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文档简介

会计学1第讲线性微分方程解的结构第四节二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解第1页/共35页一、高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为第2页/共35页二阶线性微分方程的一般形式为通常称(2)

为

(1)的相对应的齐方程。

我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。第3页/共35页1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解，你打算怎么证明这个原理？第4页/共35页证第5页/共35页的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。推广第6页/共35页在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？第7页/共35页(2)线性无关、线性相关第8页/共35页第9页/共35页

例证由三角函数知识可知，这是不可能的，故第10页/共35页

例证第11页/共35页朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推广到n

个函数的情形。第12页/共35页

例第13页/共35页(3)二阶齐线性微分方程解的结构定理1的两个线性无关的解，则是方程(2)的通解。第14页/共35页定理2第15页/共35页

例解又容易看出：而由叠加原理，原方程的通解为第16页/共35页问题：该问题的解决归功于数学家刘维尔。第17页/共35页代入方程中，得怎么做？关于z的一阶线性方程第18页/共35页即故有两边积分，得关于z的一阶线性方程第19页/共35页刘维尔公式为原方程的通解。则第20页/共35页

例解由刘维尔公式故原方程的通解为第21页/共35页2.二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质性质1的一个特解，则是原方程的一个特解。第22页/共35页性质2的一个特解，则是方程的一个特解。第23页/共35页性质3是其对应的齐方程的一个特解。第24页/共35页性质4的一个特解。第25页/共35页

可以直接验证性质1——性质4。第26页/共35页如何求特解？定理3的通解，则是方程(1)的通解。由性质1以及通解的概念立即可以得知该定理成立。第27页/共35页常数变易法常数变易法第28页/共35页常数变易法则有令以下推导的前提第29页/共35页于是对上式两边关于x求导，得这两部分为零。即第30页/共35页联立

(3)、(4)

构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到第31页/共35页

例解该方程所对应的齐方程为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组第32页/共35页两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解从而，原方程的通解为第33页/共35页

在这一节中所讲述

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