特殊三角形之直角三角形.学生版

特殊三角形之

直角三角形直角三角形的性质与判定好殊直角三用形边用关系11自用二角形的斜边中线有一个角是直角的三角形叫做直角三角形， 这是初中阶段研究的一个特殊三角形， 它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段.一、直角三角形.直角三角形的性质：⑴两锐角互余；⑵三边满足勾股定理；⑶斜边上的中线等于斜边的一半；⑷30角所对的直角边等于斜边的一半.另外，直角三角形中还有一个重要的结论： 两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积， 即abch..直角三角形的判定：⑴有一个角是直角；⑵两锐角互余；⑶勾股定理的逆定理；⑷一条边上的中线等于这条边的一半.二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形， 除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了 三线合一”和斜边中线”的共同特点，可谓集大成者”.另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的 半成品”，因此还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一.【引例】例题精讲BECF3,AE、ABCD是正方形，BF相交于M•••ABBC,求4,BM的长.ABC•,BECF3,••AABE^ABCF,BAECBF,BME90又由勾股定理可知AE5,在Rt^ABE中，BMAE,•••ABBEAEBM,则这个三角形是B55,【例1】1.在4ABC【引例】例题精讲BECF3,AE、ABCD是正方形，BF相交于M•••ABBC,求4,BM的长.ABC•,BECF3,••AABE^ABCF,BAECBF,BME90又由勾股定理可知AE5,在Rt^ABE中，BMAE,•••ABBEAEBM,则这个三角形是B55,【例1】1.在4ABC中，若A35, 三角形.典题精练*AEABBE一BM 1252.如图，在^ABC中，ACB90CDCAB,若A28,ADB.如图，已知图中每个小正方形的边长为 1,则点C到AB所在直线的距离等于.如图，在四边形ABCD中，/A=60°,/B=/D=90°,BC=2,CD=3,则AB= ..已知RtAABC中，/0=90°,AB边上的中线长为2,且AC+BC=6,贝US^ABC=如图，正方形ABCD的边长为4,E、F分别在BC、CD上，且【例2【例2】若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边为c,斜边上的高为h,求证：⑴111,、 ,求证：⑴rr=；⑵abCa2b2h^题型二：特殊直角三角形的边角关系特殊的直角三角形是指 30,60,90特殊的直角三角形是指 30,60,90和45,45,90的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:J3:2和1:1:J间有特殊的比例关系，分别是1:J3:2和1:1:J2,熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率.【引例】例题精讲■■已知，Rt^ABC中，C90,A30,AC1解法一：.C90,A30,••BC-AB,2设BCx,则AB2x,2 2 —那么xV62x,解得x近（舍负）BC22,AB2V2.娓,求BC、AB的长.解法二：=C90,解法二：=C90,A30,BC:AC:AB【例3】⑴在4ABC中，a、b、c分别是AB、C的对边，且A:B:C1:2:3,则a与c的关系是.

⑵如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置,若AD6j6cm,则三角尺的最长边长为⑶如图，以等腰直角三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA,再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形AB0,…，如此作下去，若OAOB1,则第8个等腰直角三角形的面积是.【例4】如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD=AE,AD、BE相交于P点，BQ±ADo已知PE=1,PQ=3,求AD的长.直角三角形的斜边中线是直角三角形中最重要的线之一，它既体现了特殊位置（中点） ，又体现了特殊数量关系（一半），可谓〜举两得除此之外更重要的是，一条斜边中线还可以把直角三角形分成两个等腰三角形， 这种由特殊图形到特殊图形的变化是解决三角形问题的常用手段.【弓I例】请证明下列命题:.直角三角形的斜边中线等于斜边的一半;.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.【解析】1.如图，Rt^ABC中，ACB90,D是AB的中点,

过B点作BC的垂线交CD延长线于E,ACB90,EBC90,

ACIIBE,BACABE,.ADBD,••AACD^ABED,ACBE,CDDE•••ACBE,ACBEBC,CBBCAABC^AECB, ABCE,AB2CD.12.如图，CD是△ABC的中线，且CD—AB,2.CDADBD,AACD,BBCD,•••AACD BCDB180,ACDBCD90,即ACB90AABC是直角三角形.BE、典题精练【例5】如图，在AABC中,BC的中点，DMCF分别为边求证:AC、AB上的高，D为FMEM.1 2BC1 2BC,若BCAC-AB4ADBC,E为BC边的【例6】如图，在4ABC中，若B2C,中点.求证：AB2DE.1版峰突破卜！【例7】在Rt^ABC中，ACB90,ACB CB C思维拓展训练（选讲）训练1.已知△ABC是等腰直角三角形,分别在AB>AC上，且MEMF，试判断4MEF的形状.A90,M是BC中点，E、FEF为线段ABEF为线段AB的垂直平分线，求证:D90,AB20m,CD10m,训练2.如图，Rt^ABC中,BAC90,AB4,AC3,AHBC于H,训练2.如图，Rt^ABC中,的对称点D,连接CD,AM//CD交BC于M,则BM的长等于训练3.如图，在4ABC中，ABAC,BAC120,FC2BF.训练4.一块四边形的草地ABCD,其中A60,B求这块草地的面积.

题型一 直角三角形的性质及判定 巩固练习【练习1】如图，已知4ABC中，ABC90,ABBC,三角形的顶点在相互平行的三条直线 11、I2、13上，且11、12之间的距离为2,I、I之间的距离为3,则AC的长是（）A.2炳 B.2V5 C.472 D.7【练习2】有一个人在一个斜坡上向上走了 10米，他所在的位置的高度就相应的上升5米，那么这个斜坡的倾斜角为题型二 特殊直角三角形的边角关系 巩固练习【练习3】在△ABC中，C90,B15,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD16,则AC的长为.题型三直角三角形的斜边中线巩固练习【练习4】直角三角形斜边上的高线与中线的长分别是 5和6,则它的面积是【练习5]⑴已知：如图1,Rt^ABC中，ACB90