2023年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值〔取值范围〕问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，那么m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点〔不与A、B两点重合〕，射线AC交⊙O于点E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，那么线段DE长度的最大值为().A．3B．6C．D．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的根底知识、根本技能和根本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆〔高中轨迹的定义〕，寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置〔相切〕进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化〔增减性〕进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率〞的直接运用；2．引例2：通过圆的根本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式〞的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件〔∠DAE=60°〕，构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理〞的直接运用；综合比较、回忆这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量〔常量〕之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A点的坐标为〔﹣2，1〕，以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P〔m，n〕为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动〔点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．〔1〕在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；〔2〕在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为.例三、正弦定理1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，那么线段EF长度的最小值为．2.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动〔点C、D与点A、B不重合〕，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，假设CD=3，AB=8，那么PM长度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法1．如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x〔2＜x＜4〕，那么当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，那么⊙O半径的最小值为().A.4B.C.D.23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的最小值是.例四、相切的应用〔有公共点、最大或最小夹角〕1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，那么线段CE长度的最小值是.2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，假设⊙O与边BC始终有交点〔包括B、C两点〕，那么线段AO的取值范围是.3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，那么PQ的最小值为〔〕A．B．C．3D．2例五、其他知识的综合运用1.〔2023•济南〕抛物线y=ax2+bx+4〔a≠0〕过点A〔1，﹣1〕，B〔5，﹣1〕，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，假设点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；〔3〕如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点〔不与点A，E重合〕，∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.〔2023秋•相城区校级期末〕如图，A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．〔1〕判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；〔2〕求线段CD长的最小值；〔3〕假设E点的纵坐标为m，那么m的范围为．【题型训练】1．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，假设在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，那么⊙O的半径r的取值范围为.2．：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.〔1〕假设点G在线段BC上，那么t的取值范围是；〔2〕假设点G在线段BC的延长线上，那么t的取值范围是.3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，的最大值为().(A)；(B)；(C)；(D)4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，那么△AOP面积的最大值为().(A)4(B)(C)(D)5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，那么线段PQ长度的最小值是().A．B．C．5D．6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动〔点E不与点A重合〕，过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，假设D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，那么△ABE面积的最小值是().A．2B．1C.D.8．如图，A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，那么△ABE面积的最大值是().A．3B．C．D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，那么切线长PQ长度的最小值为().A.B.C.3D.410．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，那么线段DE长度的范围为.11．在直角坐标系中，点A的坐标为〔3，0〕，点P〔〕是第一象限内一点，且AB=2，那么的范围为.12．在坐标系中，点A的坐标为〔3，0〕，点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，那么，那么的取值范围是.13．在平面直角坐标系中，M〔3，4〕，P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A〔-1，0〕、B〔1，0〕，连接PA、PB，那么PA2+PB2最大值是.蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的根本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的根本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切〔即到C点〕时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图引例2.；原题：〔2023•武汉模拟〕如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．〔1〕求证：AE=b+a；〔2〕求a+b的最大值；〔3〕假设m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】〔1〕首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；〔2〕首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；〔3〕由x2+ax=b2+ab，可得〔x﹣b〕〔x+b+a〕=0，那么可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：〔1〕连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；〔2〕过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，〔3〕∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴〔x+b〕〔x﹣b〕+a〔x﹣b〕=0，∴〔x﹣b〕〔x+b+a〕=0，∴x=b或x=﹣〔b+a〕，当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣〔b+a〕时，由〔1〕知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。【点评】此题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．此题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．引例3图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．【分析】设m+n=k，那么点P〔m，n〕在直线x+y=k上，易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为〔0，k〕，于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，那么C〔k，0〕，利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°，那么△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，那么DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=PD得到2+k=〔+1〕，解得k=﹣1，从而得到n+m的最大值为﹣1．【解答】解：设m+n=k，那么点P〔m，n〕在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为〔0，k〕，所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k，那么C〔k，0〕，∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD为等腰直角三角形，∵CP和OB为⊙A的切线，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，∵△APE为等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，∵PC=PD，∴2+k=〔+1〕，解得k=﹣1，∴n+m的最大值为﹣1．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决此题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1.解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．2.〔1〕；〔2〕；变式题：〔2023•邯郸一模〕如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．〔1〕当PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．〔2〕当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；〔3〕当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】〔1〕当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；〔2〕当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；〔3〕当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长．【解答】解：〔1〕当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，∴CQ为圆O的切线，此时PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，那么CQ=；故答案为：5；；〔2〕当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，图1图2又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，又∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，∴CD=，∴PC=2CD=，在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×=；〔3〕当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB==，∴PE==BE=，∴PC=CE+PE=2+=，由〔2〕得，CQ=PC=．【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解此题的关键．再变式：如图3时，CQ最长。图3例三、正弦定理1.解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2∴AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．例三1答图例三2答图2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理．【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：4．法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，那么PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4【点评】此题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．例四、柯西不等式、配方法1.过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2〔x﹣2〕，∴CD=PC﹣PD=x﹣2〔x﹣2〕=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD•CD=2〔x﹣2〕•〔4﹣x〕=﹣2x2+12x﹣16=﹣2〔x﹣3〕2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．第1题答图第2题答图2.解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，那么交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．假设半径OC最短，那么OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=．应选：B．3.解：〔1〕线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4．故答案为：4．〔3题答图〕例四、相切的应用〔有公共点、最大或最小夹角〕1.求CE最小值，就是求半径OD的最小值。2.；3.【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为=．应选B．【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．例五、其他几何知识的运用1.解：〔1〕将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．∴抛物线得解析式为y=x2﹣6x+4．〔2〕如下列图：设点P的坐标为P〔m，m2﹣6m+4〕，∵平行四边形的面积为30，∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．∴m〔5+m2﹣6m+4+1〕﹣×5×5﹣〔m﹣5〕〔m2﹣6m+5〕=15．化简得：m2﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴点P的坐标为〔6，4〕．〔3〕连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．∵A〔1，﹣1〕，B〔5，﹣1〕，∴点O1的横坐标为3，将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为〔0，4〕．设点O1的坐标为〔3，m〕，∵O1C=O1A，∴，解得：m=2，∴点O1的坐标为〔3，2〕，∴O1A=，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6，∴点E的坐标为〔5，5〕．∴AB=4，BE=6．∵△EAB∽△NMB，∴．∴．∴NB=．∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2，∴NB==3．2.【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】〔1〕连接OP，设CD与x轴交于点F．要证PE与⊙O相切，只需证∠OPE=90°，只需证∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需证∠EPD=∠EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．〔2〕连接OE，由于PE=CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rt△OPE中，OP，只需求出OE的最小值就可．〔3〕设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围．【解答】解：〔1〕直线PE与⊙O相切．证明：连接OP，设CD与x轴交于点F．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠CPD=90°．∵E为CD的中点，∴PE=CE=DE=CD，∴∠EPD=∠EDP．∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．∵∠DBF+∠EDB=90°，∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，∴EP⊥OP．∵OP为⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线．〔2〕连接OE，∵∠OPE=90°，OP=1，∴PE2=OE2﹣OP2=OE2﹣1．∵当OE⊥CD时，OE=OF=2，此时OE最短，∴PE2最小值为3，即PE最小值为，∵PE=CD，∴线段CD长的最小值为2．〔3〕设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PE⊥OP可得点E的纵坐标为1．∵点P是圆上第一象限内的一个动点，∴m的范围为m＜1．【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第〔2〕小题的关键．【题型训练】1.解：连接OB．如图1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，∴OE=AC=AB=，又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，直线l与⊙O相离，∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案为：2≤r＜10．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．此题综合性比较强，有一定的难度．2.原题：〔2004•无锡〕：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒〔t＞0〕时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．〔1〕假设E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？〔2〕问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？〔3〕当点G在线段BC上〔不包括端点B、C〕时，求四边形CDEG的面积S〔cm2〕关于时间t〔秒〕的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】〔1〕连接OD，DF．那么OD⊥AC，那么∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此此题可分两种情况进行讨论：①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．〔2〕此题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．〔3〕由于四边形CGED不是规那么的四边形，因此其面积可用△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．【解答】解：〔1〕连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，①当∠EGD=30°，CE=2BE=2〔6﹣t〕那么∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，∴=，t=；②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，∴解得t=．答：当t为或时，△BEG与△EGD相似；〔2〕∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE•tan60°=18﹣t．当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；〔3〕过点D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣〔t﹣〕2+〔＜t＜4〕．所以当t=时，s取得最大值，最大值为．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．3.D；4.解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，那么DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴=，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面积=OA•PM=××=，应选D．〔4题答图〕〔5题答图〕【点评】此题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，此题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；5.解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，那么FD⊥AB．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．应选：B．6.；7.解：假设△ABE的面积最小，那么AD与⊙C相切，连接CD，那么CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；∴S△ACD=AD•CD=；易证得△AOE∽△ADC，∴=〔〕2=〔〕2=，即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！应选：C．〔7题答图〕〔8题答图〕8.解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，连接CD，设EF=x，∴DE2=EF•OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，∴=，即=，解得x=，S△ABE===．应选：B．【点评】此题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．9.解：当PC⊥AB时，PQ的长最短．在直角△ABC中，AB===4，PC=AB=2．∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°，∴PQ===．应选A．【点评】此题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．〔9题答图〕〔10题答图〕10.解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM，PD，可得F为ED的中点，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED为等边三角形，∴AF为角平分线，即∠FAD=30°，在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：FD==，那么DE=2FD=3．同理可得：DE的最小值为，∴。11.；12.；13.解：设P〔x，y〕，∵PA2=〔x+1〕2+y2，PB2=〔x﹣1〕2+y2，∴PA2+PB2=2x2+2y2+2=2〔x2+y2〕+2，∵OP2=x2+y2，∴PA2+PB2=2OP2+2，当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最大值为OM+PM=5+2=7，∴PA2+PB2最大值为100．【点评】此题考查了圆的综合，解答此题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．附：1.如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与直线AB的另一个交点为D．〔1〕求∠BAO的大小；〔2〕求点D的坐标；〔3〕过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO﹣QD|的最大值．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】〔1〕根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠BAO的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；〔2〕连接OD，过D作DE⊥OA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；〔3〕根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QO﹣QD|=OD的值最大，然后求解即可．【解答】解：〔1〕∵直线y=﹣x+4分别与x、y轴交于点A、B，∴当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4；当x=0时，y=4，∴A〔4，0〕，B〔0，4〕．∴OA=4，OB=4，