高等代数线性方程组练习题

第三章线性方程组练习题填空题1.如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为 r,则增广矩阵的秩取值可能为xx2IHxn=a …，、，，一.非齐次线性方程组1 2 n 有解的充要条件是 .2x12x211T2xnbb.齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=0的基础解系是..若矩阵A中有一个r级子式不为零，则R(A).已知向量组%=(1,4,3),口2=(2*,—1),。3=(—2,3,1)线性相关，则参数k=711x1+a12x2十川十a1nxn=06.(*)只有零解的充要条件有、 a21x1+822x2+川+a2nxn6.(*)只有零解的充要条件有an1x1-an2x2-III-annxn=0 (至少写两个).非齐次线性方程组AZ=b(A为m父n矩阵)有唯一解的的充分必要条件是.n+1个n维向量，组成的向量组为线性向量组。时，向量组.设向量组％，口2,口3线性无关，则常数l,m满足时，向量组|a2-«1,mo(3f,%-a3线性无关。.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n-1则Ax=0的通解为。.若向量组%,%,外线性无关，则向量组a2+%,a3+a2,c(1+a3.已知四元非齐次线性方程组Ax=b,r(A)=3,，产2J3是它的三个解向量，其中“1+T=(1,2,0,2)T,“2+"3=(1,Q1,3)T,则齐次线性方程组Ax=0的通解为-0L1=)1一2. 3.设向量组P1,P2,P3由向量组1a1P2p3的线性表示式为,P2=。1十%-外,则向量组艮=«1+4+A%,4,%由向量组P1,3,A的线性表示式为.线性方程组AX=b无解，且r(A)=3,则r(A：b)=.■a12'15当2=,b=时，A=231的秩为2.<8b4>二、判断题.向量组四，％,III,册线性相关且［%+k2ct2+|||+knan=0,则K,k2,|||,kn不全为零.().如果4=(&1,「2,川,七),i=1,2,|||,s线性相关，则向量组员=(&1e2,川,ain,bi1,h2,||l,bm),TOC\o"1-5"\h\zi=1,2,川,s也线性相关. （ ）.任意n+3个n维向量必线性相关. （ ）.若向量％«2,川,%和向量组凡久Ml,Bt都线性无关,则向量组%,%,川,％,乩也,川,比线性无关.（）.若向量四,小2,|||,八线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出 .（ ）.非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解 ^ （ ）.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解 .（ ）.设豆1,口2线性相关，口1,02也线性相关，则口1+01,汽2+02线性相关.（ ）三、单项选择题.已知向量组A,。？,惘产n线性相关，则下列命题中成立的是（）oA.o1,o2,pi,on中至少含有一个零向量;B.对任意一组不全为零的常数k1,k2,lll,kn,有匕口1+二。2+川+kn^n=0；C.。1产2,川,3中任意一个向量均可由其余m-1个向量线性表示;D.秩（巴产2,111,3）＜m。、一> x*i+x*?=0) …2.方程组,1、2 有非零解，则九的取值为()。21+//2=0A.0B.±1C.2 D.任意实数3,下列向量组中是线性无关向量组的为( )。A.(1,2),(--3,0),(5,1)B.(1,1,0),(0,0,3),(2,2,0)C.(2,6,0),(3,9,0),(0,0,2)D.(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)x1-x2=04.齐次线性方程组为a2-x3=0,它的一个基础解系是( )凶—x3=0

「1、2)1、「1、A.21B.41C.1D.0,5.,方程组x12x2-x3x22x5.,方程组x12x2-x3x22x3[(k—1)(k—2)x3A.2=4=2=(k-3)(k-4)B.3无解,则当k的取值为 （C.4D.56.设向量组居,。2,。3中是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则下列向量组中也是Ax=0的一个基础解系的是（A.二1A.二1'二2，二2'二3,二3一01B.二1--9,-9C-Q.C\-2；：一二Q22 3I 2 3C.2二1,二1二2,二1-二2卜列结论正确的是（7.A为m父n矩阵，秩（A）=m<n,卜列结论正确的是（A.齐次线性方程组Ax=0只有零解 B.非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解C）8.C.A中任一个m阶子式均不等于零 D.A中任意m个列向量必线性无关。8.仃1产2产3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则也是该方程组的一个基础解系的是A.可由仃1A.可由仃1,仃2,。3线性表示的向量组;B.与。1,。2,。3等秩的向量组9.D.C.9.D.二3，二3是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，。是齐次线性方程组AX=0的一个非零解,A.向量组W线性无关B.向量组彳-线性相关C.Ax=bC.Ax=b的通解为彳+k。，其中k为任意数D.Ax=b（^通解为D.Ax=b（^通解为彳+s（，-3）+tL其中s,t为任意数10.A10.A为m"矩阵，秩（A）=r,则下列结论中正确的是（A.B.A.B.C.D.r=n时，m=n时，r<n时，m=n时,Ax=b有唯一解；Ax=b有唯一解Ax=b有无穷多解;Ax=b有解11.已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0,则A)方程组有无穷多解 B)方程组无解C)方程组有唯一解或无穷多解 D)方程组可能无解，也可能有无穷多解计算与证明.求向量组%=(1,0,1,0),%=(—2,1,3,—7),%=(3,—1,0,3),/=(4,21,—3)的秩和一个极大线性无关组，并把其余的向量用极大线性无关组表出 ^X/"X1x2x3-1-3.h取何值时，线性方程组 <X1+九X2+X3=-2|x1x2+>x3=-2有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解 ^.已知向量组«1,a2,HI,am线性无关，令"=%+三，久=62+%，用，Pm"%」+%，-=%+%，讨论向量组P1,P2JH,Pm的线性相关性..设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知］-2尸3是它的三个解向量，且1=(2,3,4,5),2 3=(12,3,4).求该方程组的通解+C(n(n>1),证明：P-«1,P-0(2,111^+C(n(n>1),证明：P-«1,P-0(2,111^一%也线’21之1+42*2+|||+a〔nxn=0(*)的系数行列式D=0,而D(*)的系数行列式D=0,而D中元素aj的代数.设齐次线性万程组《llllHHIIIIiniHIHHIIIIIIHIH2口3■an2x2||lannxn=0余子式Aj=0.证明：(*)的通解为n=k(A1,A2,HI,An),武P..设有向量%=(1+t,1,1)尸2=(1,1+t,1)尸3=([1,1+t),B=(0,0,