专题 平面几何的定值问题

①B⑥①B⑥已知©O的半径为一定值r,若点P是不在©O上的一个定点，请你过点P任作一直线交©O于不重合的两点E，F.PE・PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.(济南市中考试题)&在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N.求OA在旋转过程中所扫过的面积；旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；设AMBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.

（济宁市中考试题）如图，AB是半圆的直径，AC丄AB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE丄CD,交直线AB于点E,BF丄AB,交线段AD的延长线于点F.（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是.（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等•指出这两条相等的线段,并予证明.（江苏省竞赛试题）第9题图）第10题图）第9题图）第10题图）第11题图）如图，内接于©O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,设©O的半径为R.求证：(1)AK2+BK2+CK2+DK2是定值;(2)AB2+BC2+CD2+DA2是定值.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：AP+BP的值为定值.CP+DP（克罗地亚数学奥林匹克试题）

等腰△ABC的底边BC为定长2,H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S“bc・S“的值保持不变，则S“bc・S^c=•已知A,B,C,D,E是反比例函数y16（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为x整数）,分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分）,则这五个橄榄形的面积总和是A.Z1+Z2=900°-2aCA.Z1+Z2=900°-2aC.Zl+Z2=720°—a第4题图）（福州市中考试题）3•如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A,B落在六边形ABCDEF的内部，记ZC+ZD+ZE+ZF=«,则下列结论一定正确的是（）B.Z1+Z2=1080°-2aD.Zl+Z2=360°—-a2(武汉市竞赛试题)4.如图，正AABO的高等于©O的半径，①O在AB上滚动，切点为T,OO交AO,BO于M,N,则弧MTN()B.在30°到60°变化A.B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB是©O的直径，且AB=1O,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，贝,h「h2丨等于（）A.5B.6C.7D.8（黄石市中考试题）轴上，点B坐标（第5题图）轴上，点B坐标6•如图，已知△ABC为直角三角形，为（3,m）（m>0）,线段AB与y轴相交于点D,以P（1，0）为顶点的抛物线过点B,D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.（株洲市中考试题）7•如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.第8题图）（湖北省选拔赛试题）

第8题图）8•如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积S^ABC•S^hbc的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.(全国初中数学联赛试题)149•如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y二］&x2-9x-10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P，Q分别从0,C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动•点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE〃OA,交CA于E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位：秒).(1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；当0<t<2时，△PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；当t为何值时，APOF为等腰三角形，请写出解答过程.(黄冈市中考试题)112求抛物线C的顶点坐标；1若抛物线C与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C于点B,求证：丄+丄二2.11AFBF抛物线C上任意一点P(xp,yp)(0VxpV1),连接PF,并延长交抛物线q于点Q(xQ,yQ),试判断丄+丄=2是否成立？请说明理由.