不定积分及其计算

会计学1不定积分及其计算第五章一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.

熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.

了解利用建立递推关系式求积分的方法.

理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.

熟悉牛顿—莱布尼兹公式.

理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.

能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第1页/共60页第五章一元函数的积分学第三节不定积分及其计算一.不定积分的概念二.不定积分的计算第2页/共60页定义一.不定积分的概念第3页/共60页每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.第4页/共60页不定积分与定积分是两个不同的概念.

请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述.第5页/共60页二.不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法部分分式法第6页/共60页1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.第7页/共60页性质1第8页/共60页性质2第9页/共60页例1解第10页/共60页例2解绝对值第11页/共60页例3解利用加一项、减一项的方法.第12页/共60页例4解?利用加一项、减一项的方法.第13页/共60页例5解部分分式法第14页/共60页例6解第15页/共60页例6解第16页/共60页例7解想想它是谁的导数？怎么做？利用平方差公式第17页/共60页例8解第18页/共60页例9解第19页/共60页2.不定积分的换元法

利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.

现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.第20页/共60页(1)不定积分的第一换元法看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?第21页/共60页定理该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!第22页/共60页例10解第23页/共60页例11解第24页/共60页第25页/共60页第26页/共60页例12解第27页/共60页例13解第28页/共60页例14解第29页/共60页例15解第30页/共60页例16解第31页/共60页例17解第32页/共60页例18解第33页/共60页例19解第34页/共60页例20解第35页/共60页例21解第36页/共60页例22解第37页/共60页例23解第38页/共60页(2)不定积分的第二换元法第39页/共60页定理第40页/共60页证第41页/共60页例24解第42页/共60页第43页/共60页例25解第44页/共60页第45页/共60页第46页/共60页例26解第47页/共60页例27解第48页/共60页例28解第49页/共60页第50页/共60页例29解第51页/共60页第52页/共60页例30解第53页/共60页第54页