第四章冲量与角动量

质点动力学---冲量、动量与角impulseMomentumandAngular本章研究力在时间上的累积力在时间上的累积平动冲量，改变转动冲量矩，改变角

航空航天大1质点动力学---冲量、动量与角impulseMomentumandAngular本本部分三、质点系动量守恒六、变质量动力学

航空航天大总 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa1、质点冲量(impulse)定义:作用在质点上的外力dIdIF元冲量t1—t2时间内,外力作用在质点上的冲量为 tIt

F航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa2

tIt

F矢量性:冲量是一矢量,其方向和力方向相同,对应性:冲量和力是对应的冲量的计算航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa当力为恒力

I

rttrt当力为变力,用分量算当力作用时间很短,用中值定理有航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofarrr3、质点动量(momentum)定义4、讨

Pm矢量性:动量是矢量,方向与速度相同动量是动力学状态量:动量与速度对应动量的计算：用分量算航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofarr推

由牛

dF mvd

ddIdIFdtrrr---动量定理(微分形式rrItrFdtPPmvrrrr212mv1---动量定理(积分形式航空航天大学 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa t

讨

It

FdtP2P1mv2mv矢量性和I~P计算: 定理是矢量式,冲量方向与Ixmvx2Iymvy2Izmvz2mvz1

注:冲量与动量的增量对应,

航空航天大例例一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa I~P计算:常用动量定理计算

Imv2I~P计算:动量定理方便于算平均冲 ，跳t2等F平均冲力F

F tt2t 不仅适用于宏观物体的机械运且适用于分子原子及其它微观粒子例航空航天大例

例 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa动量的相对性与 t

m It

FdtP2

v2mv问:质点动量定理是否因惯性系选择不同而不同或动量定理是否在任何惯性系都成立答：不会！这可从以下两点来说明间接说明:因力是客观的,不因坐标系选择不同而不同,时间是绝对时空观,故左边航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa直接说明

tIt

Fdt1

mv mv说明:速度的相对性因两矢量相加而消掉,故动量的改变量不因坐标系选择不同而不同,与坐标选择无关,故动量定理在任何惯性系中都成但要求物理量在同一惯性参照系中跳应航空航天跳应 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例1：台高y0小球质量,人以/行走,人同一方向0/水平抛出,球落地后重新跳起,到最大高度y0/时,相对地水平v0/2,求:球与地碰撞过程,小球所受的垂直冲量。答：选球(质量不变)为对象,如图选航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa注:速度量必须相对同一参照系,若同时取相对人的速度,结果一样(负号表示Ix和v0或x反向航空航天大 返 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例2、小球以v在环内作匀速圆周运动,已知R、m,环固定在光滑水平面内,求:小球从A点运动解：法一：用冲量定义QvRdRdt 航空航天大 一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa法二：用质点动量定理

航空航天大学返返返返一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例3：已知:篮球质量m=0.58kg,从h=2.0m高度下落,到达地面后,以同样速率反弹,触地时间=0.019s,求:地面所受到的平均冲力。解：篮球到达地面的速率为

冲力方向篮球触地前后动量改变大小 P 地对

返守返航空航返守返一、冲量、动量和质点动量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa动量定理的应用逆风行舟原理首航空航天大首 二、质点系动量定r(theoremofmometumofasystemofr1对质点系Fi为第i个质点受,第j个质点的内力r对第i个质点

(Fifij)dtd j 对质点系

(Fifij)dtd由牛三

fij ji

j 0(fij)dt j航空航天大学 二、质点系动量定(theoremofmometumofasystemof 令：FiFPir r IrF外dtrP或rFd则得──质点系动量定理(微分形式 t2 积分得：I外t F外dtP2P1──质点系动量定理(积分形式航空航天大学 二、质点系动量定(theoremofmometumofasystemof t

2

I外

F外dt

P1P含义:系统所受合外力总冲量系统总动量的增量,质点系动量定理处理问题可避开内力,较方便。矢量性和I~P计算质点系动量定理是矢量式,计算可用分:动量的相对性与质点系动量定理的不变航空航天大

二、质点系动量定(theoremofmometumofasystemof例4、料斗以每秒2吨流量为运动车箱装砂,若不计其它阻力,欲使车箱保持速度v=10m/s不变,求:需加多大外力F?解:选砂+车箱为系统,t时刻:车质量M(含砂),速度v,动量Mv;t+t时刻:由质点系动量定 IFt(MM)vMvMvr

r210

10r

210

r0(N t

航空航天大 二、质点系动量定(theoremofmometumofasystemof例5:如图,光滑水平面上的三个质点用的柔软轻绳相连并拉直,沿m2m3方向的冲量Im1m2m3系统由动量定理分量式1Im11cosm22cos 10m11sinm22

绳不可伸长:2cos 2cos()联立解得

Im2m2(m1m2m3)m1m3sin2首航空航天大首例-5-动量定 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles1、推

t

I外

F外dt

P2P1P由质点系动量定理:在一过程中,若质点系所受合外 I0则P2P1或P常矢----质点系的动量守恒航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles t 2

I外

F外dt

P2动量守恒条件:当系统合外力=零时(不是合外力冲量=0),系统总动量守恒,因动量守恒是对整个过程,影响系统总动量的改变仅仅是外力内力只影响构成系统的各个质点的动量分配动量定理及动量守恒定律只适用于航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles守恒方程是矢量式若系统总动量不守恒,系统某方向上合外力=零,则该方向上分动量守恒在一些实际问题中,当外力<<内力,它在宏微观领域、低高速范围均适用,是关于

航空航天大

例 例 例 例 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles桌面上运动,A动量为PA=P0-bt(P0,b为常数),求:(1)解：因A+B系统在水平面内无外力,故水平方向动量守恒：PA+PB=t=0时 PB0= PA0=P0-b*0=故有PBPA0-PAP0-(P0-btb PA0=P0+b*0=故有PBPAP0+b航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles例7、船质量M,长L,一量m,起初人和船都静止,当人由船尾走到船头时,求:人和船分别相解：人+船系统,水平方向外水平方向动量守恒:0mv人地Mv船m(v'人船v船地Mv船地航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticlesv船地 v'人 t dtt

t t 船

mMt x

m mM

行走方向 x人地L人船x船地 M返航空航天大返 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles例8、物块A质量M,放于光滑斜面C上,C固定,A由静止从顶点下滑L距离到达B点时,有一,质量m,以水平速度v0射入A物块并陷入其中,求:射入物块后两者解：第一过程:由顶点B第二过程 与物A相碰,对m+M系统航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles实际是斜面方向的返航空航天大返 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles花板上,m=10克,以速度v0=500m/s,水平射穿物体,穿出时速度大小v=30m/s,设时间极短,求:(1)刚穿出时绳中张力,(2)在过程中所受冲量解:(1)对m+M系统,在x方向合外力=0,水平方向动量守恒mv00mvmMvm(vv)3.13(m/ 航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles( 时间极短),选M对象，用牛vMQTMgMM MLM 26.5(NL) ImFtmvmimv0i4.7i负号表示Im和v0

航空航天大 三、质点系动量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles平动(translation):质点动量定理及动量守恒定律---基于力的时间累积力的冲量)研究:相同两球组成的质点系,两说明仅用动量描述物体机械运动是不够的,转动(Rotation):质点角动量(定理)及角动量守恒定律---基于力矩的时间累积效应(力矩的冲量,即冲量矩)。航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa1、有心力圆周 解决方法：牛顿运动定律(瞬时对应性)冲量矩和角动量(累积效应)航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofao2、力矩(回顾Torque,o定：

Mr)为一矢量,计算用叉乘力矩：为力F对固定点O航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa3、角动量(动量矩angularmomentum定义:t时刻,质点m对定O的矢径为r,动量为P=mv则t时刻,质点m对定点O的角动量定义为 理解

LrPr(mv角动量为一矢量,计算用叉乘L大小L=rPsin=rmvsin,L单位:航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa:如：质点作匀速率圆周运动时角动量的大小和方向均不变L=mvR,方向如图,它是相对对比:同一质点具有同一动量,所以在说明质点角动量时,必须

航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例10、如图质量m的质点,以速度v沿一与原点相距b的直线(位于xo平面,)运动,求:质点对o。r如,根据r定 Lr

P

mLmvrsink可见:沿直线运动的质点对不在此直线上的点仍航空航天大

回例 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例11、火箭质量105g以500/s速率沿水平x方向飞行,它的高度y=10k,距地面原点的水平距求:。解

Lmvxyk5航空航天大例11-计 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa动,求:(1)此摆所受的对铰链的力矩,(2)此摆对铰解:(1)因摆所受力为rM[rmgsin2rmgsin(450)] Mrmg(2sincos)

方向y向,航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa r

QLrmvrL(rmvAsin900 2rmvBsin900)QvArvB

rL3mr

ddt

方向向纸里,即y航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa4、质点角动量(theoremofangularmometumofa航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa Md

Mdtd---质点角动量定理微分若力矩作用一段有限时间(t1t2),则冲量

t MdtL2L

t---质点角动量定理积分航空航天大四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofat

MdtL

L1含义：质点所受冲量矩等于质点角动量的增量,式中力矩是质点所受合外力矩。冲量矩方向和角动量的增量方向相同,航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofatttt Mdt2r1ttrFrttrFrr外dt21动量来学习动量来学习rPLrPr

r

t0Fdtt

t0t质点角动量定理只适用于惯性系航空航天大学 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa5、质点角动量守恒（lawofconservationofangularmomentumofaparticle推导

t2 MdtL2由角动量定理,若质点所受合力矩为零,则质点的角动量不随时间改变,即若M0,则若M0,则L2L1或L常矢量──质点角动量守恒航空航天大 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofat

MdtL2L角动量守恒条件:当质点合外力矩=零时(不是合外冲量矩 FrM

F过O点有心力(中心力但在此只讨论定轴转应用范围:角动量守恒律是物理学的基本定律之一,在宏微观领域、低高速范围均适用。

航空航天大

四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa应用:仅受中心力作用的质点对力心的角动量守恒即L=mvrsin=const.---说明行星不会掉 勒第一定律(几何平面定律 勒第二定律(面积定理):由 勒第三定律(对1,2定律的补充):航空航天大 例1(吴百诗P214~215例6.11~62四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例13:已知m0MR(以地球为参考系,小行星或飞行器离地球b较近).求:行星的俘获截面Sb2。mbmRb

b

m,M系统机械能守恒 1

1

02

2

首首bbR1R02

航空航天大

例

回 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例14:将现在的质量记为M0,地球园轨道半径记为R0,角速度记为0,经一年辐射,质量损耗记为M(M<<M0),地球轨道仍近似为园,求:一年后地球轨半径R和角速度,答案中不可含题文未给出的物理常解:由牛二

m2R

M R

2GM0R0

(MM

(MM

m2RG 2G R R RL

mR2mR2

R 代入(2)

0)

(M0M)

2R 0R

R航空航天大

G(M0M 四、质点角动量(定理和守恒定律（angularmomentumofa2R M R0(1 G(M0M)(M0M M(5)代入

(M0M)

)2(12 MMM MMM 2GM

(3)

R (4) RRR RR0

G(M0M航空航天大 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-1、质心位置2、几种系统的3、质心运动定理(theoremofmotionofcenterof质心系质点系的复杂运质心系的基本首航空航天大首 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-rrc rrc mmr质心位置直角坐标表示

航空航天大

五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-2、几种系统的两质点质心位置满足：m1r1m2 连续 rC xx yy zz 均匀杆、圆盘(环)和球的质心是其几何中航空航天大

五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of- m

注意

rc m

m1r1=m2对确定的系统,质心位置只决定于质点系的质坐标系选取不同所求质心坐标的数值不同,但质心相对质点系的位置是不变的.质心处不一定真的有质点存在质心和重心是两个不同的概念,只有小线度物体(g的质心和重心(点)

航空航天大 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-例15:从半径R的均质圆盘上挖掉一半径r的小圆盘,两圆盘中心O和O’相距d,且(d+r)<R,求:挖将该系统视为挖掉两小圆盘剩余部分和虚小圆盘的组合c2rc2R2rxCdxCd(R/r)2航空航天大

五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-3、质心运动定理(质心动量变化定理

r

dmvcrmvcrrvcmiri/dtmr mmmvcmivii说明:质点系的总动量等于该质点系的质量与质心速度的乘积,即等于质心动量。航空航天大

五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of- dP 由牛

系 (mv)

macFdtFdtrdr即质点系质心的运动,可看成一个质点的即质点系质心的运动,可看成一个质点的运动,航空航天大 F质点系质心的运动状态完全决定于质点系所 的焰火等)。由质心运动定理知 特殊情况为

当F外mvc航空航天大 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-质心在此质心系质心系定义:固质心在此质心系问：质心系一定是惯性系吗 答：质心系不一定是惯性系

F它是相对一个惯性系作平动的参考系问：质心系何时是惯答：只有合外力=0时质心系才是惯性系--两体问题航空航天大 各质点相对于质心的运动五、质心、质各质点相对于质心的运动（centerofmass、theoremofmotionof质点系的复杂运动的质点系复杂运动常用质心系质点系运动质心运动＋相对质心的后者是质点系运动质心运动＋相对质心的这样处理问题较方便,在讨论天体运动及碰撞等问题时常用航空航天大 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-如图:两粒子碰撞。系统只有两个质点,系统总动量=质心动mvcmvcrr系mvcrr 故两粒子在质心系中总是具有相反回航空航天大学回 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-质心系的基本r因系统总动量=质心动量 Pr)故质心系中系统总动r)

mvr系'

mivi'(mi

vc'回回

航空航天大

五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-例16、船质量M,长L,一量m,起初人和船都静止,当人由船尾走到船头时,求:人和船分别相人+船系统,水平方向外力=零水平方向质心速度不变—质心xmx人地

m

船mmx人地

船 )

船 人 人航空航天大 五、质心、质心运动（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-QM 船

船地

x人地Mxmxx船地

mM

行走方向x人地L

x船地

mM回航空航天大回 六、变质量动力学变质量动力学一般分两类一类是相对论中给出的物体质量随运动速度一类是物体运动时有部分质量从物体中分离出去或并入进来.在此简单介绍第二类,且以火箭为航空航天大 六、变质量动力学现代火箭理论的奠基人 科学家齐奥尔科夫斯r火箭 利用质点系动量定理和动量守恒定律研究火箭运动的基本原理--火箭质量在改变 :(t+dt)时刻:火箭质量m+dm[注:dm可正可负],速 喷射速度是u’,若选火箭为动参系,则 地面的速度为u=(v+dv)-u’---动量可求航空航天大 六、变质量动力学质点系动量定理:dt时间内,外力(不计阻力,外力只有重力的冲量等于系统(火箭+喷出 )动量的增量,即-mgdt=[(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u’)]- -mgdt=mdv+ –mg=mdv/dt+所以火箭受到的推力为F=ma=mdv/dt=-mg- (1)(1)式说明:火箭欲得到向上推力,则dm/dt<0,即火 航空航天大 六、变质量动力学火箭在高空沿水平飞行时:选ox向右,设:t时刻,火箭质量m,速度v,动量mv;(t+dt)时刻,火箭质量m+dm,速度v+dv,喷出燃料质量-dm,相对火箭喷速u’,若选火箭为动参系,则对地面速度u=(v+dvu’质点系动量守恒:不计阻力,火箭受重量冲量方0dt=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u’)-mdv+积分得：v= 航空航天大 六、变质量动力学v= 式说明:火箭最高速度取决于喷射速度Qmdv+所以火箭受到的推力为F=ma=mdv/dt=- 式说明:在高空沿水平飞行的火箭,欲获得向前推力,则dm/dt<0,即火箭必须不断向后喷出燃料,跳航空航天大跳

六、变质量动力学例17：设火箭质量m=105kg,相对火箭喷射速度u’=3103m/s,求:为得到向上(前)2mg推力,火箭至少每秒需喷出多少kg的？解：火箭受到向上的推力为F=ma=mdv/dt=-mg- 2mg=-mg-dm/dt=-3mg/u’=-1103航空航天大 六、变质量动力学火箭受到向前的推力为F=ma=mdv/dt=- 2mg=-dm/dt=-2mg/u’=-2/3103航空航天大 六、变质量动力学碰撞碰撞:两物在运动中相互接触或靠近时,在相对碰撞过程一般分为三种 弹性碰撞:碰撞系统动量守恒和能量(动能)守恒非弹性碰撞:碰后物体分开,碰撞系统动量守恒,:航空航天大

首 六、变质量动力学弹弓效应：土星质量M,以相对