态是*是*1和*2这两个态的线性叠加：*=c*1+c*2，式中用和c2是复数。对于一般情况，如果*1和*2是体系的可能状态，则它们的线性叠加：w=。即1+c叩2其中cl、c2为复数也是这个体系的一个可能状态。当双缝都开着时，光子既在w1态，又在W2态，光子在空间的几率分布为：W2=|c1w1+clw2|2=(C]W]*+C2W2*)・(cw1+cw2)=|cwI2+|cwI2+c*cw*W+cc*ww*11 22 1212 12 12上述右边第一项是粒子通过上狭缝出现在屏幕？点的几率密度，第二项是粒子穿过下狭缝出现在屏幕？点的几率密度，第三、四项是w1和w2的干涉项。上式告诉我们：粒子穿过双狭缝在P点出现的几率密度w|2一般不等于粒子穿过上狭缝到达P点的几率密度|c1w1|2与穿过下狭缝到达P点的几率密度|c2w2|2再加上干涉项。在w1和w2两波相叠加的区域中起作用，产生干涉现象。三、建立薛定谔方程薛定谔在德布罗意关于物质波的概念启示下，通过对力学和光学的分析、对比提出了电子的波方程。这样的方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程，还应是线性的，方程的系数不应包含状态的参量。TOC\o"1-5"\h\z由自由粒子的波韩顺方程进一步推广到一般的情况中，自由粒子的波函数方程：w=Aexp[1(pr-Et)] G)方将(1)式对时间求偏微商，得到：迎=-Lew (2)dt 方再将(2)式对坐标求二次偏微商，得到：8叩

dx2A。exp[』(px+py+pz8叩

dx2方2 方xyza叩_p2 a叩By2 力2 ' az2将上述三式相加，得：告+箸+*=V2V=—#w自由粒子的能量和动量的关系式为：E号(4)由二三式得到自由粒子波函数所满足的微分方程:TOC\o"1-5"\h\zav 方2ih—=———V叩 (5)at 2日、方一一*—p*刀人口m a将二三式改与为：Ew=访—V (6) (p•p)w=(—访V)•(—访V)w (7)at由(6)(7)可得能量E和动量P各与下列作用在波函数上的算符相当：E-i方g,P-—i方V这两算符分别称为能量算符和动量算符。at将(4)式两边乘上*，再乘以(8)式，即得微分方程(5)利用(8)式建立力场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中势能为u(r),得粒子能量和动量的关系式：E=2+U(r)2|i上式两边乘以V(r,t)，并将(8)代入，得*(r,t)所满足的微分方程:法理=一至V2*+U(r)V ⑼这个方程称为薛定谔方程。at 2目四、证明动量算符是线性厄密算符动量P对应的动量算符p=—i力V，对于任意的两个波函数*1和V2，用动量算符进彳丁作用：p*1=" p*2=里2对于*1和*2的任意线性组合C1*1+C2*2，p的作用是—ihV(C1*2+C2*2)=-i方C1*1-访C2*2=C帅1+C2中2，满足线性关系。BJw*》做二项BJw*V(p<iT=-沆jjj(Vw)*"u=BJ(-沆VW)*做=金W)*做上式满足厄密算符的关系,所以，动量算符为线性厄密算符。四、分析本征函数的性质1本征值必是实数。证：设入为力学量A的本征值，R为相应的本征函数，则：A|Ll=X|Ll做内积：(|Ll，A|Ll)=(|Ll,k|Ll)(|Ll'|Ll) (1)取复数共辄：由厄密算符得：(孔和)=如|Ll,|Ll)与式(1)比较得入二人*，故本征值人为实数。2分属于不同本征值的本征函数正交A|Lil=Xl|Lil,A|li2=X2|li2而人lu人2，贝ll(pl,|li2)=j|Lil*|Li2&=0做内积：32,即1)=入(|12,以)八(|Lll,A|Ll2)=枷1") (1)小2,抑1)*以*(妃,Pl)取复数共轨得：(Apil,pi2)=X(pil,pi2)1(pl,