数值分析讲稿

§5曲线拟合的最小二乘法一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据要求在函数类中找一个函数使误差平方和最小其中带权的最小二乘法：其中是[a,b]上的权函数.

最佳平方逼近最小二乘法求曲线拟合的问题,就是在中求一函数,使取的最小.它转化为求多元函数的极小点问题.由求多元函数极值的必要条件，有若记

则上式可改写为这个方程称为法方程，矩阵形式:

其中,

由于线性无关,故,方程组存在唯一解从而得到函数的最小二乘解为

可证

故是所求最小二乘解.例:已知一组实验数据,求它的拟合曲线。解：根据所给数据知,可选择线性函数作拟合曲线.

令,

这里,

故

1234544.5688.521311

由方程组

因此,所求拟合曲线为

例：在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲线解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲线函数或指数函数。1)双曲线函数拟合

双曲线型：即

时间t(分)

12345678910111213141516浓度×10-3

4.006.408.00

8.80

9.22

9.50

9.70

9.86

10.00

10.20

10.32

10.42

10.50

10.55

10.58

10.60

为了确定令由数据表t,y生成数据表于是可用的线性函数拟合数据方法与上例一样解方程组得

从而有

其各点误差为

2）指数函数拟合

拟合曲线形如两边取对数

为了确定令

拟合数据的曲线仍为

用上例的方法计算出

从而

最后求得各点误差为

3)两个模型的比较

本例经计算可得均方误差为

由此可知都比较小,所以用

作拟合曲线较好.确定拟合曲线的数学模型需要选择比较.

·用正交函数作最小二乘拟合法方程组系数矩阵G是病态的，但如果是关于点集带权正交的函数族，即则方程的解为且平方误差为

根据给定节点及权函数,造出带权正交的多项式.注意,用递推公式表示,即其中

是首项系数为1的

次多项式，且证明：用归纳法(略).

用正交多项式

的线性组合作最小二乘曲线拟合,只要根据公式逐步求的同时,相应计算出系数

并逐步把累加到中去，最后就可得到所求的拟合曲线这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定.

用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数增加1，其余不用改变.此为目前用多项式作曲线拟合最好的方法.多元最小二乘拟合

已知多元函数

的一组测量数据

，以及一组权数据

要求

使得最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数同样满足法方程，只是这里求解法方程组就可得到,从而得到

,称为函数

的最小二乘拟合.

§6近似最佳一致逼近多项式由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式(伯恩斯坦多项式).一、截断切比雪夫级数利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式.如果,按展成广义富利叶级数，由正交多项式展开公式（在满足一定条件下可一致收敛）

可得

～

此式称为函数在[-1,1]上的切比雪夫级数.

由

得到

若令，则

～

就是的富利叶级数，其中根据富利叶级数理论可知，只要在[-1,1]上分段连续，则的切比雪夫级数一致收敛于，从而取它的部分和其误差为由于有n+2个轮流为‘正、负’的偏差点，所以近似地有n+2个偏差点，由切比雪夫定理，可作为在[-1,1]上的近似最佳一致逼近多项式，实际计算表明它与最佳一致逼近多项式非常接近，而计算较方便.例:求在[-1,1]上的切比雪夫展开。解由富利叶级数系数公式得它可用后面介绍的数值积分方法计算，得到

由及的公式得到当区间为时可用变量置换求得近似最佳一致逼近.例:求

在[0,1]上的近似最佳一致逼

近一次式.

可令对

按切比雪夫系数求得于是

事实上是奇函数,当区间为[-1,1]时,它的切比雪夫展开也是奇函数,如n=5可求出与最佳逼近的误差分布近似(通过里姆斯算法计算最佳逼近偏差).这说明用切比雪夫展开部分和逼近的效果相当好.若用台劳展开,要使误差不超过就必须取1000项，因为欲使，只有当n≥1000时才成立.用切比雪夫展开还可得到其他基本初等函数的近似最佳逼近多项式.

二、拉格朗日插值余项的极小化基本思想：以切比雪夫多项式的零点为节点构造函数的插值多项式,作为其最佳一致逼近多项式的近似.由切比雪夫多项式性质2可知，若以

为插值节点作n-1次插值多项式，则与零的偏差最小，此时插值余项其中,.

若插值区间是,不是[-1,1],可做变换,令使

在[-1,1]上变化，于是它的最高项系数为，故有

这时只要选插值节点相应地

这时

由此可知，用公式做插值节点求在上的插值多项式,虽然不能作为最佳逼近多项式，但由于它的误差分布均匀，得到的插值多项式是近似最佳一致逼近多项式.例:求在[0,1]上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过。可算得计算出

插值多项式为三、台劳级数项数的节约

函数的台劳展开容易计算，但用它的部分和做逼近多项式误差分布极不均匀，为了改善其误差分布可利用均匀分布特点，对它进行改造。现设在[-1,1]上台劳展开部分和为

若，其中是给定的误差限，则可利用切比雪夫多项式将重新组合,以降低逼近多项式次数，此时例.用台劳展开求在的逼近多项式.解：应用的台劳展开，取n=6，得

作为的近似，其误差为由于

利用台劳展开降低次数的方法求逼近多项式，开始项数越多效果越显著，这种做法由于对台劳展开重新改组使低次