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会计学1等直圆杆扭转时的应变能解析2023/1/192三、应变能与能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：第1页/共12页2023/1/193应变比能：单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVε=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为第2页/共12页2023/1/194

在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为

等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由可知，亦有第3页/共12页2023/1/195

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为l范围内的应变能亦可如下求得：第4页/共12页2023/1/196

例1图示AB、CD

为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC为刚性块，

D截面处作用有外力偶矩Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D截面的扭转角jD。ABCDMel/2l第5页/共12页2023/1/197T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.静力平衡求扭矩2.杆系应变能其转向与Me

相同。ABCDMe3.求D截面的扭转角

jD第6页/共12页2023/1/198例2试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a<

5°)受轴向压力(拉力)F作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。第7页/共12页2023/1/199解：1.求簧杆横截面上的内力

对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：剪力FS=F扭矩T=FR第8页/共12页2023/1/19102.求簧杆横截面上的应力

簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D=2R与簧杆直径d的比值D/d较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有第9页/共12页2023/1/19113.求弹簧的缩短(伸长)变形

当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形Δ与外力F成线性关系(如图)。于是有外力所作功：第10页/共12页2023/1/1912

至于簧杆内的应变能Vε，如近似认为簧杆长度l=2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T=FR，则

根据能量守恒原理W=Vε，即得密圈圆柱螺旋弹簧

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