2017高等代数第三章小结

Zhanglizhuo-§3.2线性相关与线性§3.3向量组§3.4向量空间Kn§3.6线性方程组有解的§3.7齐次线性方程组§3.8非齐次线性方程组Zhanglizhuo-一、n维向量空间Zhanglizhuo-【提纲挈领理解和掌握n理解和掌握向量定义n维向量空间/线性子空间。Zhanglizhuo-【知识点串【命题1】n元线性方程组x11+x22+…+xnn=可以由1,2,…,n线性表1,2,…,nZhanglizhuo-一、线性相关与二、线性相关与Zhanglizhuo-【提纲挈领理解与掌握线性义线性相关/线性无关。Zhanglizhuo-【知识点串【命题2】设向量组12…m线性无关，则向量可由向量组1,2,…,m线性表出1,2,…,m,线性相关【推论2】设向量组1,2,…,m线性无关，则向量不能由向量组1,2,…,m线性表出1,2,…,m,线性无关Zhanglizhuo-从线性组向量组1,2,…,m(m1)线性相它有系数不全为0的线性组合等于零向量组1,2,…,m(m1)线性无它只有系数全为0的线性组合才会等于零向从线性表向量组1,2,…,m(m2)线性相其中至少有一个向量可以由其余向量线向量组1,2,…,m(m2)线性无其中每一个向量都不能由其余向量线性Zhanglizhuo-从齐次线列向量组1,2,…,m(m1)线性齐次线性方程组x11++xmm=O有非零解列向量组1,2,…,m(m1)线性齐次线性方程组x11++xmm=O只有从行列式n个n维列(行)向量组1,2,…,n线性相以1,…,m为列(行)构成的行列式等n个n维列(行)向量组1,2,…,n线性无以1,…,n为列(行)构成的行列式不等于Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【提纲挈领理解和掌握向量理解向量组的定义极大线性无关组/向量组等价/向量组的Zhanglizhuo-【知识点串思路1【命题1】向量组与其极大线性无关【推论2】向量组的任二极大线性无关组等思路【引理】【推论3】如果(I)线性无关，则(I)含向量个数(II)【推论4】等价的线性无关向量组所含向量数目相【命题7】组(I)可由组(II)线性表出，则(I)秩(II)秩【推论8】等价的向量组有相同的秩Zhanglizhuo-一、子空间的基二、子空间的相Zhanglizhuo-【提纲挈领理解子空间的基定义基/维数。Zhanglizhuo-【知识点思路1【定理1】每非零子空间U都有一【定理2】非零子空间U任两个基含向量数思路2【命题3】非零子空间U中每一向量可由基唯一线性【命题3】r维子空间U中任意r+1个向量都线性相关【命题3】r维子空间U中任意r个线性无关向量【命题3】若两个非零子空间UW，则dimUdimW【命题3】设非零子空间UW，若dimU=dimW，则U=W思路3【定理8】1s的极大线性无关组是U=1s基，从而dim1,…,s=rank{1s}。Zhanglizhuo-§3.5矩阵的一、矩阵的行秩Zhanglizhuo-【提纲挈理解和掌握矩阵理解和掌握矩阵定义矩阵的秩。Zhanglizhuo-【知识点串烧思路1【定理1】阶梯形阵J行秩=列秩=非零行数，主元列为列组极大无关【定理2】矩阵初等行变换不改变矩【定理3】矩阵初等行变换不改变矩阵列的关系【定理4】任一矩阵的行秩=列秩【推论5】矩阵A经初等行变换化为阶梯形矩阵J，rank(A)=非零行数，J主元列为列组一极大线性无关组。【推论5】矩阵的初等列变换不改变思路3【定理8】任一非零矩阵的秩等于它的非零子式【推论9】n级矩阵A的秩=n|A|0【推论10】最高阶非零子式所在行(列)为行(列)组一极大线性无关Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【提纲挈理解和掌握线性理解和掌握有解Zhanglizhuo-rank{12n}=rank{12n}Zhanglizhuo-一、齐次线性方二、齐次线性方Zhanglizhuo-【提纲挈领理解和掌握齐次定义基础解系。Zhanglizhuo-性质1齐次方程组(1)的任意两个解的和是(1)的解。【定理1】数域K上n元齐次线性方程组解空间WdimW=n-rank(A)，A为系Zhanglizhuo-一、非齐次线性二、非齐次线性Zhanglizhuo-【提纲挈领理解和掌握非齐理解和掌握非齐Zhanglizhuo- 特解W是方程组(1)的导出组的解空间。Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-1设向量组12m的秩为r，如果12j1j2jr是12m的一个极大线性无【证】设i1,i2,,ir是它的一个极大线性无关组，依题设，i1,i2,,ir可由j1,j2,,jr线性表出，依命题7r=rank{i1i2irrank{j1j2jr}，