高中数学 2.4.3《二次函数的最值问题》 北师大必修1

二次函数的最值2023/1/17.二次函数的最值问题重点掌握闭区间上的二函数的最值问题难点了解并会处理含参数的二次函数的最值问题核心区间与对称轴的相对位置思想

数形结合分类讨论

2023/1/17.复习引入

顶点式:y=a(x-m)２+n(a0)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)一般式:y=ax2+bx+c(a0)=a(x+)2+a>0时开口向上

x=-ymin=a<0时开口向下x=-ymax=

这些你都记得吗?2023/1/17.

新课一、闭区间上的二次函数的最值对于任意的二次函数如f(x)=a(x-m)2+n(a>0)时在区间[h,k]上的最值问题则有：1、若m∈[h,k]则ymin=n;ymax=max｛f(h),f(k)｝如下图：mhknhkm2023/1/17.2、若m[h,k]则ymin=minf(h),f(k);ymax=maxf(h),f(k)如下图：

思考题:二次函数如f(x)=a(x-m)2+n(a<0)时在区间[h,k]上的最值又如何呢?hkmhkm2023/1/17.1.若m∈[h,k]则ymax=n;ymin=min｛f(h),f(k)｝如下图：mhkhkmnhkmhkm2、若m[h,k]则ymax=max｛f(h),f(k)｝;ymin=max｛f(h),f(k)｝如下图：2023/1/17.即当x=-1时ymin=-4;当x=2时ymax=f(2)=5练习1求函数y=x2-2x-3且x[0,3]的最值？例题1已知函数y=x2+2x-3且x[-2，2],求函数的最值？解析：函数配方有y=(x+1)2-4如右图2023/1/17.例题2已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],求函数的最值？

解析：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4因为x[0，2]如右图则ymax=f(0)=0+0+3=3ymin=f(2)=-4-4+3=-5练习2求函数y=-x2+2x+3且x[0,2]的最值？2023/1/17.二、含参变量的二次函数最值问题

解析：因为函数y=x2+2ax+3=（x+a)2+3-a2的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a是否在区间[-2，2]之内，则从以下几个方面解决如图：1、轴动区间静2、轴静区间动例3：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的最值？2023/1/17.ⅠⅡⅢⅣ-a2023/1/17.Ⅱ当-2＜-a≤0时f(x)max=f(2)=7+4a(0≤a＜2)f(x)min=f(-a)=3-a2

Ⅰ当-a≤-2时f(x)max=f(2)=7+4a(a≥2)时f(x)min=f(-2)=7-4aⅢ当0＜-a≤2时f(x)max=f(-2)=7-4a(-2≤a＜0)f(x)min=f(-a)=3-a2

Ⅳ当-a＞2时f(x)max=f(-2)=7-4a(a≤-2)f(x)min=f(2)=7+4a则由上图知解为:2023/1/17.

例4求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]的函数的最值?解析:

因为函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称轴为x=1固定不变,要求函数的最值,即要看区间[k,k+2]与对称轴x=1的位置,则从以下几个方面解决如图:2023/1/17.X=1kK+22023/1/17.则由上图知解为:当k+2≤1(k≤-1)时f(x)max=f(k)=k2-2k-3f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3当k＜1＜k+2时f(x)max=max｛f(k),f(k+2)｝(-1＜k＜1)f(x)min=f(1)=-4当k≥1时f(x)max=f(k+2)=k2+2k+3f(x)min=f(k)=k2-2k-3

2023/1/17.例5求函数y=x2-2x-3在x∈[-3,m]函数的最值?解析:因为函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称轴为x=1固定不变,要求函数的最值,即要根据具体的区间[-3,m]与对称轴x=1的位置,则从以下两个方面解决如图:2023/1/17.m2023/1/17.则由上图知解为:Ⅰ当-3＜m≤1时f(x)max=f(-3)=12f(x)min=f(m)=m2+2m+3

Ⅱ当1＜m时f(x)max=max｛f(-3),f(m)｝f(x)min=f(1)=-4练习3求函数y=x2-2ax-3在x∈[0,3]的最值？

练习4求