阿波罗里斯圆一轮复习

阿波罗尼斯圆的应用及探究引例：(必修 2P 第12题)已知平面内两个定点 A(0，0)，B(3，0)，若动点P满足112PA 1PB 2

，求点P的轨迹方程.变式1：题目中变式2：题目中

PA1PAPB改为1呢？2PBPA1PAPB改为2呢？2PB变式3：PB（＞0，且1）呢？PA结论：，点的轨迹是个圆.P变式4：如何求ABP面积的最大值？练习1：（2008江苏高考13题）满足条件AB2，AC2BC的三角形ABC面积的最大值是练习2：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t0),M为线段AD上的动点。若AM2BM恒成立，则正实数t的最小值为练习3：（2013高考江苏17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l:y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．yAlOx1探究：点M的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，运用交轨法可将问题转化为两圆位置关系问题来解决.①.两定点A和B②.P点满足PA（0且1）PB③.P点的轨迹是个圆.命题①②③①②是否成立，②③①呢？探究1：已知平面内两点A(0，0)，B(3，0)，若点P是圆M:(x1)2y24上任意一点，PA是否是定值？PB探究：已知圆M2y24，点B(3，0)，在x轴上是否存在定点A（不同2:(x1)于点B），满足：对于圆M上任意一点P，都有PA是定值？如果存在，试求所有满足PB条件的点 A的坐标；如果不存在，请说明理由 .2课题：阿波罗尼斯圆的应用及探究（教师版）教学目标：1.复习求轨迹方程的一般步骤，能根据条件，求满足条件动点的轨迹方程及轨迹能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理，能够运用此定理来解决一些简单问题让学生在探究中学会提出问题，分析问题，解决问题，渗透数形结合、归纳类比、转化化归的思想.教学过程：我们知道：平面内到两个定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆；到两个定点的距离之差为定值（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线，那么同学们有没有思考或研究过：到两个定点的距离之比（商）为定值的点的轨迹是什么呢？学生活动(必修2P112第12题)已知平面内两个定点A(0，0)，B(3，0)PA1，若动点P满足，PB2求点P的轨迹方程.(x1)2y24变式1：题目中PA1改为PA1呢？x3表示一条直线PB2PB2变式2：题目中PA1改为PA2呢？(x4)2y24PB2PBPB＞0，且1）呢？（PA（教师运用几何画板演示01和1的情形，然后由学生归纳总结.）结论：在平面内给定两点A和B，设P点在同一平面上且满足PA，当0且PB31时，P点的轨迹是个圆 .师：这个结论是公元前两百多年的一位大数学家阿波罗尼斯发现的，所以这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆” ，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理” （教师介绍阿波罗尼斯的生平）师：如何求 ABP面积的最大值？生：因为AB的长度已经固定，要求ABP面积的最大值即求点P到AB距离的最大值，易得点P到AB距离的最大值为R2，所以ABP面积的最大值为3.练习1：（2008江苏高考13题）满足条件AB2，AC2BC的三角形ABC面积的最大值是解析：以AB所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则，，设Cxy(,)，由ACBC2得：2y22(x22y2A(1,0)B(1,0)(x1)1)整理得：(x3)2y28，点C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上，点C到x轴的最大距离为22，ABC中AB边上的高最大为22，ABC面积的最大值为12222.22另：A(0，0)，B(2，0)，由AC2BC得：x2y22(x2)22y2整理得：(x4)2y28，点C在以(4,0)为圆心，22为半径的圆上.点C到x轴的最大距离为22，ABC中AB边上的高最大为22，ABC面积的最大值为12222.22评析：此法的关键之处在于三角形ABC的顶点C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，由此确定高的最大值，问题即可迎刃而解.练习2：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t0),M为线段AD上的动点。若AM2BM恒成立，则正实数t的最小值为4解析：设M(x,y)，由AM2BM得x2(y2)24x24(y1)2，化简得：x2(y2)24，点M在圆上或圆外，因为M为线段AD上的动点，所以39直线AD与圆相交或相切，当直线AD与圆相切时t的值最小，直线AD的方程为2t2t2得t23xy1，即2xty2t0，由34（负值舍去），则正实数t的t2t233最小值为23.3评析：由AM2BM知点M在一个阿波罗尼斯圆上或圆外，运用交轨法可将问题转化为直线与圆的位置关系问题来解决.练习3：（2013高考江苏17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l:y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上．y（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；lA（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．Ox解析：（1）所求切线方程为：y3或y3x3．4（2）设点M(x,y)，由MA2MO知：x2(y3)22x2y2，化简得：x2(y1)24，即：点M的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记5为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故：1CD3，其中CDa2(2a3)2，解之得：0a12．5所以圆心C的横坐标a的取值范围是0,12．5评析：点M的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，运用交轨法可将问题转化为两圆位置关系问题来解决.①.两定点A和B②.P点满足PA（0且1）PB③.P点的轨迹是个圆.命题①②③①③②是否成立，②③①呢？探究1：已知平面内两点A(0，0)，B(3，0)，若点P是M:(x1)2y24上任意一点，PA是否是定值？PB设P(x,y)，则x2y232xPAx2y232x1PB(x3)2y232x6x92探究2：已知M:(x1)2y24，点B(3，0)，在x轴上是否存在定点A（不同于点B），满足：对于M上任意一点P，都有PA是定值？如果存在，试求所有满足PB条件的点 A的坐标；如果不存在，请说明理由 .解析：假设存在这样的点A(t,0)，使得PA，设P(x,y)是M上任意