角平分线定理C(学生版)

课时数:课时数:学科教师辅导讲义辅导科目：数学角平分线定理教学目的1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理；教学目的能运用角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题教学内容【复习与回顾】题目一：直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A.45°B.135°C.45°或135°D,都不对题目二：如图所示，。为△ABC的三条角平分线的交点，/ BOC=120,则/A=题目三：如图，已知在△ABC中，BD平分/ABCCD平分△ABC的外角/ACEBQCD相交于D,试说明题目四：如图，已知OEO防别平分/AOBF口/BOC若ZAO=90,/EOD70,求/BOC勺度数.EGBC于G,且/E/3.EGBC于G,且/E/3.A'1}由13题目五：已知：在图13中，ADBC于D求证：AD平分/BAC.【知识梳理】角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。角是轴对称图形，它的对称轴是这个平分线所在的直线。角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）道教的两边距离相等的点的集合。【典型例题分析】题型一：角平分线性质定理【例1】在/AOBW平分线OC上任取一点P,然后，作点求证：PD=PEAB于点E,F在AC上，BE=CF【例2】如图所示，已知，△ABC中，/C=90AB于点E,F在AC上，BE=CF求证：BD=DF【借题发挥】1.如图，下列推理中正确的个数是（①因为OC平分/AOB点P、DE分别在OCOAOB上，所以①因为OC平分/AOB点P、DE分别在OCOAOB上，所以PD=PE;②因为P在OC上,PD±OAPE±OB所以PD=PE;③因为P在OC上,PD±OAPE±OB且OC平分/AOB所以PD=PEA、0个C、2个.如图，P是/AOB的平分线上的一点，PCIAO于C,PD）±OB于D,写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）.如图，OP平分/AOBPdOAPDLOB垂足分别是C,D,下列结论中错误的（？）A.PC=PDB.OC=ODC./CPO=DPOD.OC=PC.如图，已知， 。计分/ AOB在OAOB边上取 OA=OB点P在OD上，且 PM/LBD, PN^AR 求证：PM=PN题型二：角平分线逆定理【例3】如右图，已知B红AC于E,CHAB于F,BECF相交于点D,若B®CD求证：AD平分/BAC【例4】已知：如图所示，PA,PC分别是△ABC外角/MAC/NCA的平分线，它们交于P,PDLBM于D,PHBN于F,则BP是/MBN的平分线吗？说明理由.

【借题发挥】1.如图，已知点P到BE、BDAC的距离恰好相等，则点P的位置：①在/B的平分线上；②在/DAC勺平分线上;③在/ECA的平分线上；④恰是/B,/DAC③在/ECA的平分线上；④恰是/B,/DAC/EC—条角平分线的交点，上述结论中,A.1个B.2个C.3个2.如图，AOBO分别是/A、/B的平分线,

求证：点O在/C的平分线上.D.4个ODLBCOELAB,垂足分别为DE.3.如图，已知△ABC中，PE//AB交BC于E,PF//AC交BC于F,P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分/BAG并说明理由.题型三“平行”和“角平分线”通常能够构造等腰三角形题型三“平行”和“角平分线”通常能够构造等腰三角形其中正确的有（）A.①②③其中正确的有（）A.①②③B,①②③④ C.①②D.①【例5】如图，△ABC中，/AB*/ ACB的平分线交于点 F,过点F作DE// BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE?③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CE【例6】如图所示，4ABC中，/C=90°,A叶分/A交BC于D,【借题发挥】1.已知：如图4,△ABC的外角/FAC的平分线为AE,AD=AG求证：DCAE题型四：【例7】如图，在题型四：【例7】如图，在Rt^ABC中，/C=90°,BC=ACAD砰分/BAC交BC于D,求证：AB=AC+CD［例8］如图，在^ABC中，/C=90°,AC=BCA叶分/CAB交BC于点D,DE!AB于点E,若△BDE的周长是4cmi求AB的长.【借题发挥】.如图，CE!AB于E,BDLAC于D,BQCE交于O,AO平分/BAC,求证：OB=OC..如图，AD平分/BAGDUAB于E,DF，AC于F,BD=DC求证：BE=CF.23.如图，23.如图，BD是/ABC的角平分线，DE!AB于点E,DF±BC于点F,&ABc=36cm,?AB=18cmBC=12cm求DE的长.300米.在300米.在【例9】例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为卜图中标出工厂的位置，并说明理由.【借题发挥】1.如图所示，某铁路MN＜公路PQ相交于点Q且夹角为90。，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm(1)在图上标出仓库G的位置.(比例尺为1：10000,用尺规作图)(2)求出仓库G到铁路的实际距离.【当堂检测】

填空题：.如图1,在△ABC中，/C=900,BC=40,AD是/BAC的平分线交BC于D,且DC：DB=3：5,则点D到AB的距离是 。.如图2所3m8△ ABC^, / A=90° , B叶分/ ABC AD=2cm,则点D到BC的距离为cm..如图3,已知BD是/ABC的内角平分线，CD是/ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BGAC和AB的垂线DEDF和DG垂足分别为E、F、G,则DEDF、DG的关系是B 、mnvbB 、mnvbD 、无法确定.如图4,已知AB//CQ。为/A、/C的角平分线的交点，。aAC于E,且OE=Z则两平行线间ABCD的距离等.已知：△ABC中，/A=80°,/B和/C的角平分线交于。点，则/BOC=。选择题：TOC\o"1-5"\h\z.如图5,在^ABC中，AD是/A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设 PB= m, PC=n , AB= c, AC=\o"CurrentDocument"b,则（mn）与（bc）的大小关系是（ ）A、mn>bcC、mn=bc.已知Rt哆ABC芾，吧C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=32,且BDCD=97,贝UD至UAB边的距离为A.18B.16C.14 D .12.如图6,AE±BC于E,CA为/BAE的角平分线，AD=AE连结CD，则下列结论不正确的是（）A.CD=CEB./ACD叱ACEC./CDA=90°D,/BCDhACD.在△ABC中，/B=ZACBCD是/ACB的角平分线，已知/ADC=105,则/A的度数为（）A.40°B,36°C.70°D,60°.在以下结论中，不正确的是（）A.平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B.角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等

C.一个角只有一条角平分线D.角的平分线有时是直线，有时是线段解答题.如图，/B=ZC=90,M是BC的中点，DM平分/ADC求证：AMFF分/DA.如图7所示，AE是/BAC的角平分线，EBJ±AB于B,EC±AC于C,D是AE上一点，求证：BD=CD.如图8,BD=CDBF,AC于F,CE±AB于E。求证：点.如图9,/AOPWBOPAD±OB于D,BdOA于C,AD与BC交于点P。求证：AP=BP15.已知：如下图在^ABC^,离./C=90,AD平分/BAC交15.已知：如下图在^ABC^,离./C=90,AD平分/BAC交BC于D,若BG=32,且BD：CD=9:7,求：D到AB边的距16.如图，要在A区建一个商场，使它到两条公路的距离相等，且距离两条公路的交叉口 200米处，这个商场于图中的哪一个位置上？请在图上标出来，（比例尺为【总结】【课后作业】填空题:1:5000).如图10,已知相交直线AB和C口及另一直线EF。如果要在EF上找出与ABCD距离相等的点，方法是这样的点至少有个，最多有个。图10这样的点至少有个，最多有个。图10.已知△DE^^△ABCAB=AC且△AB31周长为23cm,BC=4cm,则△D生的边中必有一条边等于。.在△ABC4\ZC=90°,BG4CM/BACW平分线交BC于D,且BD：DG5：3,则D到AB的距离为./B=/C=90°,E是BC的中点，DE¥分/ADC/CED350,如图11,则/EAB的度数是.△ABC^,AB=AC/日/C的角平分线的交点为O,连结AO若$△Ao=6cnf,则Saao=选择题：.如图所示，已知△ABC4\/C=90°,AGBCAD平分/CAB交BC于点D,DELAB于点E,且A&6cm,则△DEE；

的周长为（）A.9cm B.5cm C.6cm D.不能确定.如图，/AOBF口一条定长线段A,在/AO讷找一点的垂线NH使NH=A,H为垂足.（2）过N作NM/OB求.其中（3）的依据是（ ）A.平行线之间的距离处处相等.到角的两边距离相等的点在角的平分线上C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等D.到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上P,使P到OAOB的距离都等于A,做法如下：（1）作OB（3）作/AOB勺平分线OP与NP,使P到OAOB的距离都等于A,做法如下：（1）作OB（3）作/AOB勺平分线OP与N帜于P.（4）点P即为所A.DE=DF B.AE=AF三、解答题C.△ADIE^△ADF D.AD=DE+DF

三、解答题.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭到三条马路的距离相等,试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）。300300米.在下图中标.一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为出工厂的位置，并说明理由.13.画一个任意三角形并作出两个角13.画一个任意三角形并作出两个角拓展探究1.如图， 4ABC的边BC的中垂线BE—AC=AE口5交4BAC的外角平分线ADTD,F1.如图， 4ABC的边BC的中垂线BE—AC=AE2.如图，已知BC2.如图，已知BC于C,求证A Df\ IADBC,ADAB,ADBCAB/DAB和/ABC的平分线交于E,过E的直线交AD于D,交:DE=EC.3.如图，已知3.如图，已知AC//BQEAEB分别平分/CA*口△DBACD过点E,贝UAB与AC+BD相等吗？请说明理由.