圆锥曲线复习题含答案解析

圆锥曲线复习题.在平面直角坐标系中，己知动点A到点8(1,0)的距离为力，到直线x=-2距离为d2,且d2=di+l，记动点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线Q的方程；(2)已知斜率之和为-1的两条直线m,n相交于点B,直线〃?，〃与曲线Q分别相交于C,D,E,F四点，且线段C。、线段EF的中点分别为G,”，问：直线G”是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【分析】(1)由题意得到动点人到点8(1,0)的距离等于到直线x=-I的距离，利用抛物线的定义得到动点A的轨迹为抛物线，求解方程即可；(2)设〃1，〃的方程分别为)，=匕(x-I),y=k2(x-I),联立直线〃?与抛物线的方程，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点G的坐标，同理求出点，的坐标，由两点间斜率公式表示出直线G”的斜率，结合力+幻=-1,得到出(1+%),确定直线G"的方程，即可得到答案.解：(1)因为动点A到点8(1,0)的距离为力，到直线X=-2距离为心，且为=4+1,则动点A到点B(I,0)的距离等于到直线x=-1的距离，所以点人的轨迹为抛物线，其焦点坐标为B(l,0),故曲线。的方程为『=4］；(2)设/〃，〃的方程分别为丁=匕(x-1),y=ki(x-1),联立方程组出：?,T)，可得自2/一(2k『+令无+k/=0,2勺2则G也孝，分，同理可得“也乎,所以为1+%2=如学，k2勺2则G也孝，分，同理可得“也乎,由ki+k2=-It所以(1+内),7则直线GH的方程为y-#=/ci(l+自)(％-整理可得y+2=&i(1+%)Cx-1),

故直线GH恒过定点（1,-2）.【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解、抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解•、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题..已知动点尸到点（-1,0）的距离与到直线x=-4的距离之比为今（I）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）已知点尸（1,0）,点A为直线x=4上任意一点，过点尸作4尸的垂线交轨迹。于点B,Q.证明：OA平分线段8。（其中O为坐标原点）.【分析】（1）由已知条件可得，="化简整理，即可求解.|x+4|2（2）根据已知条件，先求出BD的方程，再将BD方程与椭圆方程联立可得，（4+堂）V一2yoy—9=0,再结合韦达定理和直线OA方程，即可求证.解：（1）设尸（x,y）,・•动点尸到点（・1，0）的距离与到直线x=-4的距离之比为点二受等《化简整理可得，9+9】，故动点P的轨迹C的标准方程为一4-7-=1.43（2）证明：•・•点A为直线工=4上任意一点，可设A（4,和），又.••点F（1,0）,*,^AF=孕，・•过点尸作4尸的垂线交轨迹。于点8,D,**•^BD=一^~，%v2，化简整理可得,（4+孕）V_2yoy-9=0,：•直线BD方程为y=-^-（x-v2，化简整理可得,（4+孕）V_2yoy-9=0,设B（xi,yi）,D（X2,）2）,

由韦达定理可得，y\+y2=巾+e2-学3+丫2)=崔加，故BD的中点坐标为(―7~~2，:2)，12+羽12+羽二,直线0A方程为y=与x,:.(——-T，到。)在直线0A上，12+羽12+羽・・・。4平分线段8Q.【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，以及轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属「难题.3.在平面直角坐标系工0)，中，己知点M(-8，0),直线/：文=一隼，动点夕到点"的距离与到直线/的距离之比为避.2(I)求动点P的轨迹E的方程；(2)设曲线E与x轴交于4、B两点,过定点N(-1,0)的直线与曲线正交于C、D两点(与A、B不重合)，证明：直线AC,8D的交点在定直线上.【分析】(1)根据已知条件，可推得(x+V3)【分析】(1)根据已知条件，可推得(x+V3)2+y2当化简整理,即可求解.(2)设过点N(-1,0)的直线方程为1,将直线代入椭圆E的方程，化简整理可得，(疗+4)y2-2my-3=0,结合韦达定理可得，y\+y2=，工'>，1.V2=再联立直线AC和4。的方程，即可求证.解：(1)设尸(x,)，)，•・•点M(—V5,0),直线/：x=一竽，动点、P到点M的距离与到直线I的距离之比为日,l(x+V3)2+y2Wx2京=-»化简整理可得，-+y2=1»3x2故点P的轨迹E是椭圆，方程为h+y2=i.(2)证明：由题意知，直线的斜率不为0,设过点N(-1,0)的直线方程为X=〃?.y-1,代入椭圆石的方程，化简整理可得，(#+4)),2-2〃少-3=0,•••△=4/+12(w2+4)=16(〃P+3)>0,

・••设C(xi,y\),D(X2»”)，(xi,X2N±2),由韦达定理可得，户+*=^^户户=一悬加'由(1)得A(-2,0),8(2,0),则直线AC的方程为y=-^5（x+2）,直线BD的方程为J=丁%。-2）,十乙42一乙联立两直线方程，消去），可得，x=2・。2-2)%+(%1+2)、2②联立两直线方程，消去），可得，x=2・2m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y12m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y1(x2m%y2+(yi+，2)-4yi③

(y1+y2)+2y1将内=〃叩-1,X2