2023年全国考研数学三真题

2023年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷?数学三?试题一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，与是等价无穷小，那么()(A)k=1,c=4(B)k=1,c=4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=4(2)函数在x=0处可导，且=0，那么=()(A)2(B)(C)(D)0.(3)设是数列，那么以下命题正确的是()(A)假设收敛，那么收敛(B)假设收敛，那么收敛(C)假设收敛，那么收敛(D)假设收敛，那么收敛(4)设，，，那么的大小关系是()(A)(B)(C)(D)(5)设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，，那么=()(A)(B)(C)(D)(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，那么的通解为()(A)(B)(C)(D)(7)设,为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，那么必为概率密度的是()(A)(B)(C)(D)+(8)设总体X服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本，那么对于统计量和，有()(A)>,>(B)>,<(C)<,>(D)<,<二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设，那么.(10)设函数，那么.(11)曲线在点处的切线方程为.x2y10(12)曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为.x2y10(13)设二次型的秩为1，中各行元素之和为3，那么在正交变换下的标准形为.(14)设二维随机变量服从正态分布，那么=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)求极限(16)(此题总分值10分)函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，.求(17)(此题总分值10分)求不定积分(18)(此题总分值10分)证明方程恰有两个实根.(19)(此题总分值10分)设函数在区间具有连续导数，，且满足,，求的表达式.(20)(此题总分值11分)设向量组，，不能由向量组,,线性表出.(I)求的值；(II)将，，用，，线性表出.(21)(此题总分值11分)为3阶实对称矩阵，的秩为2，且(I)求的所有特征值与特征向量;(II)求矩阵.(22)(此题总分值11分)设随机变量与的概率分布分别为XPY1P且.(I)求二维随机变量的概率分布；(II)求的概率分布；(III)求与的相关系数.(23)(此题总分值11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域.(I)求的概率密度；(II)求条件概率密度.2023年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷?数学三?试题一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)答案：(C)解：此题涉及到的主要知识点：当时，在此题中，，应选择(C).(2)答案：(B)解：此题涉及到的主要知识点：导数的定义在此题中，故应选(B)(3)答案：(A)解：此题涉及到的主要知识点：级数的根本性质假设级数收敛，那么不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在此题中，由于级数是级数经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当收敛时，也收敛，故〔A〕正确.(4)答案：(B)π/4解：此题涉及到的主要知识点：π/4如果在区间上，，那么在此题中，如下图：因为，所以又因在是单调递增的函数，所以即.选〔B〕.(5)答案：(D)解：此题涉及到的主要知识点：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在此题中，由于将的第2列加到第1列得矩阵，故即由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故即故因此，应选(D)(6)答案：(C)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕如果，是的两个解，那么是的解；〔2〕如元线性方程组有解，设是相应齐次方程组的根底解系，是的某个解，那么是的通解〔或全部解〕，其中为任意常数.在此题中，因为是的3个线性无关的解，那么，是的2个线性无关的解.从而，即显然，因此由，知〔A〕〔B〕均不正确.又，故是方程组的解.所以应选〔C〕.(7)答案：(D)解：此题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度的性质：在此题中，由于与均为连续函数，故它们的分布函数与也连续.根据概率密度的性质，应有非负，且.在四个选项中，只有〔D〕选项满足应选〔D〕.(8)答案：(D)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕泊松分布数学期望，方差〔2〕，，，〔与相互独立〕在此题中，由于独立同分布，且，，从而，故又，，应选〔D〕.二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)答案：解：此题涉及到的主要知识点：重要极限公式在此题中，所以有.(10)答案：解：用对数求导法.两边取对数得，故，令，，得，，从而(11)答案：解：方程变形为，方程两边对求导得，在点处，从而得到曲线在点处的切线方程为.x2y1x2y10解：此题涉及到的主要知识点：设有连续曲线，那么曲线与直线，及轴围成的平面图形绕轴旋转一周产生的旋转体的体积在此题中，(13)答案：解：此题涉及到的主要知识点：任给二次型，总有正交变换，使化为标准形，其中是的矩阵的特征值.在此题中，的各行元素之和为3，即所以是的一个特征值.再由二次型的秩为1是的2重特征值.因此，正交变换下标准形为：.(14)答案：解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕如果随机变量和的相关系数，那么称与不相关.〔2〕假设随机变量与的联合分布是二维正态分布，那么与独立的充要条件是与不相关.〔3〕如果随机变量与相互独立，那么有在此题中，由于服从正态分布，说明，独立同分布，故与也独立.由期望的性质有，又，，所以三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)解：此题涉及到的主要知识点：当时，在此题中，(16)(此题总分值10分)解：此题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件设在点具有偏导数，且在点处有极值，那么必有，.在此题中，为的极值(17)(此题总分值10分)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕，；〔2〕；〔3〕.在此题中，令,,，其中是任意常数.(18)(此题总分值10分)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕零点定理设函数在闭区间上连续，且与异号〔即〕，那么在开区间内至少有一点，使〔2〕函数单调性的判定法设函数在上连续，在内可导.①如果在内，那么函数在上单调增加；②如果在内，那么函数在上单调减少.在此题中，令，当时，，单调递减；当时，，单调递增..当时，单调递减,,；当时，单调递增,,是函数在上唯一的零点.又因为且由零点定理可知，，使,方程恰有两个实根.(19)(此题总分值10分)解：此题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程的通解.在此题中，因为，令，那么.两边对求导，得,解齐次方程得由，得.所以函数表达式为.(20)(此题总分值11分)解：此题涉及到的主要知识点：向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是(I)因为，所以线性无关.那么不能由线性表示线性相关，即，所以(II)如果方程组都有解，即可由线性表示.对作初等行变换，有=故，，(21)(此题总分值11分)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕为矩阵A的特征值，为对应的特征向量〔2〕对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.〔I〕因知，所以是的特征值.又，，所以按定义是的特征值，是属于的特征向量；是的特征值，是属于的特征向量.设是属于特征值的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此解出故矩阵的特征值为；特征向量依次为，其中均是不为0的任意常数.(II)由，有.(22)(此题总分值11分)解：此题涉及到的主要知识点：〔1〕协方差〔2〕相关系数(I)设的概率分布为YX-10101/312/31/31/31/3根据条件，即，可知，从而，，即的概率分布为XXY-10101/30101/301/3(II