历年自主招生试题分类汇编平面向量

历年自主招生试题分类汇编——平面向量4．（2010年北约）向量OA与OB已知夹角，OA1，OB2，OP(1t)OA，OQtOB，0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0t01时，夹角的取值范围．（25分）5【解析】不妨设OA，OB夹角为，则OP1t,OQ2t，令g(t)2(1t)24t22(1t)2tcos(54cos)t2(24cos)t1．PQ其对称轴为t12cos．而f(x)12x在(5,)上单调增，故1≤12cos≤1．54cos54x454cos3当0≤12cos≤1时，t012cos(0,1)，解得2．54cos354cos523当1≤12cos0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t00．不合题意．54cos于是夹角的范围为[,2．]23rrrrrrr1。若t（4）（2012年华约）向量ae，|e|R,|ate||ae|，则（）rrrrrrrrrrrr(A)ae(B)a(ae)(C)e(ae)(D)(ae)(ae)trrrrrrrrrrrr解析：由于R,|ate||ae|，那么|ate|2|ae|2，即(ate)2(ae)2，从而有r2rrr2r2rrr2et22aetae2aeatR，t2rr1rr0rr24(1rr0rr20，即2aet2ae，因此4(ae)2ae)，得到(ae1)rrrrrrrr211rrr即ae1。因此有e(ae)ea|e|0，从而e(ae)。选Crr31r31rrr(0,1),b(,yb(1,1)则7、（2011年华约）已知向量a,),c(2),xazcx2y2z2222的最小值为()A1B4C3D2rr32r(1,1)得解：由xaybzc3y3z13(yz)122，2xyz1xyz1222由于x2y2z2x2(yz)2(yz)2x，y，可以用换元法的思想，看成关于2yz2+z，y-z三个变量，变形3，代入yz2(x1)x2y2z2x2(yz)2(yz)22282)24x22(x1)23x24x3(x，答案B33332．（2010年华约）设向量a,b，满足|a||b|1,abm，则|atb|(tR)的最小值为（D）（A）2（B）1m2（C）1（D）1m24.(填空)n1,n2是两个夹角为的单位矢量.以n1,n2为基底的坐标系中A(x1,y2),B(x2,y2),求|AB|.【解】以n1方向为x轴建立直角坐标系 ,于是A,B的直角坐标为(x1y1cos,y1sin),(x2y2cos,y2sin),则|AB|2(x1x2y1cosy2cos)2(y1siny2sin)2(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)(y1y2)cos,于是|AB|(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)(y1y2)cos.1、（2013年卓越联盟）设点O在△ABC的内部，点D、E分别为边AC、BC的中uuuruuuruuuruuuruuur点，且OD2OE1，则OA2OB3OC．答案:（理科）2．2、（2013年卓越联盟）设点O在△ABC内部，点D、E分别为边AC、BC的中点，uuuruuuruuuruuuruuur且OA2OB3OC2，则OD2OE．答案:（文科）1．（4）（2012年卓越联盟）已知ABC中，A90o，BC4，点A是线段EF的中点，EF2，uuuvuuuvuuuvuuuv若EF与BC的夹角为60o，则BEgCF=。uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解答】根据条件知BECFBAEACAFABACABAFAEACAEAFA0uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv114cos6011。EACABAE