2023年全国初中数学竞赛试题-6

2004年全国初中数学竞赛试题一、选择题:1、实数a≠b，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。那么b+a的值为〔〕A、23;B、-23;C-2;D-132、假设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，那么有〔〕A、ab=h;B、+=;C、+=;D、a2+b2=2h23、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为〔4，-11〕，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，那么a、b、c中为正数的〔〕A、只有a;B、只有b;C、只有c;D、只有a和b4、如下图，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。假设△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，那么△CFG的面积S=〔〕A、6;B、8;C、10;D、125、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0，那么x+y等于〔〕A、3;B、;C、;D、4-二、填空题:6、如下图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=600，那么∠EDC=_____________〔度〕。7、据有关资料统计，两个城市之间每天的通话次数T与这两个城市的人口数m、n〔单位：万人〕以及两个城市间的距离d〔单位：km〕有T=的关系〔k为常数〕。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如下图，且A、B两个城市间每天的通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的次数为次〔用t表示〕。8、实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，那么(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=。9、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC〔BC＞AD〕，∠D=900，BC=CD=12，∠ABE=45，假设AE=10，那么CE的长度为。10、实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，那么z的最大值是.三、解答题:11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x〔分钟〕变化的函数图象如下图〔y越大表示学生注意力越集中〕。当0≤x≤10时，图象是抛物线的一局部，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。〔1〕当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；〔2〕一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。12、a、b是实数，关于x、y的方程组有整数解，求a、b满足的关系式。13、D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP=∠ACB，求的值。14、a＜0,b≤0,c＞0,且=b-2ac,求b2-4ac的最小值。数学奥林匹克竞赛题：例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个局部？

此问题的变例〔即特殊情况〕：

变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？

变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？

对变例2，我们首先猜想其结论：

令S1，S2，……，Sn分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，那么有

S1=2=1+1

S2=4=1+1+2

S3=7=1+1+2+3

S4=11=1+1+2+3+4

……Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n

∴当n=100时，有S100=1+〔100+1〕·100=5051〔块〕

解：设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，那么有bn=n+1.

设an-1为平面被符合条件的n-1条直线分割成的局部数，那么当平面上插入符合条件的第n条直线时，前n-1条直线与第n条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的局部为两个局部，于是，有：

an=an-1+bn-1〔n＞1，n∈N〕

又：bn-1=n

∴an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=……=n+(n-1)+(n-2)+……+2+a1又：a1=2=1+1

∴an=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1+1例2.有10级台阶，小王从下向上走，假设每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？解：考虑更一般的情况：在同样条件下走n级台阶，情况如何？

设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。假设第一次走一级，那么余下的n-1级有an-1种走法；假设第一次走两级，那么余下的n-2级有an-2种走法。

∴an=an-1+an-2(n＞2，n∈N)

显然a1=1，a2=2

∴a3=a1+a2=3

a4=a3+a2=5

a5=a4+a3=8

a6=a5+a4=13

a7=a6+a5=21

a8=a7+a6=34

a9=a8+a7=55

a10=a9+a8=89思考题：用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？解题新思路：

探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的：例：如图〔1〕在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.

求证：EF=FB分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：证明一：如下图，作BQ∥AD,交DF延长线于Q点，那么四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证△CEF≌△QBF,得证EF=FB.证明二：如左图所示：作FM∥DA交AB于M，那么四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证.证明三：作CN∥EB交AB于N，那么四边形CNBF是□，从而CN=FB.

再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF，即EF=FB.证明四：作DP∥FB交AB于P，证明△ADP≌△CEF，从而得出结论.证明五：延长EC交AB于G，那么四边形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中点.又CF∥GB，∴F是EB中点，结论得证.证明六：连结AE交CD于O点，那么O是AE中点，又OF∥AB，∴F是AB中点，得证.证明七：延长ED交BA延长线于H点，那么HACD是□,∴CA=DH=ED

∴D是EH中点.又DF∥HB∴F是EB中点，得证.证明八：作ES∥CD交AD延长线于S，那么CDSE是□∴DS=CE=AD∴D是AS中点.又SE∥CD∥AB∴F是EB中点，得证.证明九：在证明一作的辅助线根底