2023年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2023年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2011年4月10日本卷总分值为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是〔▲〕A．B．C．3D．2．设集合，，那么等于〔▲〕A．B．C．D．3．，那么与的关系是〔▲〕A．或B．C．D．4．以下函数中在区间上单调递增的是〔▲〕A．B．C．D．5．假设那么〔▲〕A．B．C．D．6．函数的零点个数为〔▲〕A．B．C．D．7．记为坐标原点，向量，，又有点，满足，那么的取值范围为〔▲〕A．B．C．D．8．，，，，那么是直角三角形的概率是〔▲〕A．B．C．D．9．设，其中，那么的最小值为〔▲〕A．B．C．D．10．点在轴上，假设存在过的直线交函数的图象于两点，满足，那么称点为“Ω点〞，那么以下结论中正确的是〔▲〕A．轴上仅有有限个点是“Ω点〞；B．轴上所有的点都是“Ω点〞；C．轴上所有的点都不是“Ω点〞；D．轴上有无穷多个点〔但不是所有的点〕是“Ω点〞．开始否开始否是(12题图)结束11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个反面的概率是▲．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为▲．13．函数的值域是▲．〔其中表示不超过实数的最大整数〕14.定义域为的函数对任意都满足条件与，那么对函数，以下结论中必定正确的是▲．〔填上所有正确结论的序号〕=1\*GB3①是奇函数；=2\*GB3②是偶函数；=3\*GB3③是周期函数；=4\*GB3④的图象是轴对称的．15．假设为整数，关于的方程有整数根，那么▲．16．是定义域为的函数，，假设函数有且仅有4个不同的零点，那么这4个零点之和为▲．17．求值：▲．2023年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷2011年4月10日本卷总分值为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分181920得分得分评卷人一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．题号12345678910答案得分评卷人二、填空题：本大题共7小题，每题7分，共49分．11．12．13．14．15．16．17．得分评卷人三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．〔此题总分值16分〕函数．⑴求的最小正周期和的值域；⑵假设为的一个零点，求的值．得分评卷人19．〔此题总分值17分〕设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．⑴求的解析式；⑵问为何值时，有最小值？并求出的最小值．得分评卷人20.〔此题总分值18分〕定义在正实数集上的函数满足以下条件：①存在常数，使得；②对任意实数,当时，有．⑴求证：对于任意正数，；⑵证明：在正实数集上单调递减；⑶假设不等式恒成立，求实数的取值范围．2023年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是〔▲〕A．B．C．3D．解:求出的平均值实际平均值,选B．2．设集合，，那么等于〔▲〕A．B．C．D．解：可得，，所以，选C．3．，那么与的关系是〔▲〕A．或B．C．D． 解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得．选D．4．以下函数中在区间上单调递增的是〔▲〕A．B．C．D．解：将选择支中各函数用区间逐一检验知，只有C中函数满足要求．选C．5．假设那么〔▲〕A．B．C．D．解：因为，，可知函数单调递减，已知不等式即，所以，选A． 6．函数的零点个数为〔▲〕A．B．C．D． 解：，所以的零点个数即函数与函数的交点的个数，作图可知有个交点，选D．7．记为坐标原点，向量，，又有点，满足，那么的取值范围为〔▲〕A．B．C．D． 解：，点在以点为圆心，为半径的圆周上．可得，如图可知，当直线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为０，所以的取值范围为．选A．8．，，，，那么是直角三角形的概率是〔▲〕A．B．C．D． 解：由与构成三角形及知，可得．与垂直，那么；假设与垂直，那么〔舍去〕；假设与垂直，或〔舍去〕；综上知，满足要求的有２个，所求概率为．应选D．9．设，其中，那么的最小值为〔▲〕A．B．C．D． 解1：，由得．当且仅当时，．选B． 解2：．当且仅当时，．选B．10．点在轴上，假设存在过的直线交函数的图象于两点，满足，那么称点为“Ω点〞，那么以下结论中正确的是〔▲〕A．轴上仅有有限个点是“Ω点〞；B．轴上所有的点都是“Ω点〞；C．轴上所有的点都不是“Ω点〞；D．轴上有无穷多个点〔但不是所有的点〕是“Ω点〞． 解1：设，，，因为，所以，，得．即对于轴上任意点，总有，满足题设要求，应选B．开始否是(12题图)结束 解2：〔动态想象〕：任取轴上点，将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转，与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点〔由下至上〕直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在由正到负的过程中必将经历零点．当时，即有，所以轴上所有的点都是“Ω点〞．开始否是(12题图)结束二、填空题：本大题共7小题，每题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个反面的概率是▲．解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能根本领件共有８种，其中两个正面一个反面的情况有〔正，正，背〕，〔正，背，正〕与〔背，正，正〕三种，故所求概率为．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为▲．解：．13．函数的值域是▲．〔其中表示不超过实数的最大整数〕解：，所以的所有可能取值为，从而值域为．14．定义域为的函数对任意都满足条件与，那么对函数，以下结论中必定正确的是▲．〔填上所有正确结论的序号〕=1\*GB3①是奇函数；=2\*GB3②是偶函数；=3\*GB3③是周期函数；=4\*GB3④的图象是轴对称的．解：由知有周期，于是，知为奇函数，填=1\*GB3①=3\*GB3③．15．假设为整数，关于的方程有整数根，那么▲．解：设为方程的整数根，那么，必有或得或．16．是定义域为的函数，，假设函数有且仅有4个不同的零点，那么这4个零点之和为▲．解：，有对称轴，故4个零点和为8．17．求值：▲．解1：如图，构造边长为的正五边形，使得，那么依次可得，，，，由于，所以，从而．解2：原式．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．〔此题总分值16分〕函数．⑴求的最小正周期和的值域；⑵假设为的一个零点，求的值．解：⑴．…………………..4分所以的最小正周期；……………..……….…..5分由，得的值域为．…..7分⑵，由题设知，….8分由，结合知，可得．…………………..10分，………...………..12分，……………..………..14分……….……..16分19．〔此题总分值17分〕设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．⑴求的解析式；⑵问为何值时，有最小值？并求出的最小值．解：⑴，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论：……………….………..1分①当时，且，此时，．．…3分②当时，且，此时，．．…5分③当时，，在区间上递增，此时，．．…7分④当时，，在区间上递减，此时，．．…9分综上所得………………10分⑵当时，；…………11分当时，递减，；…………..….……13分当时，递增，；…………....………15分当时，．……..………16分综上所述，当时，．…………..…………………17分20.(此题总分值18分)定义在正实数集上的函数满足以下条件：①存在常数，使得；②对任意实数,当时，有．⑴求证：对于任意正数，；⑵证明：在正实数集上单调递减；⑶假设不等式恒成立，求实数的取值范围．⑴证明：均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，..…2分又，..5分⑵证明：任设，可令，．…………….7分那么由⑴知，