全书课件-45分钟阶段测试十一

数学A（理）第八章立体几何45分钟阶段测试(十一)23456789101234567891011.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(

)一、选择题

C345678910122.(2014·广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(

)A.(－1,1,0) B.(1，－1,0)C.(0，－1,1) D.(－1,0,1)34567891012因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.34567891012因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.34567891012因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.答案

B245678910133.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为(

)解析设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，24567891013∵E为BC1的中点，∴D(0,0,0)，E(1,2,1)，设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为θ，∵平面BCC1B1的法向量n＝(0,1,0)，24567891013答案

C235678910144.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是(

)解析过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，23567891014∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，23567891014故选A.答案

A234678910155.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是(

)A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成角为45°23467891015解析

△A1BD为正三角形，其重心、外心、中心合一.∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案

D234578910166.若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，m＝(0,3,4)，n＝(3,4,0)，则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为________.解析由题意，∵m＝(0,3,4)，n＝(3,4,0)，二、填空题23457891016∵a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，234568910177.(2013·北京)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________.解析取B1C1中点E1，连接E1E，D1E1，过P作PH⊥D1E1，连接C1H.∴EE1⊥平面A1B1C1D1，PH∥EE1，23456891017∴PH⊥底面A1B1C1D1，∴P到C1C的距离为C1H.234569101788.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，23456910178∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，23456781019三、解答题9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，23456781019所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE⊂平面AED，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.23456781019(2)求二面角F－BD－C的余弦值.解由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直.以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB＝1，23456781019设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，234567810192345678911010.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1＝2AB.(1)求证：AC1∥平面CDB1；证明连接BC1交B1C于点O，连接DO.则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线，23456789110所以DO∥AC1.因为DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.23456789110(2)求点B到平面B1CD的距离；解因为CC1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1为三棱锥B1－CBD的高，2345678911023456789110(3)求二面角A－CD－B1的正切值.23456789110设平面CDB1的一个法向量为