空间解析几何与向量代数复习题答案

间解析几何与向量代数、选择题1.已知A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量AB的模是(A)..5B3C62.设a=(1,-1,3,b=(2,-1,2),求c=3a-2b是(B)(-1,1,5).(-1,-1,5).C(1,-1,5).D (1-1,6).3.设a=(1,-1,3,b=(2,1,-2）,求用标准基i,j,k表示向量c=a-b为（A）-i-2j+5k B-i-j+3k C-i-j+5k D -2i-j+5k4.求两平面x2yz30和2xyz50的夹角是（C）5.已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求/AMEg(C)A—B —C-Dxy1z2.求点M(2,1,10)到直线L：3―2-~7~的距离是：(A)A138B,118C..158D1r r rrrr rrr.设a i k,b 2i3j k,求ab是：(D)A-i-2j+5kB -i-j+3k C-i-j+5kD3i-3j+3k.设/ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,1,3),求三角形的面积是：(A4,63.64,6.求平行于z轴，且过点mi(1,0,1/DM2(2,1,1)的平面方程是：(D)A2x+3y=5=0Bx-y+1=0Cx+y+1=0D xy1010、若非零向量a,b满足关系式|ab||ab|,则必有(C);Bab;Cab=0;Dab=0.11、设a,b为非零向量，且ab,则必有(CBabllallbCab||ab12、已知a=2,1,2,b:=1,3,2,则Prjba=(D);A5；3B5； C3 ;D喘，13、直线口匕」—与平面2xyz40的夹角为1 0 1(B)14、点（1,1,1）在平面x2yz10的投影为(A)（A）畀3；(B)1 3 1 1/，a； (C)1，1，0；9*1，315、向量a与b的数量积ab=（C）Aa|rjba;Barjab；Carjab；D|brjab16、非零向量a,b满足ab0,则有（C).Aa//b;Bab（为实数）；Cab;Dab0.17、设a与b为非零向量，则ab0是（A）.Aa//b的充要条件； B a±b的充要条件；Cab的充要条件； Da//b的必要但不充分的条件.18、设a2i3j4k,b5ijk,则向量c2ab在y轴上的分向量是（B）.A7B7jC-1;D-9k2 2,219、方程组2xy4z9表示（B

A椭球面；Bx1平面上的椭圆；C椭圆柱面；D空间曲线在x1平面上的投影.20、方程x2y20在空间直角坐标系下表示 （C）A 坐标原点（0,0,0）;Bxoy坐标面的原点（0,0）;Cz轴；Dxoy坐标面.21、设空间直线的对称式方程为21、设空间直线的对称式方程为A过原点且垂直于x轴；C过原点且垂直于z轴；22、设空间三直线的方程分别为-y孑则该直线必（A）0 1 2B 过原点且垂直于y轴；D 过原点且平行于x轴.x3tx3y4z x2yz10rL1： 一；L2：y13t;L3： ，则必有(D).2 5 3 2xyz0z27tTOC\o"1-5"\h\zA L1 // L2 ;B L1 //L3;CL2 L3 ;D L1 L2.23、直线心匚乙与平面4x2y2z3的关系为(A) .2 7 3A平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C垂直相交； D 相交但不垂直.24、已知同1,b72,且(a,b)—,则|ab=(D).4A1;B172； C2 ;D豆.25、下列等式中正确的是（C）AAijk;B ijk;Ciijj；D iiii.26、曲面x2y2z在xoz平面上的截线方程为（D）2A x2z26、曲面x2y2z在xoz平面上的截线方程为（D）2A x2z；Byz；Cx02 2 2xy0.Dxzz0 ' y0、计算题1.已知M12,2,72,M21,3,0,求M1M2的模、方向余弦与方向角解：由题设知uuuuuir _ _M1M2 12,32,0V2 1,1,V2,则cos1 1 2一,cos一,cos 2 2 22.设m3工5j8k,n2i的投影及在y轴上的分向量解：a43i5j8k32i4j7k5ij4k13i7j15k故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j。r.在xoz坐标面上求一与已知向量a2,3,4垂直的向量。r解：设所求向量为bx0,0,z0,由题意,r .取Zo1,得Xo2,故b2,0,1与a垂直。当然任一不为零的数 与b的乘积b也垂直a。.求以A1,2,3,B3,4,5,C1,2,7为顶点的三角形的面积S由向量积的定义，可知三角形的面积为S12ABACuur

AB2,2,2UHTAC2,4,4由向量积的定义，可知三角形的面积为S12ABACuur

AB2,2,2UHTAC2,4,4uuruuurABACri22r

k2416,12,4,于是，S于是，S2 262 22 42 269.5.求与向量2,0,1,1,1,2都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各,5.求与向量2,0,1,1,1,2都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各,c,则c同时垂直于a和b,且3j2k,因此，与cab平行的单位向量有两个:―► 因此，与cab平行的单位向量有两个:―► —r- -►i3j2kIc||ab| ,12 32 22二i3j2k和146.求球面6.求球面x2z29与平面xz1的交线在xoy面上的投影的方程。解：由x1,解：由x1,得z1x,代入x2y2z29,消去z得x2y22 9,2x22xy28,这就是通过球面x2y2z29与平面xz1的交线，并且母线平行2 2于z轴的柱面方程，将它与z0联系，得： y8,即为所求的投影方程。z07、求过A1,1,1,B2,2,,2和C1,1,2三点的平面方程。解一：点法式：AB3,3,3,AC0,2,3,取___ijjnABAC3 33 31,3,2,0 23于是所求方程：x3y2z0o解法二：用一般式，设所求平面方程为将已知三点的坐标分别代入方程得解得B3AC2A,得平面方程：x3y2z0。D08.求平面2x8.求平面2x2yz50与xoy面的夹角余弦。r解：n2,2,1为此平面的法向量，设此平面与xoy的夹角为，则9.分别按下列条件求平面方程⑴平行于xoz面且经过点2,5,3;

⑵通过z轴和点3,1,2；(3)平行于x轴且经过两点4,0,2和5,1,7。r , 一r 解：(1)因为所求平面平行于xoz面，故j0,1,0为其法向量，由点法式可得：0x2 1y5 0z3 0,即所求平面的方程：y50o(2)因所求平面通过z轴，其方程可设为AxBy0(*),已知点3,1,2在此平面上,因而有3AB0,即B3A,代入(*)式得：Ax3Ay0,即所求平面的方程为：x3y0。x4yz21 1 9 0,于是可得所求平1 0 0⑶从共面式入手，设Px,y,zx4yz21 1 9 0,于是可得所求平1 0 0B表示，则AP,AB,i共面，从而AP,AB,i面方程为：9yz20。10.用对称式方程及参数式方程表示直线xyz12xyz4ruruu解：因为直线l10.用对称式方程及参数式方程表示直线xyz12xyz4ruruu解：因为直线l的方向向量可设为sn1n2r r ri j k1 112 1 1点A3,0,2(令y0,解直线l的方程组即可得x3,z参数方程为：x32t,ytz2,1,3,在直线上巧取一2),则直线的对称式方程为23t11.求过点0,2,4且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程。,,ur ,,ur ,rn解：因为两平面的法向量n1 1,0,2与n20,1,3不平行，所以两平面相交于一直线,r r ri j kr r ri j kr ir ur此直线的方向向量s n1n2 10201 3xy2z4

o2 3 12,3,1,故所求直线方程为12.确定直线三和平面4x2y2z3间的位置关系12.确定直线三和平面4x2y2z3间的位置关系3解：直线的方向向量2,7,3,r平面的法向量n4,2,2,从而sn,由此可知直线平等于平面或直线在平面上再将直线上的点A(3,4,0)的坐标代入平面方程左边，得4 32 420 43,即A不在平面上，故直线平行于平面13.求过点1,2,1而与直线1113.求过点1,2,1而与直线11:,l: 平行的平面万程yz10xyz0ur解：因、rr rur解：因、rr rijk1 2 11 1 11,2,3为直线l1的方向向量,ururS2TOC\o"1-5"\h\zr r ri j k0,1,1直线0,1,1直线l2的方向向量1 1 1

r r ri j krurur .取n s1s2 1 2 3 1,1,1，则通过点1,2,1并以n为法向量的平面方程0 1 1xyz 0即为所求的平面方程。14、已知a14、已知a|2,b5,（a,b）:问为何值时，向量ua17b与v3ab互相垂直.解由uv0得(a17b)(3ab)0,即3a2(51)ab17b20,)10cos—4250,

3将a2,b5,(a,b) )10cos—4250,

33解得40.15、求两平行面3x6y2z140与3x6y2z15、求两平行面3x6y2z140与3x6y2z70之间的距离.解在平面3x6y2z140上取点M(0,0,7),则点M到平面3x6y2z70的距离即为所求：d00277 即为所求：d3262(2)2F16、求过点（3,2,5）且与两平面x4z30和2xy5z10的交线平行的直线方程.解设sm,n,p为所求直线的一个方向向量，由题意知s与两个平面的法向量n1 1,0,4和n2 2,1,5同时垂直，故有