布莱克斯科尔斯期权定价模型

会计学1布莱克斯科尔斯期权定价模型22023/1/18期权定价采用相对定价法利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。6.1证券价格的变化过程第1页/共55页32023/1/18弱式效率市场假说与马尔可夫过程

1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说,该假说认为:投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程第2页/共55页42023/1/18效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。

弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。

第3页/共55页52023/1/18弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性”，其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。也就是，通过历史数据不能预测未来B-S模型假设标的资产的价格服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。第4页/共55页62023/1/18二、布朗运动根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，该特性可以采用维纳过程（布朗运动），它是马尔科夫过程的一种。（一）、标准布朗运动对于随机变量w是标准布朗运动，必须具有两个条件：在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段Δt满足第5页/共55页72023/1/18（6.1）2.

在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（6.2）有效市场第6页/共55页82023/1/18满足上述两个条件的随机过程，称为标准布朗运动，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足第7页/共55页92023/1/18证明：第8页/共55页102023/1/18在连续时间下Δt→0，由（6.1）和（6.2）得到（6.3）（6.4）所以，概率分布的性质以上得到的随机过程wt，称为维纳过程。第9页/共55页112023/1/18（二）普通布朗运动

先引入两个概念：漂移率（DriftRate）是指，单位时间内变量z均值的变化值。方差率（VarianceRate）是指，单位时间的方差。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量xt的普通布朗运动：（6.4）其中，a和b均为常数，dw遵循标准布朗运动。第10页/共55页122023/1/18从式（6.1）和（6.4）可知，在短时间后，x值的变化值为：因此，Δxt也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。第11页/共55页132023/1/18一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程三、伊藤过程第12页/共55页142023/1/18B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（6.6）证券的预期回报与其价格无关。证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率）证券收益率单位时间的标准差，简称波动率四、证券价格的变化过程第13页/共55页152023/1/18伊藤引理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的变动过程可以表示为（6.7）五、伊藤引理第14页/共55页162023/1/18证明：将（6.7）离散化由（7.1）知利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为（6.8）第15页/共55页172023/1/18在连续时间下，即因此，（6.8）可以改写为（6.9）从而第16页/共55页182023/1/18即Δx2不呈现随机波动！（6.10）第17页/共55页192023/1/18由（6.10）可得（6.11）由（6.11）得到（6.12）第18页/共55页202023/1/18

由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当Δt→0时，由（6.9）可得■第19页/共55页212023/1/18若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即六、几何布朗运动与对数正态分布lnST的标准差与T-t的平方根成比例第20页/共55页222023/1/18令则这样由伊藤引理得到即证：第21页/共55页232023/1/18由（7.1）对两端积分：第22页/共55页242023/1/18则称ST服从对数正态分布，其期望值为第23页/共55页252023/1/18例6.2设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例6.3请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？

第24页/共55页262023/1/186.2B-S期权定价模型Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设9个无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；期权为欧式期权证券交易是连续的，价格变动也是连续的；第25页/共55页272023/1/18无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率不存在无风险套利机会允许卖空标的证券标的资产为证券，其价格S的变化为几何布朗运动第26页/共55页282023/1/18B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式第27页/共55页6.2.1B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为第28页/共55页302023/1/18

考虑组合：δ份的标的资产多头+1个单位的衍生证券空头由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（△w）影响，若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。且δ满足则该组合的价值为第29页/共55页312023/1/18下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内价值变化为：注意到此时Δπ不含有随机项w，→该组合是无风险的，第30页/共55页设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则整理得到第31页/共55页B-S微分方程的意义衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。第32页/共55页6.2.2B-S买权定价公式

对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为N(x)：标准正态分布变量的累计概率分布函数（小于x的概率）（6.21）第33页/共55页352023/1/18pr0dN(d)例如:当d＝1.96时,N(d)＝97.5%第34页/共55页（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St，则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导第35页/共55页比较上两式，得到根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。第36页/共55页（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为第37页/共55页392023/1/18B-S模型的意义N(d2)：在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率。Xe-r(T-t)N(d2)：X的风险中性期望值的现值。

StN(d1)=e-r(T-t)ESTN(d1)：是ST的风险中性期望值的现值。第38页/共55页402023/1/18其次，是复制交易策略中股票的数量，StN(d1)就是资产的市值,-Xe-r(T-t)N(d2)则是复制交易策略中负债的价值。假设St>x，τ→0,则两个N(d)→1，看涨期权肯定会被执行，此时看涨期权价值为St-Xe-r，与远期合约的价值相似。执行后，获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了X的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数。第39页/共55页412023/1/18在标的资产无收益情况下，无收益资产美式看涨期权的价值C=c。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可得无收益资产欧式看跌期权的定价公式：

（6.22）由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。

欧式看跌期权的价值第40页/共55页422023/1/186.2.3有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式在收益已知情况下，把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分(无风险部分)一个有风险部分。当期权到期时，现值部分将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，直接套用公式（6.21）和（6.22）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。从理论上说，风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率,有风险部分的波动率近似等于整个证券价格波动率乘以S/(S－I)，这里I是红利现值。为方便起见，假设两者相等。第41页/共55页432023/1/18当标的证券已知收益的现值为I时，只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。

当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。

第42页/共55页442023/1/18对于欧式期货期权，其定价公式为：

（6.23）（6.24）其中：第43页/共55页452023/1/18例6.4假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。

3.05美分。第44页/共55页462023/1/18（二）有收益资产美式期权的定价1．美式看涨期权

当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，用一种近似处理的方法:先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。第45页/共55页472023/1/18例6.5假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。解：1.

看该期权是否应提前执行。不能提前执行的条件是：由于D1=D2=1.0元，则对第一次除权日，有对第2次除权日，有第46页/共55页482023/1/182.

比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：

S=50-1.8716=48.1284，代入式（6.23）得：N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224第47页/共55页492023/1/18对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：S=49.0408元由于c11>c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元第48页/共55页502023/1/182．美式看跌期权

由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。第49页/共55页512023/1/18第三节布莱克——舒尔斯期权定价公式的实证研究和应用

一、布莱克——舒尔斯期权定价公式实证研究

布莱克—舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；高估实值期权的