名师课件：人教B版高中数学选择性必修第一册233直线 与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

高二年级数学相交相切相离2个公共点1个公共点0个公共点1.直线与圆有哪几种位置关系？相交2.如何判断直线与圆的位置关系？相切相离①作图，观察图形：需借助专业绘图工具2.如何判断直线与圆的位置关系？设圆的方程，直线方程

，

②判断交点个数：联立方程组，判断交点个数联立，得方程组代入消元，消y得或代入消元，消x得2.如何判断直线与圆的位置关系？因此，时，方程有两个不相等的实数解,直线与圆有两个公共点，即相交；

②判断交点个数：联立方程组，判断解的个数

时，方程有两个相等的实数解，直线与圆有一个公共点，即相切；

时，方程没有实数解，直线与圆没有公共点，即相离.

2.如何判断直线与圆的位置关系？③几何转化：计算圆心到直线的距离与半径比较设圆的方程，直线方程，

则圆心到直线的距离为因此，时，直线与圆有两个公共点，即相交；

时，直线与圆只有一个公共点，即相切；

时，直线与圆没有公共点，即相离.

3.能否严格证明几何法判定直线与圆的位置关系的合理性？给定平面中的一条直线l和C，以C的圆心为原点，以不垂直于直线l的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系.

设直线l的方程为y=kx+b，C的方程为x2+y2=r2.联立直线与圆的方程，得

消y得

3.能否严格证明几何法判定直线与圆的位置关系的合理性？方程的判别式

相交因此，

同理，

相切相离

新知提炼直线与圆的位置关系的判定方法图形代数法几何法相交联立方程组，消元，圆心到直线的距离相切联立方程组，消元，圆心到直线的距离相离联立方程组，消元，圆心到直线的距离法1：代数法，联立方程组，判断交点个数法2：几何法，计算圆心到直线的距离，比较与半径的关系

例1.（1）试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；解：（代数法）联立直线的方程与圆的方程，得方程组从方程组消去，整理得这个方程的判别式因此，直线与圆没有公共点，即相离.

例1.（1）试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

例1.（1）试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；解：（几何法）易知，圆的圆心坐标为，半径为.直线的一般方程为因此，圆心到直线的距离因此，直线与圆没有公共点，即相离.

例1.（2）已知直线与圆，分别求直线与圆相交、相切、相离时的取值范围.解：（代数法）联立直线的方程与圆的方程，得方程组从方程组消去，整理得这个方程的判别式

例1.（2）已知直线与圆，分别求直线与圆相交、相切、相离时的取值范围.当且仅当时，，方程有两个不相等的实数解；此时，直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当且仅当或时，，方程有两个相等的实数解；此时，直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当且仅当或时，，方程无实数解；此时，直线与圆没有公共点，直线与圆相离.当且仅当，即或时，直线与圆相离；

例1.（2）已知直线与圆，分别求直线与圆相交、相切、相离时的取值范围.解：（几何法）因为圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离当且仅当，即时，直线与圆相交.当且仅当，即或时，直线与圆相切；

从而可得切线的点斜式方程为

例2.（1）已知是圆上的一点，求圆的过点的切线方程；解：如图，连结线段OM，则OM与切线垂直.

因为，所以切线的斜率为

因此所求方程为

例2.（2）已知是圆上的一点，求点到直线距离的最大值与最小值.

易知，

分别为最小值与最大值.

例2.（2）已知是圆上的一点，求点到直线距离的最大值与最小值.解：如图，作与圆交于P1点，并反向延长CH，与圆交于P2点.

又因为

例2.（2）已知是圆上的一点，求点到直线距离的最大值与最小值.

因此，

例3.已知直线与圆相交于两点.（1）求线段AB的长；

解：如图所示，设AB的中点为M，连结OM.由点到直线的距离公式有解得由垂径定理知，，因此又故

例3.已知直线与圆相交于两点.（1）求线段AB的长；

解：（法2）将直线方程与圆的方程联立，得方程组代入直线方程得交点坐标解得

消y得，因此，

例3.已知直线与圆相交于两点.（1）求线段AB的长；

另解：设因此，因为都是直线上的点，所以因此，

例3.已知直线与圆相交于两点.（1）求线段AB的长；

例3.已知直线与圆相交于两点.（2）求线段AB的中点坐标.

解：设且线段AB的中点坐标为则由另解可知因此，所求中点坐标为

课堂小结一、直线与圆的位置关系的判定方法图形代数法几何