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第四节全微分方程一、全微分方程及其求法1.定义:则称方程左端恰为一个函数u（x，y）的全微分，即例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.如果一阶线性微分方程2.解法:应用曲线积分与路径无关.通解为用直接凑全微分的方法.全微分方程解1是全微分方程,原方程的通解为例1解2复习微分性质:设C是常数,d(CU)=CdUd(U1+U2)=dU1+dU2解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2二、积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:△例3解则原方程为原方程的通解为可选用的积分因子有2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式解1于是,原方程的通解为:例求微分方程方程化为解2于是,原方程的通解为:例求微分方程方程化为解3于是,原方程的通解为:例求微分方程方程化为该例说明,方程的积分因子不唯一.性质:若是积分因子,设任意函数,则也是积分因子.解将方程左端重新组合,有例4求微分方程原方程的通解为解将方程左端重新组合,有原方程的通解为例5求微分方程例6已知方程有一个积分因子u（x）＝x，求所有可能的f（x）.解为全微分方程可得解1整理得A常数变易法:B公式法:例6解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:C不定积分法:原方程的通解为三、一

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