大一第二学期-微积分7.6隐函数求导公式

17.6隐函数及其导法则02:44:01复习一、多元复合函数的求导法则zuvxy链式法则函数结构图.

设z=f(u,v),02:44:012二、多元复合函数的微分法则（全微分形式的不变性）1、定义法2、利用微分运算法则和微分形式不变性复习02:44:01347.6隐函数及其导法则02:44:01

在一元函数微分学中,我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程（直接法）来求它所确定的隐函数y=f(x)的导数的方法.F(x,y)=0方程两边对x求导，得所以,得解(直接法)例求由方程02:44:015一.由确定的隐函数的微分法

这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式,给出用偏导数来求隐函数的导数的隐式求导法。（公式法）02:44:016一.由确定的隐函数的微分法求导公式推导如下:一.定理（隐函数存在定理I）一元隐函数的求导公式将函数代入方程得Fxy上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得02:44:017Fxy上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得02:44:018一.由确定的隐函数的微分法例1设解2(公式法)由求导公式,得所以,则有解1(直接法)解3(微分法)等式两端求微分，得02:44:019一.由确定的隐函数的微分法注1、用公式法时，F(x,y)中的变量x，y2、用直接法时，应视为彼此无关的变量，并利用复合函数的求导法则。计算出应记住y是x的函数02:44:0110一.由确定的隐函数的微分法解令则02:44:0111一.由确定的隐函数的微分法注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:二.定理（隐函数存在定理II）02:44:0112二.由确定的隐函数的微分法

设方程确定具有连续偏导数的二元函数将z=f(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式将上式两端分别对x和y求偏导，得所以，（二元隐函数求导公式）Fxyzxy且02:44:0113二.由确定的隐函数的微分法例3设由方程确定求偏导数.解1（公式法）由求导公式得解2（直接法）所以方程两边对x求偏导得类似可得则有令

02:44:0114二.由确定的隐函数的微分法解3（全微分法）方程两边求全微分，得即所以

利用一阶全微分形式的不变性来求隐函数的导数时，甚至不用分清哪个是自变量，那个是因变量，因而十分方便。02:44:0115二.由确定的隐函数的微分法解1（公式法）由求导公式得则有令02:44:0116二.由确定的隐函数的微分法例2

解2（全微分法）02:44:0117二.由确定的隐函数的微分法例2

例3：解（公式法）则有令

由求导公式得02:44:0118二.由确定的隐函数的微分法

例4

设F(x–az,y–bz)=0(a,b为常数),F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程令u=x–az，v=y–bz，所以证设F(x,y,z)=F(x–az,y–bz)，uvFxyz从而有02:44:0119

例4

设F(x–az,y–bz)=0(a,b为常数),F(u,v)可微,证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程令u=x–az，v=y–bz，所以证二（全微分法）从而有02:44:0120隐函数的微分法解1（公式法）解2（求导法）解3（全微分法）作业：P30818(1)，20(1)，21(2)(3)小结02:44:012122下次课内容7.7二元函数的极值及其最值02:44:01思路：解令则02:44:0123二.由确定的隐函数的微分法整理得0