利率期限结构模型

第21章利率期限结构模型利率期限结构模型简介利率期限结构相关符号表：在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T支付单位1的债券在时间t的价格。起息日为时间t，剩余到期期限为年的零息票债券利率。有：起息日为时间t，剩余到期期限为年的连续复合利率。有：在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远期利率。有：在时间t计算的，起息日为时间s的瞬时远期利率。有：即期利率，时间t计算的，剩余到期期限无限小时的零息票债券的连续符合内部收益率。有：起息日为时间t，剩余到期期限为年的连续复合利率。有：贴现债券价格在时间t的预期瞬间收益。贴现债券价格在时间t的瞬时波动。标准布朗运动。瞬间远期利率的波动。有：贴现债券利率的波动。重组树中，在第i种状态下，剩余到期期限为T的贴现债券在时间n的均衡价格。注意，与的定义不同，此处T表示的是剩余到期期限，而非到期日。利率期限结构的概念利率（interestrate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。利率期限结构（termstructureofinterestrates），又称收益率曲线（yieldcurve），是指在相同风险水平下，利率与到期期限之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。常见的利率期限结构有以下四种：

贴现因子曲线（discountfactorcurve）：；零息票收益曲线（zero-couponyieldcurve），（常用）：或；远期利率曲线（forwardratescurve）：瞬时远期利率期限结构（instantaneousforwardtermstructure），（常用）：。静态模型动态模型样条函数模型节约型模型指数样条法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977）

CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath,Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen&Siegel，1987）Svensson扩展模型（Svensson，1994）B样条法,（Steeley，1991）多项式样条法（McCulloch，1971，1975）利率期限结构模型静态利率期限结构模型静态利率期限结构模型概述静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法，节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时间t的市场价格为，在时间s的现金流入为，其中，，j表示该组的第j支债券。由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须先调整“息票效应”（CouponEffect）。息票效应是指：对于剩余到期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现值。于是，假想出贴现函数或零息票债券利率的具体形式，其中和为参数向量。然后利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由和构成的参数向量，即：

其中，是从模型或模型推导出的附息债券理论价格。显然，债债券样本本中长期期品种的的价格波波动性应应大于短短期品种种，而由由此带来来的结果果是：以以上述方方法中表表示长期期债券的的定价误误差往往往大于短短期债券券。这就就是在进进行收益益率曲线线拟合时时无法避避免的样样本异方方差特征征，导致致的结果果往往是是收益率率曲线在在远端出出现“过过度拟合合”（Overfitting））的情况况，而在在近端则则无法很很好地表表现短期期债的实实际情况况。为了解决决这一问问题，应应该对短短期债券券赋予较较高的权权重，而而对长期期债券赋赋予较低低的权重重，从而而允许长长期债券券存在较较高的误误差。在在Bolder和Streliski(1999)的的论文中中，设定定了如下下的权重重系数：：而将参数数的的估估计过程程定义为为：多项式样样条法多项式样样条函数数假设折折现因子子是到期期期限s的多项项式分段段连续函函数。。在运用此此函数时时，仔细细选择多多项式的的阶数是是至关重重要的。。阶数的的多少决决定了利利率曲线线的平滑滑程度和和拟合程程度，同同时也影影响到待待估参数数的数量量。本书书将多项项式样条条函数的的阶数定定为3。。这是因因为，当当多项式式样条函函数为二二阶时，，的的二阶阶导数是是离离散的；；当阶数数过高（（四阶或或五阶））时，验验证三阶阶或四阶阶导数是是否连续续的难度度将增大大，待估估参数的的数量也也将增大大。一般选用用如下形形式的多多项式样样条函数数：注意，对对于即期期贴现率率函数来来说说，显然然有。。另外外，为了了保证分分段函数数的平滑滑性以及及在分段段点的平平滑过渡渡，必须须保证贴贴现函数数在整个个定义域域内连续续且一、、二阶可可导，还还需要满满足如下下约束条条件：其中的的一一阶导数数和二阶阶导数。。例如，考虑虑30年期期的贴现率率函数，可可以用三次次多项式分分段拟合如如下：其中，函数数必须满足足以下的7个约束条条件：从而，我们们可以将互互相独立的的参数缩减减到5个：：指数样条法法指数样条函函数是VasicekandFong(1982)提出的的。与在多多项式样条条函数部分分所述的原原因相同，，也采用三三阶指数形形式样条函函数，其形形式为：模型中，除除了u也是一一个参数，，并且有明明显的经济济含义。VasicekandFong(1982)证明明了如下等等式：即，u可以以被认为是是当前的起起息日为未未来无限远远时的瞬间间远期利率率。同样，指数数样条法也也必须满足足如下约束束条件：其中，的的一一阶导数和和二阶导数数。选择样条函函数的分段段数量和取取样条分界界点在指数数样条法中中也同样十十分重要，，其方法可可以参见多多项式样条条法。并且且，指数样样条模型也也容易导致致远期利率率曲线不稳稳定。不同同于多项式式样条法的的是，其参参数估计必必须采用非非线性最优优化。Nelson-Siegel模型及其其扩展形式式Nelson-Siegel模型可以以由一个公公式来说明明，该公式式的形式与与那些描述述动态利率率的普通微微分方程的的解的表达达式十分类类似。该公公式为：其中，表表示示即期计算算的，在未未来时间时时发生生的瞬间远远期利率。。均均为待待估参数。。利用可以得到：：这就是Nelson-Siegel模模型的基本本表达形式式。当固定定时时，通过过的不同组合合，利用这这个模型，，可以推出出四种不同同形状的零零息票债券券收益曲线线：递增、、递减、水水平和倒置置。但是，这个个模型无法法推导出形形状更为复复杂的收益益曲线，例例如V形收收益曲线和和驼峰收益益曲线。为了克服上上述缺点，，Svensson(1994)将将上述模型型扩展如下下：于是，可以以得到：动态利率期期限结构模模型动态利率期期限模型包包括均衡模模型和套利利模型。均衡模型是是一种由均均衡分析方方法得出的的模型，它它从假设一一些经济变量开始，，推出短期期无风险利利率的一个个过程，然然后寻找该该过程对债券价格和和期权价格格的含义。。均衡模型利利用以下三三步来为利利率或有要要求权定价价：利用已建立立好的因子子模型来推推导出理论论零息票债债券收益率率曲线。利用参考债债券的市场场价格来校校准模型并并推出模型型的参数值值。最后，利用用已确定的的参数来为为金融衍生生品定价。。套利模型由由无套利分分析方法得得出，它是是利用市场场上的价格格信息来推导出利率率随机微分分方程的形形式的。均衡模型根据状态变变量集中随随机变量的的个数，可可以将利率率期限结构构模型区分分为单因素素和两(多多)因素模模型两大类类。一般单因素素模型对取取不不同的形式式，得到了了不同的模模型。其一一般形式如如下：表21.1单因素素模型总结结模型布伦南和施瓦茨(Brennen&Schwartz,1979)●●●1瓦西塞克(Vasicek,1977)●●●1克斯-英格尔索尔-罗斯(CIR,1985b)●●●0.5默顿(Merton,1973)●●1多塞(Dothan,1978)●1皮尔逊和孙(Pearson&Sun,1994)●●●●0.5Vasicek模型型假设短期利利率的历史史数据服从从Ornstein-Uhlenbeck过程程，即：在风险中性性测度Q条条件下，得得到利率变变化的过过程为：其中通过求解偏偏微分方程程或鞅方法法，可以推推导出在时时间T到期期的贴现债债券在时间间t的价格格为：其中，于是，根据据公式：可以推导出出起息时间间为t，剩剩余到期期期限为的的贴现债券券的利率，，从而得出出时间t的的收益率曲曲线。贴现债券利利率的波动动率由下式式给出：CIR模型型CIR模型型假设短期期利率的风风险中性过过程为：于是，贴现现债券价格格可以表示示为：其中，贴现债券利利率的波动动率由下式式给出：套利模型在套利模型型中，假设设在时间T到期的贴贴现债券在在时间t的的价格的的相对对变化满足足如下Ito过程：：其中，为为贴现现债券价格格在在时时间t的预预期瞬间收收益；为为贴贴现债券价价格在时间间t的瞬时时波动；W为标准布布朗运动。。将方程(21.28)在等价价鞅测度下下写成如下下形式其中，为为在另另一个概率率测度下的的标准布朗朗运动。根据Ito引例解上上面随机微微分方程（（stochasticdifferentialequation），得到到：可以从方程程中消除短短期利率，，过程如下下：首先，利用用条件，，得到：：上面两式相相除，得：：上式表明，，债券的价价格仅取决决于当前的的期限结构构以及波动动性结构根据(21.32)式，还可可以推出到到期期限为为T的贴现现债券在时时间t的利利率，以及及在时间t计算的，，起息日为为时间T的的瞬时远期期利率，由由：可以推得：：其中，为为瞬间远期期利率的的波动动，它满足足：由(21.36)式式，还可以以得到：GHIJKLMABCDEF图21.3重组组树图21.4非重重组树离散时间形形式的Ho-Lee模型基本假设HoandLee(1986)假定市场场满足离散散状态时间间框架下的标准完全全资本市场场假设：市场无摩擦擦。即：无无税收，无无交易成本本，所有的的证券都完完全可分。。市场在离散散时间点出出清。市场完全。。即：对任任意期限n，存在贴贴现债券。。对任意的时时间点n，，存在有限限个状态。。二项式过程程HoandLee(1986)假定利率率期限结构构移动遵循循二项式过过程随时间间变化。即即：其中，定定义为在在第i种状状态下，剩剩余到期期期限为T的的贴现债券券在时间n的均衡价价格。当利利率上升时时，该价值值向运运动，当利利率下降时时，该价值值向运运动。。干扰函数定义干扰函数数和如下：如果利率下降降，则债券的的价值向上移移动到：如果利率上升升，那么债券券的价值向下下移动到：其中，风险中性概率率无套利条件对对每个结点（（n,i））给出了其扰扰动函数的约约束。其中，n,i>0。与到期期限T，初始贴现现债券价格无无关，但可能能与时间n，，状态i有关关，称为隐含含二项式概率率。根据干扰函数数的定义，上上式可写为：：隐含二项式概概率为CoxRossandRubinstein(1979)模型中中的风险中性性概率（RiskNeutralProbability），于于是，其中，对重组树的要要求在定义了干扰扰函数之后，，就可以用公公式来明确对对重组树的要要求了。图21.6利利率期限限结构的二项项式过程（2）当状态先上移移后下移时，，有：又因为：故有：当状态先下移移后上移时，，同样可以得得到：比较(21.42)式和和(21.43)式，得得：又由于：故有：上式可简化为为一个一阶线线性差分方程程：其中，于是，和和均均为常数数。求解上述述一阶线性差差分方程，得得：故：为风险中性概概率：由(21.48)式，可可以推导出：：利率期限结构构在第i种状态态下剩余到期期期限为T的的贴现债券的的时间n的价价格用初始利利率期限结构构表示如下：：将(21.46)式和(21.47)式代入上上式，得：特别的，当T=1时，债债券价格为：：于是，短期利利率为：设隐含二项概概率为q，则则是是关于i的一个二项项分布，均值值为：方差为：连续时间形式式的Ho-Lee模型连续时间形式式的Ho-Lee模型实实际上是单因因素HJM模模型的一个特特例。它假设为瞬间间远期利率的的波动与与t和T无关，，即：于是，短期利利率由下式给给出：贴现债券价格格由下式给出出：贴现债券利率率由下式给出出：瞬时远期利率率由下式给出出：贴现债券的波波动方程由下下式给出：贴现债券利率率的波动方程程由下式给出出：模型的另一种种表达Ho-Lee模型的连续续时间等价形形式为：在风险中性测测度条件下，，上式可以写写成：从而有由于近近似等等于，，这说明，，短期利率未未来运动的平平均方向近似等于瞬瞬时远期利率率曲线的斜率率。于是，模模型的贴现债债券价格可以以由时间t的的短期利率以以及当前的利利率期限结构构表示：其中，或由贴现债券券利率，，以及当当前的利率期期限结构表示示如下：其中，Hull-White模模型Hull-White模模型实际上也也是单因素HJM模型的的一个特例。。它假设瞬间远远期利率的的波动动为：于是，短期利利率由下式给给出：或，贴现债券价格格由下式给出出：贴现债券利率率由下式给出出：瞬时远期利率率由下式给出出：贴现债券的波波动方程由下下式给出：贴现债券利率率的波动方程程由下式给出出：9、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。21:05:1121:05:1121:051/6/20239:05:11PM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2321:05:1121:05Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。21:05:1121:05:1121:05Friday,January6,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2321:05:1121:05:11January6,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。06一月月20239:05:12下下午21:05:121月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月239:05下下午1月-2321:05January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/621:05:1221:05:1206January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。9:05:12下午午9:05下午午21:05:121月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。21:05:1221:05:1221:051/6/20239:05:12PM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2321:05:1221:05Jan-2306-Jan-2312、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。21:05:1221:05:1221:05Friday,January6,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2321:05:1221:05:12January6,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。06一月20239:05:12下午21:05:121月-2315、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。一月239:05下午午1月-2321:0